《点到直线的距离》教学设计及数学体验分析

郭繁华 杨洁

【摘要】本文通过设置“变式题组”，形成“问题串”，由浅入深，从特殊到一般地逐步启发学生思考，探求点到直线的距离公式.使学生体会数学知识的发生过程，经历思维的发展过程，体验问题的探究过程以及体验数学的思想方法.

【关键词】变式题组;问题串;数学体验

《开发教材变式资源优化学生数学体验的行动研究》是2018年贵州省立项课题，本课题是从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景结合知识特点及学生的认知水平对教材中的基本概念、典型例题、习题等通过挖掘变式，暴露问题本质特征，展示知识的发生过程，促进知识的迁移，揭示不同知识间的内在联系，探索解题方法与技巧，使学生体会数学知识的发生过程，经历思维发展过程，让学生产生对数学知识的感受、情感、理解、联想、领悟、等复杂的心理活动，从而不断获得新知、提高能力，发展核心素养.在课题研究的过程中，课题组成员开展了系列研讨活动，现将《点到直线的距离》教学设计及数学体验分析如下.

1 内容分析

本节课是从初中平面几何的定性作图向高中解析几何定量计算的过渡.点到直线的距离公式是解析几何后续学习的一个基础工具，属于概念性知识.从本章的安排来看，点到直线的距离公式可以看做两点间距离公式的应用，由它还可以得到两条平行线间的距离，因此无论从知识结构还是从教材内容的安排来看它都起着承上启下的作用，它是《直线的交点坐标与距离公式》这一单元的核心内容;从课型来说，应该属于“问题教学”[1];从思想方法来看，本节课蕴含转化与化归，数形结合，函数与方程等丰富的数学思想.

2 目标与目标解析

教学目标 （1）了解点到直线的距离公式的推导方法.（2）掌握点到直线距离公式，并能灵活应用.（3）体会数学思想与方法，如化归思想、数形结合、解析法、等面积法等，进一步促进数学体验.

目标解析 （1）能把点到直线的距离问题转化为点到点的距离问题;或受两点间距离公式的启发能构建直角三角形，利用等面积法得出点到直线的距离公式.（2）熟练点到直线距离公式的结构特征，能灵活应用公式解决相关问题.（3）通过点到直线距离公式的推导方法，利用两种思路体会化归思想及数形结合的思想;特别是参与思路二的解答过程，体会用代数运算解决几何图形问题的方法及等面积法，从而丰富学生的数学体验.

3 教学问题诊断

在教学中可能遇到的问题是，选择何种方法得到点到直线的距离公式？如何引导学生选择合适的方法得到公式？点到直线的距离公式推导的方法很多，大致有两类，一类是易想到但不易算，另一类是易算却不易想到.教学要兼顾这两方面，更要从中选择能较好体现解析法思想的方法.既不能为讲方法而讲方法，方法越多越好，也不能为了得到公式急于求成，将教师的方法强加给学生.因此，实际教学中既要给学生选择方法的机会，又要引导学生聚焦在既可行的又能较好体现解析法思想的方法上.教学中遇到困难，教师应引导学生合理运算，耐心求解，帮助学生成功得到距离公式.

4 重难点

选择恰当的方法推导出点到直线的距离公式及应用

5 教學方式

启发式教学

6 教学过程设计

环节1 （导学案讲解与复习提问）（1）我们已经学过了两点间的距离公式，公式是什么？ （2）我们学过哪些求距离的方法？分别是什么？

师生活动预设 提出问题，引导学生回忆点到点的距离公式，并归纳已学的求距离的方法.

设计意图 帮助大部分学生巩固、理解和归纳基础知识，给后面的课程铺垫，促使学生学会对知识的归纳梳理.

数学体验分析 联想到利用向量法求距离，以及解析几何常用的坐标法;利用向量法求距离学生印象深刻，但学生对坐标法不熟悉.

环节2 （新知导入）你认为什么是点到直线的距离？（点到线的垂线段长）

师生活动预设 提出问题，引导学生得出点到直线距离定义

设计意图 通过图展示及学生的参与强化定义，给后面课程的推进作铺垫

数学体验分析 从点到直线的距离——点到线的垂线段——点与点的距离.

环节3 （试一试）问题 求点P（2，2）到x轴的距离？

变式1 求点P（2，2）到直线l1：y=0的距离？

变式2求点P（2，2）到直线l2：y=-1的距离？

变式3 求点P（2，2）到直线l3：x=2的距离？

变式4将直线l3：x=2绕点（2，0）逆时针旋转45°得到l4，求点P（2，2）到l4的距离？

师生活动预设 提出问题，引导学生从易到难，从特殊到一般，探求解法.组织学生在独立思考、小组讨论的基础上讲出自己的思路，由学生讲解，并适时予以肯定与引导.通过师生互动演示思路图，帮助学生梳理思路.

设计意图 通过变式培养学生独立思考与语言表达能力、一题多解的能力，优化学生的思维;培养学生的参与意识、创新精神，激发学习兴趣.

数学体验分析 从解题活动中经历了从易到难，由浅入深，体验了从特殊到一般，体会了坐标法，坚定解题意志.

环节4 （公式推导）求点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A≠0、B≠0）的距离.

师生活动预设 在学生对变式4解决的基础上，对问题进行拓展;引导学生总结升华探求点到直线的距离的思路和方法;师生一起解决问题.

思路1 利用两点间距离公式

①求垂线方程②求交点坐标 ③求两点间的距离

思路2 构造直角三角形求其高

利用两点间距离公式求P0R、P0S及RS，

再根据等面积法得

因为d·|RS|=|P0R|·|P0S|，

所以d=|P0R|·|P0S||RS|=|Ax0+By0+C|A2+B2

设计意图 对变式4进行拓展，检查学生对问题一实质的理解和掌握;使学生体会解决问题的方法：从特殊到一般;提高学生的归纳概括提炼升华的能力;强化学生数学体验.

数学体验分析 经历公式的推导过程，经历思维的发展过程，体会知识的发生过，体验数学推理过程，体会坐标法、等面积法.

环节5 总结公式的结构特点、适用范围和使用时的注意事项（直线方程化为一般式）.

师生活动预设 引导学生发现所求公式的结构特点、适用范围和使用时需要注意的地方，与学生一起将所发现的知识点进行归纳总结，形成结论.

设计意图 在学习运用前加深公式的记忆，为后面的学习打基础;培养学生发现问题的能力，逐步学会对知识的系统归纳和总结.

数学体验分析 通过观察活动体验，了解公式的基本结构特征，适用范围和使用时需要注意的地方，加深公式中字母的含义，通过归纳总结，体验知识的系统性.

环节6 （公式应用）例 若A（1，3），B（3，1），C（-1，0），（1）求AB边所在的直线方程，（2）求点 C到AB边的距离，（3）求△ABC的面积.

师生活动预设 给出问题，引导学生独立解决问题;学生上黑板展示;演示课件，从动态的观点验证问题;组织学生讨论是否还有其它解决方法？

设计意图 使学生进一步理解和巩固公式记忆，培养学生观察、发现问题的能力，总结升华收获解决问题的方法，演示课件增强学生的直观思维.

数学体验分析 通过解题活动体验公式的具体应用，在应用中体验数学推理以及用代数方法解决几何问题，体会数形结合的思想.

环节7 （训练）（1）求下列点到直线的距离：（1）A（-2，3），l：3x+4y+3=0 （2） B（1，0），l：3x+y-3=0

（2）求过点（0，2），且与原点距离为2的直线方程.

变式 已知直线l2： x+y+4=0，且点A（a，6）在直线l1： x+y+1=0上，（1）求点A（a，6）到l2的距离，（2）求直线l1与直线l2的距离.

师生活动预设 给出题组，组织学生独立解决问题，并随机抽查;引导学生对问题解决后的反思与升华;进一步变化题目提出问题，引导学生总结方法;通过变式由点线距离过渡到线线距离，引导学生探究变式问题，自然过渡到下节课内容，激发求知欲.

设计意图 把新知与就知结合在一起，培养学生的综合运用能力;加大学生思维的力度，培养学生解决问题的能力;通过变式由点线距离过渡到线线距离，自然过渡到下节课内容，激发求知欲.

数学体验分析 通过解题活动、反思解题过程、探究活动体验数形结合、待定系数法及坐标法.

环节8（小结）（1）知识点：公式的适用范围;（2）思想方法：由化归思想、特殊到一般、数形结合、待定系数法、等面积法等;（3）注意事项：使用公式前，直线的方程必须化为一般式.

师生活动预设 组织学生进行小结，由部分学生发言，教师补充，指导学生形成知识系统.

设计意图 让学生学会反思，体会其中的思想方法，培养学生的参与意识、动手能力、表达能力.

数学体验分析 进一步梳理了本节课的知识，理顺思路，感受到了数学化归思想、坐标法、数形结合、等面积法等方法的妙处.

7 教学反思

普通高中数学课程标准（2017年版）课程目标中提出“通过教材内容的学习，学生能进一步获得学习必需的知识、技能、思想与经验;从而提高四能[2].” 然而相对于显性的数学知识而言， 数学活动经验是学习者亲历特定数学活动场景时的特定心理体验， 渗透着那些不可言喻的、下意识或潜意识的个人感受， 对数学学习者而言是发自内心的、有生命力和有生成力的[3].

为促进学生数学体验，本节课笔者首先安排了四个变式，即从求点到直线的距离的特殊到一般，为探索点到直线的距离公式做了有效铺垫，让学生经历探究、交流、解题和思考等过程;公式推导给予学生思考，让学生充分的想与说，引导学生自己导出公式，把课堂变成学生亲历思维和实践活动的主战场.在此过程中，让学生亲身体会公式的由来，经历知识的发生发展过程，体验数形结合、坐标法及等面积法，体会成功的喜悦，从而丰富学生的数学体验，积累活动经验，让学生知识与能力的发展都能得到保证.

课堂练习环节笔者也安排了一个变式，即由点线距离过渡到线线距离，此变式既是本节课所学知识的深化理解也是为下一节课做有效铺垫.

【本文系2018年贵州省教育科学规划一般课题《开发教材变式资源优化学生数学体验的行动研究》（课题编号2018B168）的階段性研究成果.】

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书数学2必修（A版）教师教学用书/人民教育出版社，课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著-2版 -北京：人民教育出版社， 2007.5（2018.5重印）.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版） [ M] .北京：人民教育出版社， 2018.1.

[3]涂荣豹.论数学活动的过程知识[ J] .数学教育学报， 2002（2）：9-13 .