旋转水桶与等势面*

卢荣德 朱栋培

(中国科学技术大学物理学院 安徽 合肥 230026)

刘 斌

(中国科学技术大学地球和空间科学学院 安徽 合肥 230026)

1 牛顿水桶实验

经典物理的开山之作《自然哲学之数学原理》发表于1687年.该书中牛顿第一个讲到的物理实验是水桶实验[1].如图1所示,牛顿采用一根长的软吊绳提一桶水，把吊绳拧成麻花状.若你握住吊绳，不让麻花状的绳子松开，水桶及其中水是相对静止的，水面是平的.突然放开手，麻花开始放松，吊绳旋转，水桶也随着吊绳旋转.最初，桶中的水并不转动，只有桶在旋转，桶与桶中的水有相对转动.慢慢地水被桶带动，也开始转动.最后，水与桶一样转动.这时，水和桶之间又是相对静止的，不转动的.但水面却呈旋转曲面凹状即中心低、桶边高.牛顿爵士特别说他亲自做过该实验.

图1 牛顿水桶变加速旋转的非惯性参照系

牛顿水桶实验的关键是：有两种“桶及桶中的水是相对静止”的状态.最初(第一状态)，绳被放松之前，“桶及桶中的水是相对静止的，水面是平的”；最后(第二状态)，绳被放松一段时间之后，“水和桶之间又是相对静止的”， 而水面却是旋转曲面凹状.两种状态中，水和桶之间都是相对静止的，但旋转水面却不同：前者平、后者凹.下面对该实验用旋转抛物面、旋转等势面进行物理的定量分析与说明.

2 牛顿水桶的物理建模

(1)牛顿水桶实验可视为切线力等于零的平衡运动，所以,牛顿水桶可以当作刚体.现任取旋转水面的一个截面，试用旋转抛物面来表征旋转水面[2].

在与桶共转参考系内任一个水滴受两个力：重力与惯性离心力，方向如图2所示.

图2 旋转水桶的示意图

设水面方程为

z=z(r)

由图2可得

则微元

然后积分

即

(1)

式中z0为中心点水面高度.由于式(1)为抛物线方程，即该水面可表征为旋转抛物面.

(2)下面试说明该抛物面为旋转等势面.

如图2所示在任一个高度为z处的水滴，重力势能为mgz，其离心势能为

则总的势能为

(2)

将式(1)代入式(2)得U=mgz0，即无论何位置，总势能都相等即该水面为旋转等势面.

(3)假设一个封闭的圆筒中一定体积V水以一定角速度沿着轴向旋转，众所周知，当角速度较低时水面是一个抛物面，但当旋转角速度很高时，水面的方程式是什么？

取如图3所示该圆筒中旋转水面任意截面，圆筒内径为R,高为H，旋转水面与底部的交点为R1，与顶部交点为R2，旋转液体的体积为V.该问题相关计算可按公式(1)来模拟.

图3 高速旋转圆筒截面的示意图

可得方程

所以

(3)

z(R1)=0

即

(4)

则

(5)

3 牛顿水桶的应用——旋转曲面下的物理测试

3.1 旋转圆桶物理测试实验

旋转圆桶其表面形状为一个旋转抛物面，可利用该模型测量重力加速度；同时旋转圆桶产生旋转抛物面也是一个很好的光学元件，如美国的物理学家乌德创造了液体镜面——在一个大容器里旋转水银可得到一个理想的抛物面能成为很好的反射光线的反射镜[3].

(1)旋转圆桶测试重力加速度

如图4所示的实验系统中一个盛有液体、内径为R的圆柱体容器绕该圆柱体的对称轴以角速度ω匀速稳定转动，液体的表面形成旋转抛物面[4].

图4 用旋转圆桶测试重力加速度实验示意图

设液体未旋转时液面高度为h，则其液体的体积为

V=πR2h

(6)

因液体旋转前后体积保持不变，旋转时液体体积可表示为

(7)

联立式(6)、(7)得

(8)

联立式(1)、(8)可分析：

测量旋转水桶液面最高与最低处的高度差，可计算重力加速度g.

(9)

其中D为圆柱体直径，n为液体的旋转速度,单位为r·min-1.

也可用斜率法测试重力加速度.

(10)

给出θ计算方法即可求出重力加速度：设入射点经液面反射后在水平透明屏幕上的反射光点为Q，则∠QPS=2θ.通过透明屏幕至圆筒底部的距离H、液面静止时高度h及两光点QS间距离d可得

(11)

(2)旋转圆桶液面的抛物面焦距与转速的关系

旋转圆桶液面形成的弹性抛物面可看作一个凹面镜，符合光学成像系统的规律[5].若光线平行于曲面对称轴入射，反射光将全部会聚于抛物面的焦点上，其焦距为

(12)

根据式(12)也可检测重力加速度.

3.2 旋转曲面下的“金鸭浮舟”

如图6所示陕西省文物保护单位宁陕县城隍庙是在乾隆年间修建于河心沙洲上的古建筑，200多年来，历经47次洪水袭击安然无恙，而附近比它地势高的城墙、房屋、桥梁等却多次被冲毁.该特异现象被民间传说为有“金鸭子”在地底下托住城隍庙.经过实地观察、精确测绘、制作城隍庙建筑群及河道沙舟模型如图7所示，分析可知：洪水冲不毁城隍庙，是激流经过弯道时受地球引力产生水桶效应形成旋转等势面导致的.如图6所示宁陕县山高沟深，暴发的山洪奔泻在深沟中就产生了上述牛顿水桶效应，形成的水面犹如一个个动态的旋转曲面，无论何位置，总势能相等，故水面或浪头是一系列旋转等势面.通过现场勘测、调查走访与测绘、查阅水文资料，绘制出河道地形图，可探究洪水冲不毁城隍庙的物理机理.通过平面弯道环流泄水特性创造出定量分水方法：在分水的顶端，必须承受巨大的平动洪水冲击且产生旋转洪水，垒成前端呈鱼嘴状的流线形，旋转洪水受地球引力导致水桶效应形成旋转等势面如上述式(2)，此自然工程有效控制洪流.

图6 “金鸭浮舟”的地理图

如图7所示在山洪冲击下的宁陕城隍庙凭借犀牛背为“龙头”的生根石群——距城隍庙船头(北端)64.8 m处有高出水面1.46 m、长7 m、前端最宽处为4.5 m的巨石，从西侧看酷似一头四肢没入水中的犀牛身躯，与巨石相邻的南侧数十米范围内，有10多个巨石组成的巨石群[7]；其共同特点是露出沙洲的部分不很大而埋入沙中的部分非常巨大，这些巨石经历多次大水，位置从未挪动过，像生了根一样，称之为生根石群.生根石群相当于我国古代水利杰作都江堰的“鱼嘴分水堤”可分洪导流[8]，将旋转水面切割为抛物形的两个旋转曲面，从而为保护城隍庙庙基起到了关键作用.

(a)

(b)图7 旋转等势面下的模型图

“金鸭浮舟”现象是激流经过弯道时旋转水面仍为立体抛物的旋转等势面.宁陕县城隍庙的选址是物理学、地貌学、水利学、建筑学知识融会贯通而成的趋利避害的典范，对现代近水及河心建筑的选址具有重要参考价值，“金鸭浮舟”是近水建筑的杰作.

推而广之，地球上江湖河海中旋转水流由于受到地球引力场的作用，可采用旋转等势面的物理模型进行分析.

4 结束语

基于牛顿水桶效应推导了旋转桶中自旋向上旋转的等势面.牛顿水桶实验证实了我们的预测，并且在实际应用中我们观察到了奇异之处.一组比较实验证实了牛顿水桶效应的存在，并提出了在自旋向上旋转等势面下一系列物理测试实验.实验还显示出有效的旋转抛物线和旋转上升等势面的特性.利用该特性开发了一种测试旋转圆筒中重力加速度、旋转鼓的液面的抛物线焦距、旋转圆筒测试液体粘度系数的实现方法，这种实现方式很容易解释自旋向上旋转等势面下的“金鸭浮舟”.

我们的工作有以下局限性：我们仅定性和半定量地讨论了“金鸭浮舟”，而没有计算域间的确切相互作用，而且我们也无法确定有效控制洪流的自然工程.在将来的工作中，我们将可能会充分利用自然弯流来排放水和沉积物.拟议的旋转等势面提供了更多可能性，以可控的方式克服了与现代建筑靠近水和河流中心位置相关的大规模挑战.然而对于流量和沉积物传输、不同通道的几何形状以及各种流动条件的基准测试等自旋向上旋转等势面仍然需要进行严格而全面地验证.这些将认为是未来的研究领域.