电路量子电动力学中基于超绝热捷径的控制相位门实现*

王雪梅 张安琪 赵生妹

(南京邮电大学,信号处理与传输研究院,南京 210003)

针对绝热算法在系统演化过程中需要较长操作时间的问题,本文提出了电路量子电动力学系统中基于超绝热捷径的两量子比特控制相位门的快速制备方案.首先将量子比特的能级进行编码,针对不同初始态分类讨论,获得系统的有效哈密顿量.通过反绝热驱动,推导出系统有效哈密顿量的修正项,以抑制不同本征态之间不必要的跃迁,从而获得了高保真度的基于超绝热捷径控制相位门.数值模拟验证了本方案的有效性,最终保真度为0.991.所提方案可以加速演化,并且比绝热通道更有效.此外,本方案对谐振器的衰减和超导量子比特的退相干具有鲁棒性.通过对谐振腔的泄漏、量子比特的自发辐射和退相位的影响分析,得到的系统最终保真度始终保持在0.984 以上.

1 引言

量子门的制备依赖于物理实现系统.常用的物理系统有离子阱系统、核磁共振系统、腔量子电动力学系统和电路量子电动力学(QED)系统[5−14].电路QED 系统是由超导量子比特和超导谐振腔组成[15,16],其中超导谐振腔主要包括中心导体和两边的地(中心导体的长度决定了谐振腔的模式频率),超导量子比特由约瑟夫森结构成,超导量子比特作为人工原子与超导谐振腔电磁耦合在一起[17].2019 年,具有量子优越性的量子计算模型首次在超导量子系统得到证明[18].基于其可设计性、易扩展性、长相干性,以及与其他物理系统易耦合等特性,电路QED 系统现已成为实现量子计算最有前途的系统之一[19].在电路QED 系统中,广泛使用的超导量子比特为Transmon.与超导电荷量子比特相比,Transmon 具有对电荷噪声敏感度低、退相干时间长等优点[20−22].

早在2005 年,Sangouard 等[23]提出了一个基于绝热算法制备SWAP 门的方案.同年,Zheng[24]提出了一个基于绝热算法构建 π 相位门的方案.在2009 年,Shao 等[25]基于量子芝诺动力学提出了一个构建控制非门(CNOT 门)的方案.到2013 年时,Rousseaux 等[26]则实现了任意比特门的制备.与此同时,2015 年,Liang 等[27]在腔量子电动力学系统中提出了快速构建控制相位门的方案,利用的是LR 不变量捷径方法.该方案不仅可以实现一个量子比特的相位门,还可以实现两个量子比特的控制相位门,接着进一步推广到n个量子比特的控制相位门.2016 年,Liang 等[28]提出了一种基于超绝热捷径方法实现了通用量子门的方案,并基于金刚石氮空中心系统给出了详细说明.2018 年,Wang等[29]运用超绝热捷径方法构建了在超导Xmon 量子系统中的高保真度的单比特量子门.2020 年,Chu等[30]提出了一种基于超导电路的两比特量子门的构建方案,结合参数调制和超绝热捷径方法,并以SWAP门和控制Z 门为例进行了演示.与其他捷径方法相比,超绝热捷径方法能够实现高保真度,并且操作简单可行.但是,在电路QED 系统中基于超绝热捷径方法的相位控制门还未被讨论.

因此,本文基于超绝热捷径方法,提出一种在电路量子电动力学系统中快速制备两比特控制相位门的方案.利用反向导热场思想,获得哈密顿量的修正项,抑制了本征态间不需要的跃迁.使用第2 次迭代的本征态为演化路径,由于不需要初始态和最终目标态之间的直接耦合,可降低了实验难度.通过数值模拟,对本方案进行验证和性能分析.本方案有以下3 个优点:1)与绝热算法相比,本方案不需要严格遵守绝热近似条件;2)本方案只保留有用的本征态间的跃迁,节省了演化时间;3)本方案给出了初态与终态间的直接耦合方案,提高了方案的可行性.总之,本方案缩短了演化时间、降低了实验实现难度,其最终保真度可接近于1,因而具有重要的参考价值.

2 基于超绝热捷径控制相位门制备

首先给出电路量子电动力学系统,系统中两个Transmon 囚禁在一个传输线谐振器中.图1 是电路量子电动力学系统中量子比特的能级结构图,每个量子比特拥有4 个能级,分别为|L1〉l,|L2〉l,|R〉l和|e〉l,其中|e〉l是辅助激发态,下标lA,B 是区分不同的量子比特.将有效信息编码在|L1〉l,|L2〉l和|R〉l这3 个不同能级上.量子比特lA 为控制比特,其中|R〉A和|e〉A之间的跃迁是与耦合强度为gA的谐振器发生的共振耦合,其他能级之间的跃迁是被禁止的.量子比特lB 为受控比特,|R〉B和|e〉B之间的跃迁是与耦合强度为gB的谐振器发生的共振耦合,|L1〉B↔|e〉B,|L2〉B↔|e〉B的跃迁分别是由时间独立的拉比频率为Ω1(t),Ω2(t)的经典脉冲来驱动的,同时其他能级之间的跃迁也是被禁止的.

图1 量子比特能级结构.qubit A 和qubit B 被囚禁在一个传输线性谐振器中,每个量子比特拥有四个能级:|L1〉l,|L2〉l,|R〉l和 |e〉l,lA,B,其中 |e〉l 是辅助激发态.有效信息被编码在 |L1〉l,|L2〉l和 |R〉l 三个不同能级上.qubit A为控制比特,qubit B 为受控比特.Fig.1.Structure of qubit energy level,qubit A and qubit B are fabricated in a transmission line resonator,each has four-level i.e.,|L1〉l,|L2〉l,|R〉land |e〉l,lA,B here,|e〉l is an auxiliary excited state.The information is encoded on the states |L1〉l,|L2〉land |R〉l .Qubit A is a controlling qubit,and qubit B is a controlled qubit.

设gAgBg,利用超绝热捷径方法快速获得两比特控制相位量子门.在旋转波近似条件下[31],电路QED 系统的总哈密顿量可写为

假设系统的初态为|0〉C|R〉A|L2〉B,此时谐振器处于真空|0〉C态,量子比特A 处于|R〉态,量子比特B 处于|L2〉态.根据总哈密顿量,系统将会在由φ1,φ2,···,φ5张成的子空间中进行演化,其中,

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系统总哈密顿量可写为

因此,(4)式中的哈密顿量可以用HC的本征值、本征态来表达,系统哈密顿量Htotal可以改写为

对系统哈密顿量通过幺正算符UCexp[−iHCt]进行绘景变换.在Ω1(t),Ω2(t)≪g的条件下,忽略高频振荡项,利用此绘景变换容易算出系统的有效哈密顿量为

系统有效哈密顿量Heff(t) 的瞬时本征值,分别为ε00,ε1Ω(t)和ε2−Ω(t),相对应的瞬时本征态为

与(6)式的哈密顿量相比,反向导热修正项哈密顿量需要|φ1〉和|φ3〉之间的直接耦合,但是完成此过程十分困难.所以本文采用参考文献[33]中提出的方法,通过修改脉冲的形式来获得修正项.

为了与(9)式相等,以{|φ1〉,|φ3〉,|ψ0〉}为基,新的反向导热哈密顿量修正项为

3 控制相位门实例分析

对基于超绝热捷径的控制相位门进行分析.设系统的初态为|0〉C|L1〉A|L1〉B,此时谐振器处于真空态|0〉C,量子比特A 处于|L1〉态,量子比特B 处于|L1〉态.根据总哈密顿量,系统会在由张成的子空间中进行演化:

系统总哈密顿量可写为

进一步设系统的初态为|0〉C|L2〉A|L1〉B,此时谐振器处于真空|0〉C态,量子比特A 处于|L2〉态,量子比特B 处于|L1〉态.根据总哈密顿量,系统会在由φ10,φ11,···,φ13张成的子空间中进行演化,此时有

系统总哈密顿量可写为

综上所述,在电路QED 系统中,利用超绝热捷径方法可以快速制备两比特的控制相位量子门.

4 数值模拟

本节将对超绝热捷径快速制备两比特的控制相位量子门方案进行数值模拟.经过之前的讨论可得,当初态为|0〉C|R〉A|L2〉B时,经过演化后,需获得|0〉C|R〉A|L2〉B|11〉→−|0〉C|R〉A|L2〉B−|11〉,参数θ0,1(t)应满足边界条件θ1(0)θ1(tf)0 和θ0(0)−π/2、θ0(tf)π/2,脉 冲Ω1(t)和Ω2(t)可以根据文献[14]选择高斯型脉冲:

其中,Ω0是脉冲振幅,tf是总的演化时间,τ110.01tf,τ120.8tf,τ130.6tf和τ210.45tf是脉冲时 延,T0.2tf是脉冲宽度.因此,驱动脉冲Ω1(t)和Ω2(t)可以用来确定θ0(t)和θ1(t) .图2 为θ0(t)和θ1(t) 随演化时间变化的情况,描述了当脉冲振幅Ω0作为变量取不同值时对θ0(t)和θ1(t) 的影响.通过图2(a)可以发现,脉冲幅度Ω0的取值大小对θ0(t)几乎没有影响,无论脉冲幅度Ω0取什么值(分别取Ω0和Ω0,两条曲线重合),在整个演化过程中均满足边界条件θ0(0)−π/2,θ0(tf)π/2 .而图2(b)是与时间相关的参数θ1(t),可以得到,当Ω0的取值越大时两边边界更趋向于0.但在整个超绝热捷径演化过程中,应满足条件Ωk(t)≪g(k1,2),所以Ω0的取值又不能太大.综上,在后面的讨论中选取Ω0和g

图2 (a) 脉冲幅度取不同值时,参数 θ0(t) 随时间的变化情况;Ω0 (黑色虚线),Ω0 (浅绿色实线);(b) 脉冲幅度取不同值时,参数 θ1(t) 随时间的变化情况;Ω0 (蓝 色),Ω0 (红 色),Ω0 (粉色),Ω0 (浅绿色),Ω0 (绿色).Fig.2.(a) Variation of θ0(t) with time when the amplitude of pulse has different values.Ω0 (black dotted line),Ω0 (light green line);(b) variation of θ1(t) with time when the amplitude of pulse has different values.Ω0 (blue),Ω0 (red),Ω0 (pink),Ω0 (light green),Ω0 (green).

为验证本文方案的有效性,图3 给出了随时间变化的目标态保真度图.定义态|Ψ(t)〉为系统随时间演化的实际状态,求解系统保真度F(t)|〈Ψ(t)|φ1〉|2,其中|φ1〉为上文中提到的初始态|0〉C|R〉A|L2〉B.在整个演化过程中,当时间超过0.7t/tf后,保真度逐渐保持稳定,最终保真度数值为0.9914.由此可以得出,本文方案是可行有效的,能够制备出高保真度的控制相位门.然而,由于在绘景变换时,忽略了高频振荡项,得到系统的有效哈密顿量;另外,在控制参数的过程中,量子系统演化时的期望量子态会演化到其他非必要的量子状态上.因而最终保真度达不到1.

图4 描绘了在整个演化过程中所有态的布居数图.它表明在系统演化后可得到高保真度的控制相位门.从图4 可以得出,当时间超过 0.7t/tf以后所有态趋于稳定.中间态|φ2〉,|φ3〉和|φ5〉只在0.2t/tf到 0.7t/tf时间间隔内出现且数值不超过0.5,|φ4〉态的布居数在整个演化过程中几乎为0.因此,在所提出的方法中,可以忽略谐振器衰减引起的退相干影响.

已知态|Ψ(t)〉为系统随时间演化的实际演化状态.实际演化态|Ψ(t)〉和初始态|φ1〉|0〉C|R〉A|L2〉B内积,可给出相位的变化情况.图5 显示了〈Ψ(t)|φ1〉随时间变化情况.当演化时间为 0t/tf时,内积值为+1,说明实际态|Ψ(t)〉和初始态|φ1〉重合,没有相位差;随着时间的推移,其内积〈Ψ(t)|φ1〉值逐渐变小;当演化时间为tf时,内积值为–1,说明此时实际态|Ψ(t)〉和初始态|φ1〉的相位已经相差180°,即实际态变为|Ψ(t)〉−|φ1〉.这验证了相位的变化,实现了控制相位门的制备.

考虑谐振器衰减和量子比特退相位率,并分析两者对控制相位门产生的影响.退相干过程可以用主方程来描述,可以写成:

其中bk为耗散项,表示为

其中,γn(n1,2,···,4)表示第l个量子比特从能级态|R〉l(|e〉l)到能级态|e〉l(|L1〉l,|L2〉l)的自发辐射率;κ表示谐振腔的衰减率;R,L1,L2;lA,B)表示第l个量子比特的退相位率.为简化计算过程,令γnγ和γφ.

为了量化谐振器衰减和量子比特退相干引起的最终保真度变化,图6 给出了不同的退相干因素对最终保真度的影响,其中图6(a)绘制了最终保真度F(tf)与谐振器衰减κ和量子比特自发辐射率γn的变化关系图,图6(b)与图6(c)分别绘制了最终保真度F(tf)与γφ和γ、F(tf)与γφ和κ的关系图.κ的值从0 到,γ的范围是从0 到从图6(a)和图6(c)可以得到,不同κ值时,最终保真度可以保持在0.985 以上,这表明了所提出的方案对谐振器衰减是具有鲁棒性的.如图6(b)所示,量子比特退相干对最终保真度的影响也比较小.即使γ和γφ,最终保真度也超过0.984.因此,该控制相位门对谐振器衰减和量子比特退相干具有鲁棒性.

图6 不同的退相干因素 κ ,γ 和 γφ 对最终保真度的影响(a) γ和 κ的影响;(b) γ 和 γφ的影响;(c) 退相干中不含γ时的影响Fig.6.Influence of different decoherence factors κ ,γ and γφto the final fidelity:(a) The effect of γand κ to fidelity;(b) the effect of γand γφ to fidelity;(c) the effect of κand γφ to fidelity.

5 结论

本文提出了电路QED 系统中利用超绝热捷径方法来快速制备两比特控制相位量子门的方案.在两比特信息|0〉,|1〉编码的基础上,获得系统的哈密顿量和有效哈密顿量.运用超绝热捷径方法进行两次迭代,获得与系统有效哈密顿量相同形式的修正项,以抑制其他本征态之间的跃迁;根据演化路径,求得合适的边界条件,完成控制相位门的制备.数值模拟结果表明,两比特控制相位量子门可高效制备.当初态为|11〉时,通过系统演化得 −|11〉;其他态为初态时,经过演化系统是不会发生任何改变.数值仿真结果显示控制相位门最终保真度为0.991.最后对谐振腔的泄漏、量子比特的自发辐射和退相位的影响进行分析,仿真结果表明,最终保真度可保持在0.984 以上,所以由此方案制备的控制相位门是鲁棒且稳定的.但是本方案还存在一定局限性,如图4 中量子态|φ2〉,|φ5〉的布居数高于0.4,比其他系统中相应的布居数大,表明本方案对激发态比较敏感.同时,为了获得和系统有效哈密顿量具有相同形式的修正项,本方案进行了两次迭代,因而计算量比较大.