一维欧拉液滴模型的局部适定性

郭嘉敏，魏 龙

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

自然界中，经常遇到携带颗粒的空气流，人们把对这种空气流的预测应用到工业和医疗领域，例如对颗粒在口咽或肺内气道中的传播和沉积的预测有助于设计吸气器[1]。飞机飞行过程中，大气中的液滴撞击机翼，足够低的外界温度致使机翼结冰，如果一些碎冰被卷进发动机的燃烧室，可能导致熄火，严重影响正常飞行。Bourgault等[2]提出一种空气流欧拉模型，用于预测飞机飞行中液滴对机翼的撞击。目前，关于欧拉液滴模型的研究大多集中在两方面：一是研究模型本身的性质，例如对模型的解进行稳定性分析等[2]；二是利用模型的性质解决航空航天和工业生产等实际问题，例如运用欧拉液滴模型模拟机翼结冰，开发飞行结冰的仿真[3]。近几年，关于一维欧拉液滴模型的理论研究取得了一些成果。Keita等[4]分别求解带有源项的无粘Burgers方程及其子系统的黎曼问题，解决了欧拉液滴模型的黎曼问题；Zhang等[5]引入一种特殊的变量代换，得到一维欧拉液滴模型的三角冲击波和真空解，相比文献[4]的方法，更有利于工程人员理解和解决实际问题；Shen[6]对欧拉液滴模型的黎曼问题展开研究，在更一般的空间内获得了三角冲击波等不连续的显式解。本文主要研究一维欧拉液滴模型的具体形式，证明其在Sobolev空间中的局部适定性。

1 一维欧拉液滴模型

假设忽略重力的一维欧拉液滴模型为：

(1)

式中，α是液滴的体积占比，u是颗粒(液滴)的速度，ua是载流体(通常情况下为空气)的速度，μ是颗粒和载流体之间的阻力系数，μ>0。Bourgault等[2]在1999年提出了欧拉液滴模型，主要用于预测飞机飞行时液滴对机翼的撞击。为了便于研究，通常将ua和μ取为常数。对一维欧拉液滴模型的理论研究更多的是获得黎曼解，而解的适定性、爆破等方面的分析较少。为此，本文主要研究一维欧拉液滴模型解的局部存在性和唯一性。

令v=ua-u，将方程组(1)转化为如下形式：

(2)

2 局部适定性

为了研究一维欧拉液滴模型的局部适定性，介绍如下引理。

为了简便书写，下文用Hs表示Hs(R)，L∞表示L∞(R)，L2表示L2(R)。

引理1[7]令f，∂xu∈Hs∩L∞，s是非负整数，则有

引理2[8]令∂xf∈Hs∩L∞，∂xg∈Hs-1∩L∞，s>0，则有

或者

一维欧拉液滴模型的解在Hs空间中的局部适定性有如下结论。

运用经典的能量方法和输运方程理论来证明定理。这些方法广泛应用于研究其他方程的适定性问题[10-11]。

证明首先，运用能量方法证明一维欧拉液滴模型解的存在性。能量方法的关键在于得到解关于时间的局部先验估计，而近似方程解序列的逼近是一个标准的过程[12]，本文不多加赘述。

对所有项求和，其中k=1,2,…,s-1，得到如下等式：

(3)

式(3)左边两项分别为：

(4)

(5)

运用引理1估计式(3)右边项，得到：

因此有：

(6)

将式(4)—式(6)代入式(3)，得到：

(7)

将算子Λs作用在方程组(2)中第2个方程的两边，再与Λsv作L2内积，得到：

(8)

对式(8)的第1，2，4项分别估计，得到：

(9)

估计式(8)的第3项，由引理2知

(10)

结合式(8)—式(10)得到

(11)

将式(7)和式(11)相加，得到：

从而有：

最终得到：

(12)

然后，证明方程组(2)解的唯一性。令(α1,v1)，(α2,v2)是式(2)的2个解，且定义α12=α1-α2，v12=v1-v2，则有：

对2个方程分别运用引理4，得到如下估计：

(13)

(14)

运用引理2，对式(13)、式(14)中的项做估计，得到：

将式(13)和式(14)相加，得到：

(15)

对式(15)运用Grönwall不等式，得到：

(16)

综上2部分证明可知，一维欧拉液滴模型的解在Hs(R)空间上是局部适定的。证毕。

3 结束语

本文针对一维欧拉液滴模型的解在Hs(R)空间上的局部适定性展开研究，运用经典的能量方法和输运方程理论得到一维欧拉液滴模型解的存在唯一性结果。在此基础上，后续将继续研究该模型解的全局适定性、爆破准则以及持续衰减等问题。