丢番图恒等式在高中数学创新题中的应用

北京市顺义牛栏山第一中学 李启超 刘爱军 （邮编：101300）

丢番图恒等式表明，如果两个正整数分别为两个平方数之和，那么这两个正整数的乘积也能写成两个平方数之和，即：

其中a、b、c、d可以取任意实数.

这个恒等式最早可以追溯到公元3 世纪丢番图（Diophantus）的著作《算术》中[1].公元7 世纪，婆罗摩笈多（Brahmagupta）把这个恒等式推广到更一般的情形（我们仍称之为丢番图恒等式）：

其中a、b、c、d和n可以取任意实数，通过两边展开，容易验证上面恒等式成立.当n=-1 时，有：

这些恒等式形式简单结构优美，在数学史上曾启发了一系列重要发现.它们不仅在初等数论和多项式问题中有重要应用，还经常出现在各类高中数学试题中.以下详细介绍丢番图恒等式在两类创新题中的应用

1 在集合问题和代数式变形问题中的应用

例1设A是两个整数平方和的集合，即A={x|x=m2+n2，m、n∈Z}.

（1）证明：若s、t∈A，则st∈A；

（2）证明：若s、t∈A，t≠0，则，其中p、q是有理数.

分析本题要求验证集合A具有乘法封闭性，即两个平方和的乘积仍然可以写成平方和的形式.要证st∈A，只需借助丢番图恒等式证明其是两个整式的平方和即可.

即st是两个整数的平方和，所以st∈A.

（2）由于s、t∈A，由（1）可知，st∈A.于是可以设st=m2+n2，m、n是整数.又因为t≠0，因此

例2设A是两个整数平方差的集合，即A={x|x=m2-n2，m、n∈Z}.

（1）证明：若s、t∈A，则st∈A；

（2）证明：若s、t∈A，t≠0，则，其中p、q是有理数.

分析与上一个例题类似，要证st∈A，只需借助丢番图恒等式证明其是两个整式的平方差即可.

即st是两个整数的平方差，所以st∈A.

（2）由于s、t∈A，由（1）可知，st∈A.于是可以设st=m2-n2，m、n是整数.

又因为t≠0，因此

例3已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0.求证：a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd=0.

分析这道题有明显的线性代数背景：如果2×2 矩阵中，两个行向量是单位正交向量，则这个矩阵是正交矩阵，从而两个列向量也是单位正交向量.本题的常规方法是三角换元，或者比值代换，其实借助丢番图恒等式也可解决.

证明根据丢番图恒等式(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2，可知1=0+(ad-bc)2，从而ad-bc=±1.

（1）当ad-bc=1 时，将视为关于(c,d)的二元一次方程组，

代回条件a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0，可得a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd=0；

（2）当ad-bc=-1 时，将视为关于(c,d)的二元一次方程组，

代回条件a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0，可得a2+c2=1,b2+d2=1,ab+cd=0.证毕.

2 在高中数学联赛试题中的应用

丢番图恒等式还可以用于解决一些与平方和（差）有关的竞赛最值问题，试看几例：

例4(2021年全国高中数学联赛A1 卷一试第8题) 已知正实数x、y满足如下条件：存在a∈[0,x]，b∈[0,y]，使得a2+y2=2,b2+x2=1,ax+by=1.则x+y的最大值为______.

分析题目给出的等式条件中有好几处平方和的结构，这启发我们不妨试试丢番图恒等式.

解答根据丢番图恒等式(a2+y2)(x2+b2)=(ax+by)2+(ab-xy)2，可知(ab-xy)2=1.又因为x≥a≥0,y≥b≥0，可知xy-ab=1.

说明以上题目，主试委员会提供的标准答案是使用三角换元法.上面借助丢番图恒等式，解题过程更加简洁.

例5(2017年全国高中数学联赛一试第10题 第（1）问) 设复数z1、z2满足Re(z1)>0，Re(z2)>0，且（其中Re(z)表示复数z的实部）.求Re(z1z2)的最小值.

分析将复数z1、z2写成实数分量形式，容易发现条件Re(z1)>0，Re(z2)>0，且等价于复数z1、z2对应的点在双曲线x2-y2=2 的右半支上.接下来，根据丢番图恒等式不难解决问题.

完全类似的方法，还可以解决下面的2006年北京市高考理科数学解析几何问题，将其视为例5 的变式练习题.

例6已知点M(-2,0)、N(2,0)，动点P满足条件.记动点P的轨迹为W.

（1）求W的方程；

（2）若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.

解答(1)根据双曲线定义，可知动点P的轨迹为双曲线的右半支，轨迹W的方程为x2-y2=2(x>0)；

说明这是一道解析几何问题，常规解法是先联立直线AB和曲线W的方程，然后借助韦达定理将写成关于直线AB斜率和截距的函数再求最值.以上解法借助推广的丢番图恒等式，形式紧凑，思路清晰，而且不必分类讨论直线AB斜率不存在的特殊情形.

3 总结

丢番图恒等式结构简洁，应用广泛.有意识地借助丢番图恒等式解决问题，可以提高学生的代数运算能力和知识迁移能力.对于学有余力的高中生，我们不妨在选修课上适当介绍这类恒等式在各类问题中的应用.