锯齿形磷烯纳米带在光场驱动下的量子输运*

周析漩， 卢军强， 翟 峰

(浙江师范大学 物理与电子信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

自黑磷烯在实验上成功制备以来[1-4]，因其良好的输运特性和应用前景而引起了人们的广泛关注[5-7].少层黑磷烯是一种层状材料，各个原子层通过范德华力耦合在一起.在常见的二维材料中，石墨烯因其零带隙而不适合作为高性能电子晶体管的候选材料[8]；二维过渡金属硫化物(如MoS2,WS2)虽具有较大带隙但载流子的迁移率不高[9].单层黑磷具有较宽带隙的同时，载流子迁移率可以达到1 000 cm2·V-1·s-1，更适合作为制造场效应晶体管等电子器件的二维材料[10].从块状黑磷到单层磷烯，带隙由0.3 eV变化到1.5 eV[11].由于sp3轨道杂化，单层黑磷会呈现出褶皱状的结构，在光学响应和电子输运等方面具有显著的各向异性[12-14].

若将二维磷烯晶体沿着不同晶向切割，可以得到边界形状为zigzag(锯齿形)和armchair(扶手椅形)的磷烯纳米带[15].zigzag磷烯纳米带存在轨道简并的准平带，具有金属特征；armchair磷烯纳米带则表现为半导体性质，其带隙随纳米带宽度的增加而减少[16].施加栅极电压、侧向电场、垂直磁场及应变都可改变磷烯纳米带的带隙大小和能带结构[7,17-24]，进而影响输运体系的电导.对zigzag磷烯纳米带施加侧向电场可消除准平带的轨道简并和交叠[20].通过施加栅极电压和局域在边界附近的电势[21]，zigzag磷烯纳米带的准平带会劈裂而产生能隙，费米能在零能点附近的热电势可提高1倍.运用密度泛函理论，文献[23]研究了边界钝化的磷烯纳米带，发现应变可有效调节载流子的有效质量并改变带隙的类型.

利用周期光场可以有效调控纳米体系[25-29].光场调节具有很强的可操控性，无需装置与体系接触.基于第一性原理计算和Floquet理论，文献[25]预言三维黑磷晶体在施加应变和圆偏振光照射后可处于多个非平衡的拓扑相，在圆偏振光的驱动下，石墨烯纳米条带中存在非平衡的拓扑边缘态，其传播速度、横向衰减长度、传播方向都可用光场参数调节[26-27]；文献[28]针对圆偏振光照射下的单层 MoS2纳米条带，讨论了Floquet 能谱的拓扑性质、泵浦效应及平衡边缘态的开关效应等；文献[29]探讨了光的偏振方向对半狄拉克体系能谱的影响，发现圆偏振光能导致能带反转，线偏振光或者打开能隙或者产生2个新的狄拉克点.但关于磷烯纳米带在光场驱动下的输运性质研究则不多见.本文探讨周期光场驱动对磷烯纳米带输运性质的影响，旨在拓宽磷烯纳米器件的应用范围.

1 模型和公式

图1 单色光照射下的磷烯纳米带示意图

(a)俯视图

电子在此体系中的运动可用下面的紧束缚哈密顿量描述[5-7]：

(1)

(2)

式 (1)～式(2) 中：εi是格点i处电子的在位能；局域在不同格点i，j附近的态|i〉,|j〉彼此正交；tij是电子由格点j向近邻格点i的跃迁能;φij是由光场矢势引起的附加相位；ћ是约化的普朗克常数；e是质子电量.为了能准确地描述单层黑磷在导带价带附近的能带结构，至少需要考虑如图2(a)所示的5种跃迁能，它们分别为:t1=-1.220 eV;t2=3.665 eV;t3=-0.205 eV;t4=-0.105 eV;t5=-0.055 eV.

(3)

nћωδn,m;n,m∈Z.

(4)

(5)

根据Landauer-Büttiker输运理论[31-32]，零温下通过体系的平均电流和电导的直流成分可写为：

(6)

(7)

2 结果和讨论

2.1 磷烯纳米带在周期驱动下的Floquet能带

由于磷烯晶体结构的各向异性，磷烯纳米带的能带特征依赖于边界形状.文献[16]发现，H原子修饰边缘的zigzag磷烯纳米带和armchair磷烯纳米带都可以在相对高的温度下稳定存在.文献[34]通过对比结合能，发现zigzag磷烯纳米带的结合能大于armchair磷烯纳米带的结合能，因此,zigzag磷烯纳米带的稳定性更好.文献[35]基于紧束缚哈密顿量(1)和Kubo公式分析了zigzag磷烯纳米带的电子结构和光学性质，绘制的zigzag磷烯纳米带能带结构与考虑结构弛豫后的第一性原理计算结果[36-37]只有细微的差别.

zigzag边界的磷烯在电子能谱中存在一个位于体态能隙内的准平带[7]，相应的Bloch本征态主要分布在zigzag边界附近.这种边缘态是双重简并的.图3(a)展示了宽度w=50 nm的zigzag磷烯纳米带的能带结构，其中横轴E是电子能量；纵轴k表示电子波矢的大小,b是zigzag方向的晶格常数.准平带位于能量零点附近，离导带底更近，带宽主要由跃迁能t4决定[7].此纳米带的导带底、价带顶的能量为Ec=0.3 eV，Ev=-1.2 eV，体态能隙为Eg=Ec-Ev=1.5 eV.

为简单起见，本文只考虑电场矢量沿着zigzag方向的单色线偏振光照射，即取θ=φ=0.为探究光场对磷烯纳米带边缘态的影响，将附加zigzag方向平移不变性的哈密顿(5)对角化，得到光照区域的Floquet能谱.图3(b)绘制的Floquet能谱对应的光场参数为ε0=0.2 V/nm,ћω=2.0 eV>Eg≫ε0a.图中标出了各个Floquetn-边带占主导的区域.Floquet中心带(n=0)与n=1的Floquet边带存在交叠的区域，对应图3(a)的导带与能量平移ћω后的价带之间的交叠.由于边带之间存在耦合，在Floquet能谱上会在能量交叠处打开能隙，称之为动态能隙.由边带重叠条件可得，动态能隙的中心位置Epc=Ec+(ћω-Eg)/2.图中能量为 0.6 eV的红色虚线标记了这个Epc=0.6 eV的动态能隙的大致位置.在Floquet中心带(n=0)与n=-1的Floquet边带交叠的区域也存在动态能隙，它靠近图3(a)的价带，能隙的中心位置为Epv=Ev-(ћω-Eg)/2,其值-1.4 eV靠近左侧的红色虚线E=-1.5 eV.动态能隙的中心位置与光的频率有关，能隙宽窄与光的最大电场强度ε0有关.考察图3(a)的准平带与能量平移 ±ћω后的体带,在波矢较小处，它们有交点,施加光照后，在交点附近准平带会混入一些体带成分，能量与导线的准平带有少许偏离;在波矢较大处，准平带与平移后的体带没有交点，因而不受光照的影响.相应地，在图3(b)中依然可观察到准平带.

(a)无光照

2.2 磷烯纳米带在周期驱动下的输运特性

针对图1所示的输运体系，在不同光照参数下，笔者计算了电导的直流成分G随费米能EF的变化关系,绘制结果如图4所示.图4中，电导G以电导量子G0为单位，各插图展示了准平带附近较小能量范围内的电导.光照区域的长度和宽度取为l=w=50 nm.这样大的尺寸足以显示周期驱动对体系输运特征的主要影响.

在图4(a)中，光子能量固定为ћω=1.8 eV.在没有光照时(ε0=0)，G/G0是整数，其值的2倍等于磷烯纳米带的能谱图中直线E=EF与能带的交点个数.在体能隙中靠近零点的某个能量区间，存在值为2G0的电导平台，它对应准平带，因子 2源于准平带的轨道简并.图4(a)的插图更清晰地展示这个电导平台.施加光照后(ε0>0)，在2个特定的费米能EF=-1.3,0.5 eV处，电导几乎为零.电导被抑制的费米能区对应图3(b)中的动态能隙，它随光的场强ε0的增大而变宽.当 ћω=1.8 eV时，动态能隙的中心位置为Epc=0.5 eV，Epv=-1.3 eV.当费米能位于动态能隙内时，电子在光照区的Floquet本征态是衰减平面波的叠加.当l足够大时，从左端到右端各衰减波行进的距离足够长，透射波几乎为零.相应地，透射系数TRL(n,EF)被强烈抑制.

(a)固定光子能量ћω=1.8 eV，改变光的场强 ε0

针对ћω=1.8 eV,ε0=0.2 V/nm的情形，笔者还计算了由导线L的Floquet中心带散射至导线R中的-1，0，1边带时的透射系数谱TRL(n,E).计算结果绘制在图5中.在考虑的能量范围内，TRL(-1,E)几乎为零，TRL(1,E)只在准平带附近较为显著.能量位于体带内的入射电子主要被散射到右导线的 0边带.在动态能隙内，各TRL(n,E)都被强烈抑制.

图5 边带透射系数TRL(n,E) 随入射能E的变化(光场参数选取ћω=1.8 eV,ε0=0.2 V/nm)

图6绘制了光的频率对体系电导的连续调制.光的场强固定为ε0=0.2 V/nm，频率从近红外区变化到可见光区.图6中3条曲线对应的费米能EF=-1.5,-0.2,0.6 eV分别位于图3(a) 中的价带、准平带和导带.在费米能位于导带底附近的情形(EF=0.6 eV)，电导在光子能量为2.0 eV左右时几乎为零，零电导平台清晰可见.E=0.6 eV位于图3(b)的动态能隙中(对应 ћω=2.0 eV).当光子能量从1.9 eV(或 2.1 eV)变化到 2.0 eV时，电导从15G0迅速降到零,这展示了显著的光控开关效应.当费米能位于价带顶附近时(EF=-1.5 eV)，电导接近零的频率范围较窄，电导最小值出现在较高的光子能量(～2.2 eV)，光控开关效应也比较显著;当费米能位于准平带时(EF=-0.2 eV)，电导始终大于0.5G0，光的频率对电导的调制相对较弱，不存在光控开关效应.

图6 在不同费米能下，电导G随光子能量 ћω的变化(光的场强取ε0=0.2 V/nm)

2.3 散射态的概率密度

电导在动态能隙区和准平带区的特征也体现在相应散射态的概率密度上.对能量为E的电子从左导线入射的情形，在格点i处的相对概率密度ρ(i,E)可用流归一化的散射态ψk(i,E)表示：

(8)

此处求和指标k遍及左导线中能量为E、群速度大于零的所有布洛赫本征态.参考图5，笔者选取参数ε0=0.2 V/nm,ћω=2.0 eV，运用Kwant计算了费米能为-0.2 eV和0.6 eV时的概率密度分布,结果绘制成图7.

(a)EF=-0.2 eV

图7中，x<0,0≤x≤50 nm,x>50 nm的部分依次是左导线区、光照区、右导线区.当费米能位于准平带内时(EF=-0.2 eV)，由图6(a)可知，概率密度主要集中在上下边界附近，电子主要通过边缘态穿过光照区.随着格点x坐标的增加，概率密度在光照区逐渐衰减，但在右导线区明显不为零.这说明通过边缘态的传输被部分抑制但不会被关闭.这种传输抑制与光的场强相关.增加光照强度，抑制效果更为显著.当费米能位于动态能隙内时(EF=0.6 eV)，如图7(b)所示，概率密度从左导线区进入光照区后迅速衰减到几乎为零的值，在右导线区的值也很微小.这与图5中的电导抑制平台是一致的.

3 结 论

本文基于紧束缚模型，研究了zigzag边界的磷烯纳米带在单色线偏振光驱动下的输运性质.当光子能量大于体带隙时，在光照区的Floquet 能谱上会出现2个动态能隙；当导线的费米能位于某个动态能隙内时，电导的直流成分几乎为零.电导截止的能量范围依赖于费米能、光的频率和场强.当费米能位于体带的导带或价带其他位置时，体系的电导接近无光照的最大值.改变光的频率，可将电导在最大值与零之间迅速切换，实现光控开关效应.加上光照后，在zigzag磷烯纳米带的Floquet能谱上依然存在准平带.当费米能位于导线的准平带时，电导被辐照部分抑制，在某些能量范围接近无光照的最大值.这些结论有助于设计基于磷烯纳米带的光控器件.