线性代数课程的教学改革与实践

姚 婷

(合肥师范学院 数学与统计学院，安徽 合肥 230601)

线性代数是数学的一个分支，它主要研究含有多元未知量的线性方程组及其解的问题，是计算机、电子信息、经济学、物理与材料等各本科理工类专业的一门专业基础课程。该课程涉及较多数学理论知识，具有高度的抽象性、思辨性和严密的逻辑性，既是后续专业课程必要的数学基础，也是其他课程和应用领域处理多元问题的有力工具。根据以往的教学经验发现，学生的数学基础相对薄弱，对课程学习缺乏兴趣，难以将所学知识用于实践。教师需要通过调整教学内容和教学设计，提高学生学习线性代数课程的自觉性和兴趣，使学生将所学知识很好地运用于实践。因此，笔者结合线性代数的课程特点及学生的实际情况，在实际教学中进行以下的探究与思考。

1 把握知识主干，抓住重点知识

线性代数中包含较多的概念、定义及较抽象的定理、公式，这些知识具有一定的逻辑性和思辨性，学生理解起来往往难度较大，难以厘清知识点的联系。教师要弄清知识点之间的联系，特别是抓住重点知识的作用[1]；这需要教师对教学内容进行融合，合理安排教学内容，帮助学生理清知识主线，抓住重点知识。

线性代数的研究对象是含多元未知量的方程组及方程组的解。针对多元未知量线性方程组的特点，按照知识脉络将其分为两类。第一类：未知量的个数与方程的个数相等。对于此类方程组的求解，可以引入行列式的定义，根据行列式的性质或按行(列)展开法则计算。当系数行列式不等于零时，由克拉默法则可知，此类方程组有唯一解。第二类：未知量的个数与方程个数不相等，该类线性方程组的求解可以简化为方程的个数小于未知量的个数。为了求解此类方程组，进一步引入矩阵的概念：当系数矩阵为方阵时，该类方程组即为第一类方程组，由此可以判断第一类方程组是第二类方程组的特殊情况。在掌握矩阵概念的基础上，深入研究矩阵的运算及其应用，可以利用矩阵的初等变换，对一般的线性方程组求解，最后得出矩阵、向量组、方程组三者之间的相互转化关系(即等价关系)；也可以基于线性方程组的特点，利用不同方法对其求解。这样可以以解决线性方程组的解为研究目标，帮助学生抓住该门课程的知识重点。同时，教师可以根据方程组的特点，引入相关知识点，引导学生对其求解，帮助学生厘清知识脉络，构建全面、完整的线性代数知识结构，培养学生利用线性代数知识解决相关问题的能力。

2 转换教学方式，提高教学质量

向量的线性关系和线性变换是线性代数的灵魂，具有一定的抽象性。在教学中，教师可以采取案例教学与理论教学相结合的方式，把重要概念和定理与应用实例贯穿起来，帮助学生在理解概念的同时体会学以致用的乐趣。

矩阵作为线性代数的基础理论是学习线性代数的一把钥匙，掌握矩阵知识是学好线性代数课程的关键。在矩阵的教学中可以采用多样的教学手段。例如，在引入矩阵的概念时采用案例教学法，借助智慧课堂在上课前向学生提出问题：“某一厂家生产四种货物，它在上半年和下半年分别向三家商店发送货物的数量已知，试求该工厂在一年内向各商店发送货物的数量应该如何表示。”在学生提交的答案中选取有代表性的进行讲解。在教授行列式定义的基础上，通过多媒体展示引导学生发现：当使用元素ai,j(i=1,2,3；j=1,2,3,4)表示上半年工厂向第i家商店发送第j种货物的数量、元素bi,j(i=1,2,3；j=1,2,3,4)表示下半年工厂向第i家商店发送第j种货物的数量组成的数表时，结果表示得最清晰、简单。在此基础上给出矩阵的概念[2]：

使学生体会到矩阵在现实生活中的应用及意义。随后，在求该工厂一年内向各商店发送的数量时，进一步引入矩阵的加法运算，并强调矩阵的加法运算是对应位置元素的和，即A+B=(aij+bij)m×n，(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。

3 融入数学建模思想，提高学生的应用能力

数学建模，就是根据实际问题的特点和规律，基于数学语言，经过简化抽象，提炼数学问题，并通过求解数学模型，根据结果去解决实际问题的一种数学思考方法。数学建模法主要通过数学语言描绘具体现象，帮助学生理解、延伸知识，学会联系数学理论和实践问题，来充分彰显数学价值；是培养创新应用型人才的一种教学模式[3]。通过培养学生的数学建模思想，帮助他们体会线性代数的重要性；培养其利用数学工具分析、解决问题的意识和能力，使其感受数学知识的实用性。

在线性代数中有很多地方可以引进数学模型，例如：交通网络流量分析问题、配方问题、互付工资问题、平面图形的几何变换问题等。这些都可以利用线性代数中矩阵、线性方程组、线性变换等有关知识进行求解。基于数学建模的思想，逐步引入线性代数的基础知识和基本理论，能激发学生探索数学知识的积极性和主动性，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，引导学生体会学以致用的乐趣。同时，向学生介绍MATLAB、SPASS、MAPLE等数学应用软件，有助于提高学生借助计算机软件解决实际问题的能力，培养优秀的应用型人才。

4 改革考核方法，培养应用型和创新型人才

为实现培养应用型人才的目标，对线性代数课程的考核方式也应做相应的改革。以往的考核办法是平时成绩占40%，期末成绩占60%。但平时成绩评定通常包括考勤、课堂表现及课后作业，没有具体的标准，导致平时成绩不能拉开层次；期末考试的题目往往按照固定的内容和格式出题，部分学生通过考前突击就能获得理想的成绩，不能真实反映学生的学习情况，容易造成考试不公平、不客观的现象[4]。根据新教学理念，可适当增加学生的平时成绩占比，展示学生学习的参与度。比如利用翻转课堂、中国大学MOOC的随堂测试、微课视频等对学生学习情况进行详细的打分评价,增加过程性考核。充分利用线上网络平台，延展学生的学习及互动时间，进而达到良好的教学效果[5]。对于期末考试，要注重考查学生对基本概念、基本方法和基本理论的掌握情况[6]；题型可以适当地结合实际应用背景，通过对问题本质的探索，培养学生的数学思想，提高学生对知识的应用能力及解决问题的能力。

5 结语

为使学生真正成为学习的主人，具备学以致用的能力，最终实现提高教学效果的目的，针对线性代数课程特点，对教学内容进行调整、优化、整合，对教学方式及考核方式的改革。提出教师应当结合学生实际情况，充分利用线上网络资源，采用学生容易接受、感兴趣的方式进行教学，让学生真正感受到学习的乐趣，在学习中获得成就感和满足感，对学生今后的专业学习以及生活产生积极的影响，从而培养符合当今社会需要的应用型、创新型人才。