三阶时滞多智能体系统二分一致性分析

李艳艳， 李钟慎

( 1. 华侨大学 信息科学与工程学院， 福建 厦门 361021； 2. 华侨大学 机电及自动化学院， 福建 厦门 361021)

多智能体系统是分布式系统的一条重要分支，多智能体系统中的协调控制广泛地应用于电力系统[1]、电网群分布系统[2]、编队控制[3]等领域.一致性问题是多智能体系统的研究热点之一，它是指多智能体系统在没有中央协调控制或者全局通信的情况下，随着时间的推移，智能体之间相互通信，最终使各智能体的状态趋于一致.目前，关于多智能体系统的一致性问题已有较多的研究成果.然而，在实际生活中，有时会要求多智能体系统收敛于多个状态值.因此，许多学者对多智能体系统分组一致性问题进行研究[4-12].分组一致性是指随着时间的推移，智能体之间相互通信，最终使各智能体的状态趋于多个平衡点(状态值).在多智能体分组一致性问题中，时滞是一个不可忽视的因素.多智能体之间进行通讯的过程中，当智能体无法及时对接收到的数据做出反应时，就会存在输入时滞.由于许多物理因素及导致时延的其他因素难以避免，因此，研究时滞对多智能体系统稳定性的影响十分必要.

在现实生活中，相互联系的多智能体之间不仅存在合作关系，也存在竞争关系.二分一致性是指在连通二部图下，将多智能体系统分成两组，不同组的多智能体系统收敛于不同平衡点，同组多智能体系统收敛于同一平衡点.二分一致性是一种特殊的分组一致性问题[13]，根据连通二部图的特征，针对有无时滞的情况，提出一种基于竞争的控制协议.基于竞争的多智能体系统的研究大多集中于一阶、二阶的多智能体系统[14-16]，而关于三阶及高阶多智能体系统的研究尚不多见.基于此，本文提出一种基于竞争的三阶时滞多智能体系统控制算法.

1 预备知识与问题描述

考虑n个多智能体系统，智能体之间的关系为拓扑结构图G=(V，E，A).其中，V为顶点的集合，即智能体的个数，V={V1，V2，…，Vn}；E为拓扑结构图的边的集合，即多智能体之间进行信息交换的关系，E=V×V，(Vi，Vj)∈E(i，j取值范围为1～n)，(Vi，Vj)为智能体Vj能够接收智能体Vi传递的信息；A为系统的邻接矩阵，A=ai，j⊂Rn×n，ai，j为智能体Vi，Vj之间的连接权重.若智能体Vj是智能体Vi的邻居，则ai，j>0，否则，ai，j=0.Ni为智能体Vi的邻居集合.对于无向连通二部图，ai，j=aj，i.文中不考虑自环拓扑结构度矩阵D=[di，j]n×n.di，j的计算公式为

(1)

以连续的三阶多智能体系统为研究对象，各智能体的动力学模型为

(2)

式(2)中：xi(t)，vi(t)，ai(t)，ui(t)分别为智能体i在t时刻的位移、速度、加速度及控制输入.

(3)

式(3)中：γ，β均为耦合系数，γ>0，β>0；τ为输入时滞.

将式(3)带入式(2)，可得

(4)

式(4)的矩阵形式为

(5)

式(5)中：L为系统的拉普拉斯矩阵，L=D+A，D为连通二部图对应的度矩阵；In为单位矩阵.

2 主要结果及其证明

对系统(2)的二分一致性问题进行研究，给出引理1，2.

引理1[15]如果拓扑结构图G的拓扑结构为连通二部图，则在适当排序下，拓扑结构图G对应的邻接矩阵为

(6)

引理2[13]如果拓扑结构图G的拓扑结构为连通二部图，则系统的拉普拉斯矩阵L的秩为n-1，L的非零特征值为正实数.

证明：系统(5)表示的特征方程式为

det(sI3n-Γ-He-τs)=0.

(7)

式(7)可转化为

(8)

等效于

det(s3+s2Lβe-τs+sLγe-τs+Le-τs)=det(s3+s2λiβe-τs+sλiγe-τs+λie-τs)=0.

(9)

由式(9)可得

(10)

令

Y(s)=s3+s2λiβe-τs+sλiγe-τs+λie-τs=0.

(11)

当λi=0时，式(11)的3个零解s1～s3均为0.当λi≠0时，式(11)为

(12)

将s=jω代入式(12)，可得

(13)

(14)

根据奈奎斯特稳定判据，式(12)的特征值位于复平面左半平面的条件是式(13)不包含(-1，j0)点.

式(14)满足条件

(15)

因此，当满足式(15)的条件时，系统稳定.由此可知，满足式(15)的条件是系统问题的充分性条件.

证明：当系统稳定时，系统特征方程的非零特征值位于复平面的左半平面，证明过程与充分性证明过程相似.由此可知，根据奈奎斯特稳定判据，式(12)的特征值位于复平面的左半平面的条件为

(16)

由此可知，系统稳定的必要条件是满足式(16)，且式(15)与式(16)相同.

由上述的充分性和必要性证明可知，式(15)是多智能体系统实现一致性的充要条件.

证明：由引理2可知，当λi≠0时，λi为正实数.由式(15)可得

(17)

式(17)中：ω满足

ω6-ω4|λi|2β2-ω2|λi|2(γ2-2β)-|λi|2=0.

(18)

由式(17)可知：ω随λi的增大而增大，τ随ω的增大而减小，故τ有最大值，即

(19)

3 仿真实验

8个多智能体的连通二部图，如图1所示.图1中：{1，2，3，4}为一组智能体，{5，6，7，8}为一组智能体，智能体之间的权重为1.8个智能体的位移(x)初始值分别为-8，21，36，45，70，60，0，55 m，8个智能体的速度(v)初始值分别为-3，10，6，-2，0，9，-5，8 m·s-1，8个智能体的加速度(a)初始值分别为-1，-1，3，-4，6，-2，3，-4 m·s-2.由图1可得系统的拉普拉斯矩阵为

图1 8个多智能体的连通二部图Fig.1 Connected bipartite graph of eight multi-agents

(20)

当γ=1，β=2时，τ*=0.141 2.当τ<0.141 2，τ=0.141 2，τ>0.141 2时，多智能体系统的状态响应分别如图2～4所示.

图2 多智能体系统的状态响应(τ<0.141 2)Fig.2 State responses of multi-agent system(τ<0.141 2)

图3 多智能体系统的状态响应(τ=0.141 2) 图4 多智能体系统的状态响应(τ>0.141 2) Fig.3 State responses of multi-agentsystem(τ=0.141 2) Fig.4 State responses of multi-agentsystem(τ>0.141 2)

由图2～4可知：当满足定理1的条件时，系统可以实现二分一致性；当刚好达到定理1的条件时，系统处于临界稳定状态；当不满足定理1的条件时，系统无法实现二分一致性.

4 结束语

提出一种基于竞争的三阶时滞多智能体系统控制算法，得到多智能体系统实现二分一致性的充要条件，同时给出多智能体实现二分一致性允许的最大输入时滞.文中研究仅针对带有相同输入时滞的三阶多智能体系统，而带有不同通信时滞和不同输入时滞的三阶多智能体系统的二分一致性问题将是今后研究的方向.