基于改进混合粒子群算法的机器人轨迹规划

段倩倩，辛绍杰

(上海电机学院机械学院，上海 201306)

0 前言

机械臂轨迹规划一直都是机器人控制领域的研究热点。目前轨迹规划分为两种：一种是对时间进行优化，选择运动时间作为优化对象可以提高机器人工作效率；另一种是对系统能量进行优化，选择系统能量作为优化对象，可减少机器人的能量损耗，延长使用寿命。

针对机械臂的运动时间与平稳性问题，文献[2]提出了五次多项式插值法对上肢康复机器人进行关节空间的轨迹规划，得到了各关节较为平滑的角位移、角速度和加速度曲线；文献[3]提出了基于非线性动态改变惯性权重的粒子群优化算法，并采用传统的3-5-3多项式插值方法，整体运动时间缩短了约26%，证明了该算法的可行性；沈悦等人提出了一种基于PSO的工业机器人时间-脉动最优轨迹规划算法，结合五次非均匀B样条插值法，通过实验证明了该方法的有效性；胡嘉阳和韦巍将五次NUBRS曲线作为工作轨迹，利用混合粒子群算法，针对机械臂脉动冲击、能量消耗和工作时间等3个优化目标建立了帕累托最优解集，证实了该方法可有效提高机械臂运行效率和实现约束条件下的多目标优化。采用传统的数学插补函数虽然可以保证各关节位置、速度和加速度的连续性，保持关节运动的平稳性，但无法优化运动时间，效率低下。单目标粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)实现简单、搜索高效，但也存在容易早熟无法找到全局最优解的弊端。

本文作者建立新的模拟退火Metropolis准则，并将它引入粒子群算法，加强粒子群优化算法的全局搜索能力。采用非线性惯性权重递减策略平衡粒子群算法全局和局部搜索能力；设计动态学习因子，有效加快算法前后期的搜索速度；通过权重系数归一法得到以运行时间-脉动冲击为目标函数的最优解。结果表明：使用改进混合粒子群算法进行轨迹优化，有效减少机械臂脉动冲击，保持平稳运行，提高机器人的工作效率。

1 构造关节空间轨迹曲线

在机器人运动学中，已知运动过程中各关节角随时间的变化，可采用高阶多项式对轨迹进行规划。相对于五次多项式插补函数，七次多项式函数不仅可保证各插值点的位置、速度和加速度的连续性，而且还可使各关节的加加速度保持连续，减少机械臂工作过程中产生的冲击。因此，在每个关节的关节空间下选取4个路径点，形成3段轨迹曲线。构造5-7-5轨迹曲线表达式如下：

1()=+++++

(1)

2()=++++++

+

(2)

3()=+++++

(3)

式中：表示第1～6个关节；1、2、3(=1～)分别表示各关节轨迹方程的第个系数。对式(1)—(3)依次求1、2、3阶导可得到时刻的速度、加速度和加加速度表达式。通过以上表达式，可为机械臂在关节空间内定义运动约束条件。

考虑曲线路径起始点和末端点状态，定义各关节的起止点位置、速度和加速度以及加加速度为0，保证位置、速度、加速度和加加速度即轨迹的3阶导数在中间两点处皆连续。已知以上约束条件，关节空间轨迹曲线系数与路径点角度关系的推导过程如下：

=[,0,0,0,,0,0,0,,,,,0,0,0,0,0,0,0,0]

=·

(4)

(5)

(6)

=

(7)

(8)

,…,为时间系数矩阵的矩阵分量，为关节位置参数矩阵。通过式(4)可求得多项式系数，再将该系数矩阵回代至式(1)—(3)中，可求得5-7-5关节空间轨迹方程。

2 基于多目标混合粒子群算法轨迹规划

2.1 优化目标确立

在机械臂工作时，主要通过运行时间、能量损耗、脉动冲击这3个指标来衡量是否达到要求。以机械臂的时间-脉动冲击最优为目标，构造基于时间的目标函数、基于脉动冲击的目标：

(9)

(10)

其中:代表机械臂总运行时间，可用来衡量运行效率；加加速度代表脉动冲击量，衡量机械臂轨迹的平滑性。根据确立的优化目标函数，通过设定权重系数将目标函数归一化进行处理，定义适应度函数为

=+

(11)

式中:和为权重系数，且满足+=1;为弹性调节因子，的存在是为了平衡脉动冲击和动作时间数量级上的差别。通过试凑法确定的取值为0.01，再通过调整和可使动作时间和脉动冲击在一定程度上均达到最优效果。

2.2 约束项确立

由于机械臂关节具备自由旋转的空间活动度，约束项的确立可为机械臂确定工作范围，提高机械臂的工作性能。为达到时间-脉动冲击最优，定义约束条件如下：

位置约束：≤|()|≤；

速度约束：|()|≤；

加速度约束：|()|≤；

加加速度约束：|()|≤；

其中：和分别表示关节相对于初始位置方向的最小和最大旋转位移；、、分别表示速度、加速度和加加速度最大值。

2.3 基于粒子群算法的多目标优化

粒子群算法是在1995年由KENNEDY、EBERHART共同提出的。该算法通过模拟鸟群和鱼群等群体捕食的移动机制，将鸟群或鱼群中的个体形容为“粒子”，利用粒子之间和粒子与最优粒子间的信息交互，不断更新，找到群里最优解。将粒子群算法应用在多个目标求综合最优的算法称为多目标粒子群优化(Multiple Objective Particle Swarm Optimization，MOPSO)算法。

2.4 粒子速度与位置更新

多目标粒子群优化算法是建立在传统粒子群算法基础之上的算法，但求解对象的数量不同。初始化目标种群后，通过位置、速度和适应度来表示种群中的粒子特征。粒子在维搜索空间中不断迭代更新位置、速度以及适应度的每一次过程中，都会产生一个粒子适应度最优位置，再与每一次迭代更新产生的不同的最优个体适应度比较，从而确定全局最优解，粒子的速度和位置迭代表达式分别如式(12)(13)所示：

(12)

(13)

2.5 惯性权重系数设计

为惯性权重系数，它的存在会使粒子在计划改变行进方向时由于惯性继续朝着当前方向行驶一段距离，因此值可以平衡局部和全局搜索的能力。多目标优化问题属于复杂非线性寻优问题，采用非线性递减惯性权重策略处理多目标的局部和全局搜索能力，如公式(14)所示：

(14)

其中:为惯性权重系数初始值;为迭代结束后的惯性权重；为第次迭代；为迭代最大次数。

2.6 动态学习因子设计

为全局学习因子，为局部学习因子，为初始值，学习因子随着粒子的每一次迭代更新而更新，表达式分别如式(15)(16)所示：

(15)

(16)

2.7 改进模拟退火算法

与粒子群优化算法相似，模拟退火算法包含两层循环，外层表示温度的逐渐降低，内层则表示在当前温度下的迭代次数。模拟退火算法在原解的邻域通过扰动随机产生新解,new，并通过Metropolis准则生成概率表达式，通过概率表达式判断是否接受新解。

传统模拟退火算法是随机进行大范围的搜索，效率低下。针对文中待优化的多目标函数，对原算法进行改进，强化局部搜索能力。改进Metropolis准则如式(17)所示：

(17)

式(17)为通过扰动当前模型而随机产生的新解模型表达式。式中：,e、,s分别为的最大值和最小值；为扰动因子；为(0,1)内的随机数；为当前温度；为最大迭代次数；为确定非均匀性程度的常数(形状因子)；sgn为符号函数，定义如式(18)所示：

(18)

由式(17)(18)可知:高温时，解的搜索范围非常大，但随着迭代次数的增多，温度降低，搜索范围逐渐减小，可以较好地控制搜索;值越大，控制局部搜索的能力就越强，提高了其收敛性能。

2.8 惯性权重系数设计

改进的Metropolis准则如式(19)所示：

(19)

其中:为温度;为实数;为正实数。

所降低的温度表达式如式(20)所示：

=exp(-12)

(20)

其中:为初始温度；为迭代次数；为温度衰减系数。

2.9 改进混合粒子群算法步骤

多目标粒子群混合改进模拟退火算法步骤如下：

步骤2，设定待求解适应度函数，通过目标函数和结合约束条件计算每次迭代值，并以适应度作为迭代次的衡量标准，将次迭代更新中每个粒子出现过的最优点作为个体最优解保存，再与整体种群粒子比较，选取全局最优值保存。

步骤3，每次迭代后粒子速度和位置都会更新一次，更新后的新解由改进的模拟退火算法Metropolis准则判断是否接受并作为局部最优，再以步骤2的方式更新全体最优，选择接受新解的概率表达式为式(19)；

步骤4，比较迭代次数，将迭代前期到迭代后期时间内，粒子分布由发散逐渐到集中作为原则，按照公式(20)更新退火温度，使温度加快下降；

步骤5，比较当前迭代次数和最大迭代次数的大小，当<时，迭代继续；当>时，迭代结束，退出循环。

3 机械臂模型建立

以某六自由度机器人(SFR-TA)为研究对象进行建模，采用D-H参数变换法建立SFR-TA运动学模型。将SFR-TA多余部件等简化去除，只保留机械臂部分，并按比例规划后建立D-H参数连杆坐标系，如图1所示。对应的D-H参数如表1所示。

图1 SFR-TA机械臂连杆坐标系

表1 SFR-TA的D-H参数

规划机械臂末端执行器从点(6,3.5,0)cm运动至(3,1,3)cm的轨迹曲线，如图2所示。

图2 SFR-TA运行轨迹

在该轨迹曲线上选取4个关节空间路径点，如表2所示，表示第个关节在第个路径点的位置。

表2 关节空间路径点 单位:(°)

初始化各关节插值点间的运动时间间隔，令其间隔时间都为8 s，形成3-5-3多项式轨迹。各关节轨迹曲线如图3所示。

图3 3-5-3多项式轨迹

由图3可知，虽然各关节在整个运动过程中的位置、速度和加速度轨迹曲线均保持平滑连续，且满足起止点指定速度和加速度为0的要求，但加加速度曲线出现了剧烈波动，轨迹不平滑，说明机械臂在动作过程中发生了较明显的冲击，无法保证其运行平稳性。

4 仿真实验与结果分析

4.1 仿真条件与参数设置

为验证改进混合粒子群算法的有效性，利用5-7-5多项式对SFR-TA运行轨迹进行点至即点到点的轨迹规划。定义机械臂动作时间为8 s，指定起止点的速度、加速度和加加速度均为0，各关节运动特性约束值如表3所示。

表3 SFR-TA关节运动学约束

初始化改进混合粒子群算法参数：粒子数=20；迭代次数=300；粒子飞行速度为(-2，2)rad/s；动态学习因子==2；惯性权重系数=0.4、=0.9；初始温度=100 ℃；温度衰减系数=0.8。

4.2 仿真结果

根据进混合粒子群算法步骤对目标函数进行优化，结果如表4所示。

表4 目标函数优化值

由表4可知:随着的减小而增大，随着的增大而减小，说明动作时间最优和脉动冲击最优是共同制约的关系，当动作时间达到最优时，脉动冲击优化效果差，反之亦然。因此，应根据实际工程需要选取出最合适的权重系数，使得适应度函数最小，从而达到二者的最优解。选取==0.5情况下的各关节优化时间如表5所示。

表5 关节运动时间优化值

根据以上优化条件，利用5-7-5多项式构造点至的各关节轨迹曲线，如图4所示。

由图4可知：相比于图3中3-5-3多项式插值轨迹，优化后采用5-7-5多项式规划的轨迹曲线不仅位置、速度和加速度皆连续，而且加加速度的轨迹曲线在整个运行过程中没有发生突起和波动，且都满足设定的运动学约束条件，能够实现平稳启停，不会产生冲击。由表5可知：经过改进混合粒子群算法优化后，各关节的动作时间减少了，关节总体优化值相对于设定时间总和减少了28.752 1 s。由图3和图4可知，脉动冲击值得到大幅度优化。

图4 各关节优化轨迹

综上，采用改进混合粒子群算法优化5-7-5多项式插值可以得到平滑连续、脉动平稳的运动轨迹，提高了机械臂的工作效率，同时保证了运行平稳性。

4.3 改进混合粒子群算法的稳定性分析

为证明多目标混合粒子群算法的稳定性，以关节4为例，分别采用多目标混合粒子群算法和传统粒子群算法进行优化，并进行多次寻优，结果如表6所示。

表6 2种算法优化时间的对比 单位:s

由表6可知：在6次寻优结果中，传统粒子群算法的优化时间经常变动，最大为3.667 4 s；而改进混合粒子群算法的搜索时间都稳定在3.625 8 s，并且时间更短，具有较强的稳定性。

由图5可知：改进混合粒子群算法的收敛速度远快于传统粒子群算法，迭代次数控制在50以内，验证了改进混合粒子群算法具有更快的全局搜索能力。

图5 多目标混合粒子群和传统粒子群时间寻优对比

5 结语

本文作者提出了一种改进混合粒子群优化算法，借助机器人工具箱构造SFR-TA的运动轨迹，结合5-7-5多项式规划方法，通过改进混合粒子群算法进行机器人的时间和脉动冲击最优设计，使得运动时间有效减短，且平稳性较好，有效提高机器人工作性能。主要改进了以下两方面：将模拟退火机制引入粒子群算法，对模拟退火算法中的Metropolis准则进行改进，建立了新的概率接受表达式和降温操作，加快全局搜索能力和收敛速度；利用改进混合粒子群算法对5-7-5多项式的系数进行优化，同时优化运动时间和脉动冲击，提高迭代效率。结果表明：与传统粒子群算法相比，改进混合粒子群优化算法的全局搜索能力更强、收敛速度更快，并具有很好的稳定性，能有效提高机器人工作效率并保持运行平稳性。