Hadamard 缺项幂级数及双曲完备极小曲面

张建肖，刘晓俊

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

极小曲面理论是近年来发展较快的一个数学分支，它广泛存在于自然界当中。关于极小曲面的很多问题也源于自然界，这就为学者们更好地了解极小曲面的性质创造了有利条件。1954 年，Calabi[1]提出了以下2 个猜想：

猜想1包含于 R3的半空间中的完备极小曲面一定是平面。

猜想2R3中的完备极小曲面是 R3中的无界子集。

1980 年，Jorge 等[2]利用Runge 逼近定理证明了存在位于 R3中2 个平行平面之间非平坦的完备极小曲面，从而否定了猜想1。

1996 年，Nadirashvili[3]利用Runge 逼近定理否定了猜想2，证明了存在极小浸入到 R3中单位球的具有负Gauss 曲率的完备极小曲面。但是，他们的证明只是表明存在相应的极小曲面，没有给出具体的满足条件的极小曲面的例子。

于是，这就需要学者们对于能否构造出具体的完备极小曲面实例进行深入的研究。

1992 年，Brito[4]利用Hadamard 缺项幂级数构造了 R3中位于2 个平行平面间的完备极小曲面族，给出了实例，得到定理1。

由此，只要令Weierstrass 表示中的f=1且g=h′，即可得到 R3中2 个平行平面间的完备极小曲面族。于是，研究发现Hadamard 缺项幂级数与完备极小曲面存在紧密的联系。

根据定理1 的条件a 和b 可知，当j充分大时，趋向于 ∞ 的速度远大于趋向于0 的速度。于是，自然地可以提出如下问题：能否减弱此条件。

受到1991 年孙道椿[5]证明方法的启发，作者继续研究能否构造出位于 R3中2 个平行平面间的完备极小曲面，得到定理2。

2 定义与符号

设 Δ为复平面 C 中的单位圆盘，现讨论由 Δ参数化的完备极小曲面。……