非线性分数阶微分方程的hp 型Legendre 谱配置法

李 珊，安 筱，孙桂磊

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

分数阶微分方程最重要的是非局部性质,它能有效地避免整数阶导数的局部性,所以，分数阶导数可以更加精确地描述对历史有依赖的问题。这种非局部性质使得分数阶微分方程在许多工程和科学领域，特别是在描述具有记忆过程、遗传特性[1-3]和异质材料等方面越来越有吸引力。分数阶微分方程已被广泛应用于各种复杂的黏性流体流动模型，如异常扩散过程[4]、分数动力学[5]、粘弹性材料[6]、输送管道边界层效应[7]、氧气通过毛细血管输送到组织[8]等。同时，利用分数阶导数描述问题时，使用少量的参数就能获得与实际相吻合的结果，所以，与整数阶微分方程相比较，在处理复杂系统时，使用分数阶微分方程建模将更加简单、参数意义更加清楚。一般来说，对分数阶微分方程的求解是非常困难的。近几年，学者们对分数阶积分微分方程的基本理论及其数值求解进行了大量的研究。因为，一方面分数阶微分方程的求解可以转化为等价的积分方程进行求解；另一方面为使得数学模型更加符合客观实际，对分数阶积分微分方程的求解已经不可避免，所以，对分数阶积分微分方程的理论及其数值方法的研究越来越受到学者们的关注。本文提出了一种求解以下非线性分数阶初值问题的有效数值方法。

其中，α∈(0,1),f∈C(0,T),并且 Dα是根据下面定义的 α阶Caputo 导数。

Caputo 导数 Dα不同于传统的微分算子，它是一种全局算子。……