含石墨烯四层平面波导TM振荡模的传输特性

沈陆发

(湖州师范学院 理学院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

2004年，英国曼彻斯特大学物理学家Andre Geim和Konstantin Novoselov从石墨中成功分离出石墨烯[1].该材料是一种由单层碳原子构成的片状结构，具有无可比拟的力学、电学、热学和光学等特性[2-5]，被广泛应用于电子学、光电子学、生物医学、热学和力学等学科领域，并受到全球学者们的高度关注.一些学者对含石墨烯传感器进行了相关研究[6-7]，成功实现了NO2的选择性检测，并提高了调制器的调制性能.还有一些学者对含石墨烯波导进行了研究[8-11]，如：基于石墨烯的多波段新型吸收器、基于石墨烯结构的等离子体诱导透明，以及外加电压不能调节TM表面模等.但这些研究大多是针对TM表面模的，缺乏对TM的全面研究.本文主要对含石墨烯四层平面波导TM振荡模进行相关研究，根据Maxwell方程组得到TM振荡模的色散方程和功率流方程，并根据这些方程画出相关特性曲线，从而发现该模的一些新特性.

1 含石墨烯四层平面波导TM振荡模的色散方程和功率流方程

1.1 石墨烯材料

石墨烯(Graphene)是一种由碳原子以sp2杂化轨道组成六角形呈蜂巢晶格的平面薄膜，且只有一个碳原子厚度的二维材料.它的磁导率为1.0，有效介电常数为[12]：

(1)

单层石墨烯的电导率服从Kubo公式[13]:

(2)

其中,T为温度(本文采用室温，即300 K)，kB、h分别为Boltzmann常数和Planck常数，fD(ξ)=[exp(ξ-μc/kBT)+1]-1为 Fermi-Dirac函数，τ=0.1 meV.

石墨烯的化学势与外加电压Vg有关，即：

(3)

其中，ħ为Dirac常数,vF为Fermi速度，近似为106m/s，a0=9×1016m-1V-1，Vdirac与石墨烯掺杂有关.本文采用Vdirac=0.根据式(2)和式(3)可知，石墨烯的电导率与频率、温度和化学势等物理量有关.假定温度为室温(300 K),而化学势与外加电压有关.下面根据频率、外加电压、波导厚度等物理量对该波导的传输特性进行详细分析.

1.2 含石墨烯四层平面波导TM振荡模的色散方程

含石墨烯四层平面波导结构如图1所示.波导的芯层是普通介质2，其厚度为d2，介电常数为ε2，磁导率为μ2；覆盖层(介质1)和衬底(介质3)为普通材料，其介电常数和磁导率分别为ε1、ε3和μ1、μ3.在介质1和介质2之间的薄层为石墨烯，其介电常数为εg，磁导率为μ0，厚度约为0.34 nm.石墨烯的厚度比波导其他介质层的厚度小得多，可以忽略不计.类似的处理方法见文献[8].为简化，因子exp[i(ωt-βz)]在下列所有方程中被省略，因子中的ω和β分别为角频率和纵向传播常数.对于振荡模，电磁场在芯层是振荡的，在覆盖层和衬底是衰减的.对于含石墨烯平面波导，由于TE模较弱，因此本文主要讨论TM振荡模，该模只有Hy、Ex和Ez3个电磁分量.根据Maxwell方程组,芯层(介质2)的电磁场应满足下列方程：

(4)

(5)

(6)

图1 含石墨烯四层平面波导结构示意图Fig.1 The schematic geometry of a four-layer slab waveguide with graphene

同样,在覆盖层(介质1)和衬底层(介质3)，只要将上述方程中的介电常数和磁导率改为对应介质层的介电常数和磁导率，也可得到类似的电磁场方程.经计算，得到波导在各介质层中的磁场分布为：

Hy1=Aexp[-q1(x-d2)],x>d2，

(7)

Hy2=Bcos(k2x-φs), 0

(8)

Hy3=Cexp(q3x),x<0,

(9)

在介质1和2之间是单层石墨烯，其相应的边界条件为(当x=d2)：

Hy1-Hy2=σEz1.

(10)

将式(10)代入式(7)～(9)，得TM振荡模的色散方程为：

(11)

其中，m为模阶数.

1.3 含石墨烯四层平面波导TM振荡模的功率流方程

根据电磁场理论，波导中的功率流可通过Poynting矢量积分求得.关于TM振荡模，其波导各层介质的功率流公式为[15]：

(12)

其中，l=1、2、3，Pl为波导各层所传输的功率流.

将式(7)～(9)代入式(12),得波导各层的功率流为:

(13)

(14)

(15)

其中，P1、P2和P3分别为波导覆盖层、芯层和衬底的功率流.

为深入分析TM振荡模功率流在波导芯层中的传输特性，本文采用以下归一化形式：

(16)

其中：|Pl|为波导各层传输功率流的绝对值；Pcore为波导芯层功率流与总功率流的比值，即归一化芯层功率流.若Pcore=1，则功率流集中在芯层传输；若Pcore=0.5，则芯层功率流与包层功率流达到动态平衡；若Pcore=0，则功率流只在覆盖层和衬底中传输.

2 结果与分析

2.1 含石墨烯四层平面波导TM振荡模的色散特性

2.1.1 外加电压对TM基模色散特性的影响

根据方程(1)～(11)，当波导厚度d2=0.20 mm,外加电压分别为Vg=0.1 μV、 0.1 mV、0.1 V时，TM0模的色散曲线如图2所示.

图2 外加电压对TM0模色散曲线的影响Fig.2 The dispersive curves of TM0 mode depend on the gate voltages

从图2可以看出，随着频率的增加，有效折射率单调增加.当频率小于55 THz时，有效折射率缓慢增加；当频率从55 THz增加到150 THz时，有效折射率较快增加(从1.6增加到2.6)，该特性将有益于制备新型传感器；当频率超过150 THz时，有效折射率又缓慢增加，最后趋于定值(3.2)，且该模始终具有正常的色散特性.

从图2还可以看出,当石墨烯外加电压从Vg=0.1 μV增加到0.1 mV及0.1 V时，色散曲线几乎重合.为进一步探讨外加电压对TM振荡模的影响，调整频率和有效折射率的范围，画出相关色散曲线，如图2中的右上图所示.通过分析发现，外加电压对TM振荡模的色散特性有较小的影响，随着外加电压的增加，色散曲线下移，有效折射率变小，且这些变化是不均匀的.当外加电压从Vg=0.1 μV增加到0.1 mV时，有效折射率的减小幅度较大；当外加电压从0.1 mV增加到0.1 V时，有效折射率的减小幅度较小.可见，外加电压的改变对TM振荡模的色散特性只有小范围的影响.有学者发现，外加电压对单层石墨烯波导TM表面模无影响[6].总之，外加电压对单层石墨烯波导TM模的影响较小或无影响.

2.1.2 波导厚度对TM0振荡模色散特性的影响

根据方程(1)～(11)，当外加电压Vg=0.1 mV时，不同波导厚度(d2=0.02 mm、0.20 mm、2.00 mm)TM0模的色散曲线如图3所示.通过分析发现，它们都属于正常色散，且随着波导厚度的增加，曲线左上移，低频段有效折射率快速变大，特别是当波导厚度d2=2.00mm、频率从10 THz增加到20 THz时，有效折射率从1.95快速增加到2.94.该特性将有助于新型传感器的设计.

图3 波导厚度对TM0振荡模色散曲线的影响Fig.3 The dispersive curves of TM0 oscillating mode depend on the waveguide thickness

2.1.3 模阶数对TM振荡模色散特性的影响

根据方程(1)～(11)，当外加电压Vg=0.1 mV、波导厚度d2=0.20 mm时，不同模阶数(m=0、1、2) TM振荡模的色散曲线如图4所示.通过分析发现，随着模阶数的增加，色散曲线沿右下方移动，有效折射率变小，截止频率变大.当频率低于250 THz时，只有TM0模传输；当频率高于250 THz且低于480 THz时，TM0与TM1双模传输；当频率高于500 THz时，TM0、TM1和TM2三模共存.因此，当波导厚度为0.20 mm时，要实现TM基模传输，频率应低于250 THz.

图4 不同模阶数TM振荡模的色散曲线Fig.4 The dispersive curves for TM oscillating modes depend on the mode number

2.2 含石墨烯四层平面波导TM振荡模芯层功率流的特性

2.2.1 外加电压对基模TM0芯层功率流的影响

根据方程(1)～(11)和方程(13)～(16)，当波导厚度d2=0.20 mm、外加电压Vg=0.1 μV、0.1 mV、 0.1 V时，TM0模芯层功率流特性曲线如图5所示.通过分析发现，随着外加电压的增加，功率流特性曲线几乎重合.当频率低于5.0 THz时，Pcore=0，芯层功率流为零，功率流全部集中在覆盖层和衬底层；随着频率的增加，芯层功率流缓慢增加；当频率高于20 THz且低于80 THz时，芯层功率流较快增加；当频率超过120 THz时，Pcore=1，全部功率流集中在芯层，称为最大芯层功率流，覆盖层和衬底层的功率流等于零.这体现了石墨烯良好的聚光效应，也为制造超薄型平面波导指明了方向.为进一步探究外加电压对TM模功率流特性的影响，画出当频率从99 THz增加到到99.2 THz时的功率流特性曲线，如图5中的右上图所示.通过分析发现，随着电压的增加，曲线下移，芯层功率流变小.其原因可能是有效折射率变小，使得波导聚光能力变弱，从而导致芯层功率流变小.当外加电压从0.1 μV增加到0.1 V时，芯层功率流(频率为99.2 THz)从0.976 30减小到0.976 21.所以，外加电压可对TM模功率流进行微调.

图5 外加电压对TM0振荡模芯层功率流的影响Fig.5 The dependence of the normalized power flow curves of TM0 oscillating mode on the gate voltages

2.2.2 波导厚度对基模TM0芯层功率流的影响

根据方程(1)～(11)和方程(13)～(16)，当外加电压Vg=0.1 mV，波导厚度分别为d2=0.02 mm、0.20 mm、2.00 mm时，TM0模芯层功率流特性曲线如图6所示.通过分析发现，随着波导厚度的增加，功率流特性曲线沿左上方移动，特性曲线单调变化，芯层传输最大功率流(Pcore=1)对应的频率变小.当波导厚度为0.02 mm时，只要频率高于800 THz，芯层就能传输最大功率流；当波导厚度为0.20 mm时，频率高于120 THz，芯层也能传输最大功率流；当波导厚度为2.00 mm时，只要频率高于25 THz，芯层就能传输最大功率流；当波导厚度从0.02 mm增加到2.00 mm时，实现Pcore=1的工作频率从800 THz快速减小到25 THz.芯层功率流的这些新特性为不同波段超薄型平面波导的研究指明了方向.

图6 波导厚度对TM0振荡模芯层功率流的影响Fig.6 The dependence of core power propagation curves for TM0 oscillating mode on the waveguide thickness

2.2.3 模阶数对TM模芯层功率流的影响

根据方程(1)～(11)和方程(13)～(16)，当外加电压Vg=0.1 mV、波导厚度d2=0.20 mm时，不同模阶数TM模芯层功率流特性曲线如图7所示.通过分析发现，当模阶数m=0、1、2时，它们有类似的芯层功率流特性曲线.随着模阶数的增加，曲线右移，最大芯层功率流(Pcore=1)的工作频率变大，对应的最小工作频率分别为130 THz、350 THz和550 THz.总之，随着模阶数的增加，实现芯层最大功率流所对应的最小频率也不断增加.这为不同模式、不同波段超薄型波导的研究指明了方向.

图7 模阶数对TM振荡模芯层功率流的影响Fig.7 The core-power flow propagation curves for TM modes depending on the mode number

3 结 论

本文对含石墨烯四层平面波导TM振荡模进行了相关研究.该波导的芯层为硅及单层石墨烯，覆盖层和衬底层为二氧化硅；根据Maxwell方程组和切向边界条件，得到了含石墨烯四层平面波导TM振荡模的色散方程和芯层功率流方程，并根据这些方程画出了相关的特性曲线.通过分析这些曲线发现：

(1) 随着频率的增加，有效折射率、芯层功率流单调增加，且呈现先慢后快再慢的变化规律.波导厚度和模阶数对它们有明显的影响，外加电压可以对其实现微调.而普通的平面波导在制备后，其传输特性就不能更改，这也是该类波导的特性之一.

(2) 随着波导厚度的增加，实现芯层最大功率流的频率变低；随着模阶数的增加，实现芯层最大功率流的频率变高.当波导厚度为0.20 mm、频率高于120 THz且低于250 THz时，芯层能传输最大功率流，且是单模传输.这些发现将有助于新型传感器和超薄型波导等器件的开发.