一种自适应扰动观测器的机械手滑模控制研究

马金茹，高文华，祁宇明

(1.北京电子科技职业学院汽车工程学院，北京 100176；2.天津科技大学，天津 300222;3.天津职业技术师范大学，天津 300222)

0 前言

近年来，机械手发挥着越来越重要的作用，也受到越来越多的关注。对机械手的控制性能要求也越来越高，机械手操作系统的运动控制特性受负载的变化影响比较大，进而使得机械手控制系统特性严重下降。

国内外研究学者对机械手控制系统开展了较多的研究，文献[3]中利用自适应协调控制方法开发了一种用在线参数估计算法来增强的自适应滑模控制器，估计了机器人手臂的质量和转动惯量等未知物理参数。文献[4]中研究表明在扰动是有界变差的假设下，基于观测器控制的闭环系统是输入到状态稳定的，不确定性的影响只能衰减到一个特定的水平。文献[5]中开发出一种SMC方法，假设当时间接近无穷大、扰动导数为零的情况下，通过非线性观测器处理具有非匹配不确定性的系统，这些观测器只能用于慢时变扰动，而该假设不适合工程实际。观测器的增益矩阵是逼近未知不确定的一个重要设计参数。文献[6]中提出了一种新的自适应机制的观测器增益矩阵的一般设计方法，但对于多输入多输出(MIMO)系统不适用。王炯宇等提出一种基于模糊滑模的交叉耦合轮廓误差控制方法，通过设计的模糊跟踪控制器的仿真验证，表明了该方法能够提升两轴伺服系统轮廓的控制精度。王文娟、李俊针对轨迹跟踪存在随机干扰等问题，在自适应控制与滑模控制的基础上，利用径向基函数(RBF)神经网络设计了高精度控制律，消弱了滑模控制的抖振现象，通过仿真验证了所设计的控制律的精确性。陈治提出了一种基于RBF神经网络的自适应滑模控制算法，仿真结果表明该算法的系统动态误差小，具有较强的抗干扰能力，能有效解决路由数据传输队列长度的控制。郑耿峰基于移动机械臂自适应模糊控制和滑模控制方法，提出了考虑未知动力学模型不确定性干扰的控制模型，通过模糊控制来逼近系统以解决参数的不确定性，该模型有效补偿了控制器对系统总体参数的不确定性问题，提高了机械臂的轨迹跟踪性能。邢艳荣等针对四轮全向移动机器人提出了一种自适应滑模控制方法，MATLAB仿真表明:该方法能够减小系统的抖振，较好地降低了参数变化、外部干扰对机器人轨迹跟踪的影响。刘树博等基于机器人多目标扰动观测器不确定性问题，提出一种滑模自适应控制策略，采用设计多目标扰动观测器来估计扰动的参数值，仿真结果表明:该算法能够在给定信号的情况下，有效实现机器人的轨迹跟踪。

本文作者将进一步探讨在明确考虑未知外力的情况下，基于观测器的机械手跟踪轨迹控制策略，通过设计一种新的自适应增益算法，提出一种自适应机制的观测器一般设计方法，在未知恒定负载的情况下，使观测器状态达到预计的平衡。该算法将非线性扰动观测器设计方法扩展至多输入多输出系统，且放宽了滑模控制中扰动的边界假设，能够有效减轻控制系统的抖振现象。

1 模型化方法

对于个自由度的刚性机械臂，其动力学可以用拉格朗日-欧拉矢量方程来描述：

(1)

1.1 基本控制设计

跟踪误差由()=-表示，其中∈表示运动协调中的参考轨迹。设计任务是建立机械手系统的控制律，使得在未知载荷存在时，跟踪误差()能够为零。选取滑动变量：

(2)

其中：是对角矩阵。将方程(2)代入方程(1)得到：

(3)

(4)

(5)

则基本的滑模控制律可以由下式推导出：

(6)

(7)

为减少抖振，采用连续逼近(+)的方法代替signum函数，其中为较小的正常数，越小，逼近性能越好。为了消除抖振，用饱和函数sat()代替signum函数，然而这个方法的缺点在于原有的鲁棒性和控制性能会下降，如降低跟踪位置精度和增加稳态误差。另外，由于目标完全未知，不确定度的上界很难得到。当界限没有完全确定时，方程(6)中的增益需要选得足够大，较大的增益将导致剧烈的抖动。

1.2 非线性观测器的设计

在这一小节中，基于文献[6]设计关于动态方程(1)的自适应非线性扰动观测器(ANDO)：

(8)

将估计误差定义为

(9)

根据式(9)，可以得出：

(10)

将方程(1)和(8)代入上述方程，得到

(11)

(12)

可以看出，估计误差受下式影响：

(13)

引理1:在上述假设成立的基础上，如果选择观测器增益()，使估计误差系统公式(13)为输入状态局部稳定，那么式(14)是渐近稳定的。

(14)

1.3 自适应观测器增益的设计

引理3:令为Re[()]<0的常数矩阵，那么下式的结论都是渐近稳定：

(15)

如果()在区间[0,∞)上是连续的矩阵函数，则式(16)为常量

(),∀≥0

(16)

式中:>0，<0。

证明：如果把方程(15)乘以积分因子et，并且从0到进行积分，得到

(17)

由于Re[()]<0，存在常量<0，>0,使得et≤e，≥0。利用此估计在等式(17)中得出：

(18)

应用Gronwall不等式，得到

(19)

对其进行估计，可以得到

(20)

(21)

对于常数，有()≤e，当为负时，可以得出，当→∞，()→0。即完成了引理2的证明。

方程(8)中观测器增益()的设计可以用定理1来描述。

定理1：如果方程(8)中的观测器增益()由下列等式控制，则方程(14)是渐近稳定的。

(22)

其中：和是正常量；是阶单位矩阵。

证明：令()表示方程()=η的理论解，从而

()=η

(23)

(24)

可以直接从式(22)得到：

(25)

利用公式(22)—(25)可以得到：

(26)

则有：

(27)

(28)

其中‖·‖是Frobenius范数，则有

(29)

(30)

()=η+e-

(31)

其中：=(0)(0)-η。

由于()全局指数收敛到η，()收敛为η的剩余集。根据引理3，方程(14)是渐近稳定的，即完成了定理1的证明。利用定理1的结果，由引理1导出了估计误差系统方程(13)为输入状态稳定的。

图1 自适应扰动观测器增益结构图

值得注意的是，项可被包括在方程(1)中的，而集中扰动不满足其导数为定常稳态值的假设：

(32)

即估计误差不能被逼近到期望的平衡点，对估计误差的影响将在后面的模拟比较中进行研究。

2 基于自适应非线性观测器的滑模设计

利用扰动的估计，可以得到定理2中给出的结果。

定理2：假设系统方程(1)满足假设2和3，根据自适应观测器增益方程(22)，考虑滑动变量方程(2)和非线性扰动观测器方程(8)，通过下式所示控制律将机器人系统的状态驱动到滑模面()=0上：

(33)

其中：>。

证明：考虑到Lyapunov函数

=1/2()

(34)

根据方程(1)的轨迹取导数，得到

(35)

(36)

将等式(4)和(33)代入等式(36)得到

(37)

3 仿真实例与比较

3.1 自适应非线性扰动观测器的性能

在这一小节中，分析双连杆机械手的质量发生突变时，所提观测器(方程(8))的性能特性。假设机械手的未知质量为图2和图3所示的形式，观测器所需参数为=10、=5，参考轨迹由=sin(2)给出。

方程(1)中描述的双连杆机械手模型如下所示:

()=

(38)

(39)

(40)

未知质量是=[]∈,=。根据参考文献[14]的研究，线性回归矩阵和可以写成：

(41)

(42)

机械手系统参数如下：=0.4 m，=0.3 m，重力加速度取=9.81 m/s。质量标称值为=2.2 kg，=1.6 kg。

图2 未知质量Δm1和估计质量 图3 未知质量Δm2和估计质量

自适应非线性扰动观测器的性能如图2和3所示，可以看出即使质量在某些点上发生突变，自适应非线性扰动观测器的输出也能及时收敛到实际未知质量和。从这些结果来看，所提出的自适应非线性扰动观测器提供了对不确定质量变化的有效估计，如图4所示。

图4 未知质量的估计误差

3.2 实验结果

为了验证所提出的基于观测器的滑模控制方法，进行仿真实验。对于所考虑的单连杆刚性机械臂，其动力学可以用下式描述;

(43)

其中：∈是关节角；单连杆机械臂的参数为：负载臂长度=18.6 cm，负载臂质量=0.225 kg，负载质量=0.298 kg，重力加速度=9.8 m/s。对于所提出的控制律，通过反复试验来选择参数，直到获得更好的跟踪性能。在模拟中，式(8)中控制参数和观测器参数=035、=6和=2。在末端效应器处施加未知质量∈。

实验装置如图5所示：伺服基础单元是齿轮伺服机构系统；负载轴的位置可以使用高分辨率编码器进行测量；转速表可以测量马达的速度；传感器直接连接到数据采集板，并提供控制连杆所需的位置反馈；数据采集板输出一个控制电压，用于放大并驱动电机。

图5 实验测试平台

这里未知有效载荷=0.15 kg，在模拟中被视为未知项。参考轨迹分别由=sin和=sin(2)给出。首先根据图6和图7中的等式(8)和(22)分析所提出的非线性观测器的性能，可以看出估计误差最终为0.003。即在此研究中所提出的自适应非线性扰动观测器，通过未知质量的估计来代替不确定性，所设计的自适应非线性观测器是有效的。

图6 r1=sint下未知载荷的估计偏差

图7 r2=sin(2t)下未知载荷的估计偏差

图8描述了等式(33)中基于观测器的滑模控制下未知惯性矩的位置跟踪，该控制器使位置跟踪误差为零。基于观测器的滑模控制为机械手系统产生的有界控制力矩如图9所示，可以明显看出基于观测器的滑模控制在滑模面附近有很小的抖动。这种情况的原因是该观测器提供了适当的控制增益，以确保跟踪误差趋于零误差。因此，抖振问题得到了有效的缓解。

图8 自适应扰动观测器下的响应曲线

图9 自适应扰动观测器下控制输入的响应曲线

综上所述，所提出的控制方案具有良好的跟踪性能，适用于快速变化的参考。在观测器和滑模控制器合理设计的情况下，可以抑制干扰带来的不利影响。

3.3 实验分析

为了进行比较，根据方程式(43)分析了参考文献[15]提出的非线性扰动观测器的性能，可以得到以下方程：

(44)

其中，集中不确定性=，负载臂长度=19.8 cm。根据参考文献[15]，对于动力学方程(44)，相应的观测器重构如下：

(45)

为了研究观测器方程(41)对不同频率扰动的精确估计问题，用下列被测扰动代替方程(44)中的不确定度。

情况1：=sin(02)

情况2：=sin(06)

情况3：=sin

情况4：=sin(2)

最大估计误差的变化规律如图10所示，是扰动的估计误差，可以看出:最大估计误差随干扰频率的变化而变化，估计精度主要取决于干扰频率，扰动的频率主要是由这种变化引起的。与参考文献[15]相比，所提观测器在这方面具有明显的优势。

图10 非线性扰动观测器估计误差的比较

对于基本滑模控制律来说，一般通过试错法选择控制器参数，直到获得更好的跟踪性能。为了评价控制器的性能，跟踪误差平方积分()和控制力矩平方积分()等指标考虑如下：

(46)

所有情况下均选择=30 s，表1为控制器的性能指标，图11为基本滑模控制律控制输入的响应曲线，可以看出由于开关增益较大，控制器产生了较大的抖动。此外，性能指标仅在0.001 3～0.003 5之间变化，而性能指标从671.190 7 N·m下降到582.435 6 N·m。结果表明：这两种方法在控制效率方面取得了相似的效果；存在未知有效载荷的情况下，通过自适应非线性扰动观测器估计扰动，可以有效地减少抖振的出现。

表1 控制器的性能指标

图11 基本滑模控制律下控制输入的响应曲线

4 结论

针对机械手目标捕获等操作任务，提出了一种基于观测器的滑模控制。为了提高系统性能，设计了一种新的自适应非线性观测器，用于逼近机械手的未知载荷引起的不确定性，建立了鲁棒观测器增益矩阵的一般设计方法，并将基于观测器的滑模控制的适用范围扩展到一些工程问题。该观测器克服了现有非线性扰动观测器的一些限制。对于未知载荷的机械手，将滑模控制与观测器相结合，得到了渐近稳定结果。最后，通过两个算例验证了所提出的自适应非线性观测器和基于观测器的滑模控制方法的有效性。仿真结果表明：所提出的基于观测器的滑模控制方法是有效的。