寻找撬动“量感”教学的阿基米德支点
——三年级面积单元研究课侧记

马 珂

（北京市海淀区七一小学 北京 100036）

一、“量感”和“量感教学”

“数”和“量”是不可分割的，“数感”是课标（2011年版）提出的十大核心素养之一，“量感”是“数感”的一个分支、一个方面，也是一个核心素养。结合学生的生活经验和教师的教学实践，可将“量感”分为“生活量感”和“数学量感”。“生活量感”是学生借助自身生活经验，通过感官所习得的对于物体大小、长短、粗细、快慢等量的形态的感性认知；“数学量感”，是指学生在教师的引导下，以估测能力的培养为目标，借助生活量感并依托课标和教材来系统设计学习活动，让学生在体验中形成对某个量大小的推断或推断用某个单位表示的量与哪个物体大小相吻合的一种感觉（以下“量感”均表示“数学量感”）在小学数学学习阶段中主要是指计量单位的学习，即对时间、质量、长度、面积和体积等的直观感受和认知。

提升学生的“量感”素养，“具身认知理论”可以成为其理论和实践基础。“具身认知理论”是由美国语言学家拉考夫和哲学教授约翰逊提出，主张认知是由知识、环境和身体三者互相作用的结果。由于小学生以具体形象思维为主，抽象能力不强，而量感具有抽象的特质，因此学生需要在多层次、多维度的情境与估测活动中深度体验，才能建立对“单位量”的表象和对“叠加量”的认知。具身认知理论倡导要充分调动学生身体的各种感官，在“实感具身”“实境具身”“离线具身”的多维度体验活动中促进认知的发展。

二、寻找支点培养“量感”

本学期，三年级数学教研团队聚焦“量感教学”，分别选取了北师大版第六册“面积单位”和“面积单位的换算”两节课作为研究课，授课教师分别为樊静老师和朱冠楠老师。

1.支点1：“实感具身”重视对单位量感知——“面积单位”的认识

“面积单位”一课是北师大版小学数学第六册第五单元的内容，本课是在学生已经认识面积的含义，学会用观察、重叠、数方格等方法比较物体表面或平面图形大小的基础上进行学习的。同时，本课又是后续探索长方形、正方形面积计算公式以及面积单位间的进率的基础，是本单元学习的关键内容。樊静老师关注到学生的认知基础，课前引入环节首先让学生回忆比较面积大小的方法，接下来通过“估一估”“量一量”“比一比”等活动让学生体会统一面积单位的必要性。

【课前思考】

第一，学生心目中的面积单位是怎样的？学生在生活中已有哪些有关面积的经验？哪些知识经验能促进或干扰学生对面积单位的学习？从前测中了解到，学生对面积单位的统一有所感悟，但对面积单位的了解较模糊，没有形成正确的表象。因此，如何更好地帮助学生建立1平方厘米、1平方分米、1平方米的准确概念，无疑是教学的重、难点。而且，由于在较长的时间里，学生学习和了解的测量知识都与长度有关，积累的都是一维空间的活动经验，所以相关数学知识和方法的负迁移影响几乎不可避免。

第二，从学生的学习视角出发，该选择怎样的教学方式，推进面积单位的教学呢？课堂中，面积单位的教学以怎样的顺序和方式展开？是逐一学之，还是三者同学？学生对面积单位和长度单位的混淆不可避免，教师又该如何直面学生的认知现实，利用学生已有的知识经验，淡化对概念的咬文嚼字，强化面积单位的建立，并借助多种活动，引导学生在不断修正错误中形成概念的准确表象呢？基于上述思考，三年级数学教研团队对这节课的教学进行了实践探究，现选取其中的片段与大家分享、探讨。

【教学实践】

片段一：激活经验，感悟单位。

师：老师这里准备了一些盲袋，里面装有不同的学具，请你利用它们来测量数学书封面的大小。

生1：我们组的学具袋里是边长为5厘米的小正方形，摆满了6个，我们认为数学书封面是6个小正方形的面积。

生2：我们组用边长为4厘米的小正方形，横着可以摆4个，竖着摆6个，4×6=24，数学书封面是24个小正方形的面积。

生3：我们组的学具是小圆片，发现将数学书封面左侧铺满后是15个圆片的面积，右侧可以用两个半圆片铺满，但是仍然有空隙，所以是17个半圆片的面积。

【思考】“面积”是对二维图形所占区域大小的度量，通过度量可以对图形进行大小比较；度量的关键是设立单位，度量的操作是测量，其实质就是选择合适的单位、工具、方法测量图形中所包含的单位数。单位，可以是“自选单位”，也可以是“标准单位”。在上述环节中，樊教师提供结构化的探究材料，通过想、拼、摆、数、比、说等多种感官共同参与的活动过程，让学生深刻体验当图形形状和大小不同时，测量的面积也不同，因此为了便于交流，就需要使用统一的单位，而“面积单位”是用来度量图形大小的“标准单位”。基于以上认识，在教学中凸显“面积单位”的度量本质，引导学生在测量过程中产生统一度量单位的内在需求就显得尤为重要。

片段二：创作体验，验证完善。

师：下面小组合作一起完成面积单位的制作，可以选择“1平方厘米”“1平方分米”“1平方米”中的一个或几个；完成后向大家说清楚：你制作的是哪个面积单位？怎么制作的？并想办法验证你制作的面积单位。

生1：我们组做的是1平方厘米，在纸上先画一条10厘米的线，再沿着和它垂直的边画和它相等的10厘米。

师：怎么证明自己找的就是1平方分米？

生1：量一量正方形的边长，看是不是10厘米。

师：那就请你来验证一下。

生2：我们组做的是1平方米。

生3：它看起来像一个长方形，应该不是1平方米。

师：有同学质疑，你怎么验证一下？

生3：我用米尺测量它的长是105厘米，宽是98厘米，所以这不是边长100厘米的正方形，面积就不是1平方米。

生4：虽然有误差，但是面积已经很接近1平方米了。

【思考】上述环节，教师在教学中着重突出1平方米的认识，因为对学生而言，1平方厘米和1平方分米面积单位比较小，容易想象，建构概念要比1平方米的简单，所以1平方米的教学要放慢、放大，在不断的自我探究中修正经验、完善表象、丰富认知。最后，教师的教学并未就此止步，而是让学生寻找生活中的1平方厘米、1平方分米和1平方米，不断引导学生向形、面的属性靠近，这也正是面积单位的本质所在。

2.支点2：“离线具身”运用推理建立大单位量感——“面积单位的换算”

“离线具身”是指在创设的情境中，通过个体自身的经验或者他人的言语描绘唤起的具身效应。推理能力是《义务教育数学课程标准（2011 年版）》的一个核心概念，“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。朱冠楠老师在执教“面积单位的换算”一课时，将对学生推理能力的培养贯穿于整个教学环节中。

【课前思考】

相邻长度单位间的进率是人为规定的，而相邻面积单位间的进率则是推算而来的。那么，如何引导学生发现并推算出相邻面积单位间的进率是本节课研究的重点。教学中，朱老师创设了需要用方砖修补一块正方形墙面的问题情境，以边长为1厘米的小正方形代替方砖，以边长为1分米的大正方形代替墙面，试图让学生在解决实际问题的过程中发现面积单位间的联系，并通过对图示、数据的观察与分析，组织猜想、验证、比较等活动，推算面积单位间的进率。

【教学实践】

片段一：创设情境，在估量中感量。

（课前准备：小组长通过抽签得到的数字，为小组领取对应号码的学具筐）

师：上节课我们认识了三个面积单位，分别是什么呢？

生1：平方厘米、平方分米、平方米。

师：今天我们要运用这三个单位修补一块墙面，为了方便操作，我们用1平方厘米的小正方形代替方砖，用1平方分米的大正方形表示墙面，在活动前，请你先估一估铺满墙面需要多少个小方砖？

生2：我认为大概需要60-70块。

生3：我用指甲盖比了比，大概需要80多块。

生4：应该是100块。

【思考】心理学研究表明：学生感知的材料越丰富，活动的体验越充分，建立的表象就越清晰、越持久。在面积单位的教学中，学生在生活中找到指甲盖面、纽扣接近1平方厘米；开关盒、手掌的面接近1平方分米；教室里一块地砖的面比1平方米小一些，有这些如此形象生动的实物作支撑，学生很容易建立面积单位的表象，这些都可以作为他们的“标准模型”，其他物体的大小都可以用这些“标准模型”去作比较。因此，本节课让学生估计墙面所需方砖的数量，可以锻炼学生迅速提取有关面积单位的表象的能力并做出初步的估计和判断，逐步提高对物体平面图形大小的直观判断能力。

片段二：活动体验，在拼摆中验证。

师：请你数一数袋中方砖的数量，思考怎样修补能让别人看出铺满这个墙面需要的方砖数量？

生1：我们组认为铺满需要100块方砖，我们组袋子里也有100块方砖，虽然没有全铺满，但是铺满一行有10块，有这样的10行，10×10=100（块）。

生2：我们组也认为需要100块。因为袋子里只有36块，我们先把一行铺满需要10，两边接着铺满就是10-1=9（块），还剩下一条边就是10-2=8（块），这样一行有10块，有10行，也就是100块。

生3：我们组袋中有19块方砖，估计需要100块，我们先把第一行铺满，需要10块，再把一列铺满，需要9块，这样也可以看出来有10行10列，一共100块。

生4：我们组袋中有49块，我们铺满一行需要10块，一列铺满有10块，斜着有10块，这样估计需要100块。

师：斜着的每一块表示它所在的位置有什么意义呢？

生4：表示它所在的每一行和每一列各有10块。

师：如果把斜着的每一块全部移到左边或全部移到上边，我们仍然能发现每一行和每一列都是10块，这样一共需要100块。

生5：我们组有11块，铺满一行需要10块，剩下的1块铺在了另一边，因为这是一个正方形，边长都相等，所以用边长乘边长得到10×10=100（块）。

【思考】弗赖登塔尔指出：数学教学的核心是学生的“再创造”。让儿童通过自己的实践和思考，创造数学知识，建构数学意义。计量单位是小学数学教学中的一个重要内容，而单位换算则是学生学习计量单位的一个难点。学生在单位换算时出错的情况主要有三种：（1）概念不明确。表现为经常胡乱填写计量单位。（2）进率不明确。表现为面积单位、计量单位、时间单位之间不会相互换算。（3）转化不明确。一些学生明白进率概念，但在转化时，不知是乘以进率还是除以进率。在片段二中，学生根据自己袋中方砖的数量解决修补整个墙面的问题，创设属于自己的拼摆方式，再在交流讨论中统一成需要方砖的数量为100块。活动的巧妙之处在于让学生在动手操作中通过量一量、摆一摆、算一算，以“动”促“思”，找到平方分米和平方厘米之间的进率；接着要求学生根据已有的认知和经验对平方分米和平方米之间的进率进行猜想，并能想办法进行验证；最后使学生对面积单位之间的进率有一个完整的了解，初步体会相邻两个面积单位间的进率都是 100，帮助学生丰富对面积单位的感性认识，发展学生的空间观念。

三、我的感悟

在小学阶段计量单位的教学内容虽课时有限，但发展学生的量感是一个漫长持续的过程，学生量感能力的建立不是一蹴而就的，需要教师根据学生的学习认知特点开展丰富，多层次的体验活动，让学生在观察、操作、比较、调整中不断积累“量”的数学活动经验，在提高学生估测能力的同时真正促进量感的内化和形成。“具身认知”强调个体的认知在身体与环境的互动中形成，引申到教学领域即为身心融合的体验式教学理念，教师可以在“实感具身、实境具身、离线具身”三种情境下设计教学活动，使学生在体验中掌握估测方法，提高估测能力，促进量感的培养和数学核心素养的形成。