细品教材中“1平方厘米”的定义

2022-10-01 06:06郜舒竹魏卫霞
教学月刊(小学版) 2022年26期
关键词:能指所指边长

□郜舒竹 魏卫霞

一、引言

本刊2022年第6期上刊发的《“长×宽”为什么等于“长方形面积”》(以下简称“文1”),针对“长×宽”中乘法运算意义的进化,讨论了长方形“长与宽的乘积”与面积的关系,意在说明“长×宽”等于“长方形面积”并非是自然而然的结论,其中的“长”与“宽”已经超越了线段和长度的意义,偏重两个不同方向行与列的意义,把“长×宽”视为在确定面积单位基础上的“行数×列数”。

在此基础上,本刊2022年第7/8期上刊发的《“平方厘米”语义分析》(以下简称“文2”),从词汇的语义方面讨论了面积单位“平方厘米”中“平方”的意义,以及“平方”与“厘米”组合为“平方厘米”的意义,澄清面积单位“平方厘米”与长度单位“厘米”的关系,运用笛卡尔乘积模型,建立起长度单位与面积单位的因果关系,对“长×宽”等于长方形面积形成了与“搭配”问题意义一致的认识,拓展了“文1”所说长方形面积等于“行数×列数”的意义,体现出乘法运算因果相生、以数生数的建构特征。

无论是“文1”中的“长×宽”,还是“文2”中的“平方厘米”,都反映出数学语言“语境敏感”或“语境依赖”的特征[1][2]。长方形的长与宽指向长方形相邻的两条边,从形的角度看是两条线段,从量的角度看是线段的长度。在“长×宽等于长方形的面积”的语境下,拓展出单位正方形构成的“行”与“列”这样新的意义,使得“长×宽”的意义从字面的“长度×长度”,改变为实际的“行数×列数”。

“文2”中的“平方厘米”也类似,单独看“厘米”,其意义指向的是长度单位,置于“平方厘米”的语境中,“厘米”的意义指向发生了本质的改变,“平方厘米”中的“平方”不是“厘米”的修饰者或限定者(Determining Adjective),而是“更改者(Modifying Adjective)”。如“玩具枪”一词,由“玩具”和“枪”组成,表达的不是“枪”,而是形如枪的玩具,玩具枪最临近的属概念不是枪,而是玩具,可以说“玩具枪”中的“玩具”改变了“枪”的属性,即“玩具”成为“枪”所表达意义的更改者[3]。如果把“长度单位”视为“厘米”最临近的属概念,那么“平方厘米”则失去了这一属概念的属性,不再表达长度单位的意义,最临近的属概念改变为类似于亩、平方米等的“面积单位”。“平方厘米”表达的既不是“平方和厘米”,也不是“平方的厘米”,而是与平方和厘米相关的一个新概念。像这样语境依赖的现象在人的日常活动中普遍存在,比如在地铁车厢中听到播音员说:

●××站到了,将开启右侧车门。

其中“右侧车门”是以声音“yòu cèchēmén”的形式传递的。现代语言学之父、瑞士语言学家弗迪南·德·索绪尔(Ferdinand de Saussure,1857—1913)在《通用语言学》一书中,把文本、图像、声音等均视为“符号”,符号本身并没有意义,是现实对象或抽象概念的代表,建立符号与其所代表具体对象或抽象概念关系的过程叫作“意指(Signification)”。类似于“右侧车门”这样的声音或文本符号的心理表象叫作“能指(Signifier)”,能指所涉及的现实对象或抽象概念称为“所指(Signified)”,意指就是建立能指与所指关系的过程[4]。

“右侧车门”的意指过程并不明显,原因在于“右”作为具身的方位词,具有语境依赖的特点,这时的语境不是文本意义的上下文,而是身体、思维与现实环境共存的“情景(Situation)”,所指“右侧车门”位置需要在身体、情景和思维的互动中确认。右侧车门中的“右”是相对于人身体的朝向而言的,当人身体面向车行驶方向时,“右手”指向车门位置;如果身体是背朝行驶方向,那么“左手”指向车门位置(如图1)。

图1 地铁车门位置相对性示意图

这表明能指的“右”可能是所指的“右”,也可能是所指的“左”,这也印证了索绪尔关于能指与所指关系的随意性原理,即能指与所指的关系并非是“必然的(Necessary)”,而是“随意的(Arbitrary)”[5]。

无论是教材中的文本、图像,还是教师的言语、课件、板书等,对于学生而言都是符号意义的能指,仅有看到或听到的过程并不是意指过程的全部,通常所说的读懂或听懂意味着需要经历意指的过程,也即建立能指与所指关系的过程。这就给教材中的文本、图像,以及实际教学中板书、课件设计指出了方向。下面以小学数学第二学段教材中面积单位“1平方厘米”的定义为例进行说明。

二、表述的“模糊性”

作为能指的“1平方厘米”,其意指过程需要建立与所指的关系,也就是要回答“‘1平方厘米’代表什么”。这就需要将“1平方厘米”置于某种语境中,教材中的定义或图像就是对这种语境的设定。人教版教材(2012年)三年级下册“面积”单元中,对面积单位“1平方厘米”的定义用以下文字进行表述。

定义1:边长1厘米的正方形,面积是1平方厘米。

这样的表述为“S是P”的结构,与下面定义2的表述意义一致。

将“1平方厘米”置于这样上下文语境的定义表述中,作为能指的“1平方厘米”对应的所指自然成为“边长1厘米的正方形面积”(如图2)。

图2 “1平方厘米”能指与所指示意图

由此看来,“1平方厘米”所指对象包含“面积”和“边长1厘米的正方形”两个元素。“面积”所指是图形的大小,属于“量”的范畴;而“正方形”的所指是形状,属于“质”的范畴。事实上,“1平方厘米”表达的是面积作为量的单位,其所指并不包括图形形状。这一点与长度单位不同,如果一条线段的长度是1厘米,那么所有长度为1厘米的线段形状都一样,换言之,就是所有长度为1厘米的线段都是全等关系,都可以通过运动实现重合[6]。二维的平面图形则不同,同时具有“形”与“量(面积)”的双重属性,可能出现“形同量等”的全等关系,也可能出现“形异量等”的非全等等价关系。“1平方厘米”可以表示正方形的面积,从量的意义说,也可以表示非正方形图形的面积。图3中如果左图正方形面积为1平方厘米,那么变形后右图长方形的面积也是1平方厘米。

图3 “1平方厘米”变形示意图

教材中对“1平方厘米”的定义实际是一个具有肯定意义的判断或命题,其表述具有“模糊性(Vagueness)”的特征。19~20世纪美国著名的哲学家、物理学家、数学家皮尔士(Charles Sanders Santiago Peirce,1839—1914),曾对模糊性有过一个经典的解释:“当命题中的事物出现若干可能时,尽管说话者对这些可能进行了仔细的斟酌,但仍不能确定地把哪些可能排除或归属于这个命题,这时候,这个命题就是模糊的。这里所说的不能确定,并不是解释者的无知,是因为说话者语言本身就是模糊的。”[7]“1平方厘米”是表达面积单位的符号,其所指应当属于“量”的范畴,而定义表述中出现了正方形作为形状“质”的意义,自然会给读者带来混淆与困惑。

“1平方厘米”的所指不是“一个”图形的面积,而是“一类”具有量等关系的图形的面积。“边长1厘米的正方形”是“1平方厘米”概念形成的“原型(Prototype)”,是“一类”中最典型的“一个”代表[8]。教材中关于“1平方厘米”定义表述的模糊性表现为其所指为“一个”与“一类”对象的混淆,需要在“1平方厘米”所指对象中排除“形状”的意义,归属所有与原型正方形面积相等的图形,让“1平方厘米”所指为表示“一类”图形面积的概念,而不仅是“一个”具体图形的面积。这样的排除与归属是理解“1平方厘米”定义必要的认知活动,自然应当是教材编修过程中需要重视的内容。

三、难以实现的“好”定义

19~20世纪英国两位伟大的哲学家、数学家怀海德(Alfred North Whitehead,1861—1947)与罗素(Bertrand Arthur William Russell,1872—1970),在合著的《数学原理》中指出,“定义”实际就是命名的过程,用新的术语或符号“P”表达某类具有共同属性的对象“S”,P与S分别叫作“被定义项(Definiendum)”和“定义项(Definiens)”,用定义项“S”确定被定义项“P”的意义,表述为“S是P”。用索绪尔的术语说,被定义项与定义项分别相当于能指与所指,定义实际就是建立二者关系的意指过程。

教材中的定义是将“边长1厘米的正方形面积”命名为“1平方厘米”,用新的术语“1平方厘米”表达“边长1厘米正方形面积”,用“边长1厘米正方形的面积”确定“1平方厘米”的意义。因此“1平方厘米”是定义中的被定义项,“边长1厘米的正方形面积”是定义项。

定义的表述是人为规定的命题,这样的命题一般不用“正确与错误”或“真与假”进行区分,更关注“优与劣”或“好与坏”的差别。19~20世纪法国著名 数 学 家 庞 加 莱(Jules Henri Poincaré,1854—1912)在其方法论著作《科学与方法》中,针对“什么是好的定义”,给出了简明的答案:“它应当应用且仅应用于被定义的对象,是符合逻辑的。”[9]

其中“应用且仅应用”阐释的是定义中定义项“S”与被定义项“P”之间的关系,如果把“S”看作是“P”的条件,那么这样的条件应当同时满足“充分性”和“必要性”。条件的充分性指的是“有之则必然”。如果把面积单位定义表述为:

●如果一个平面图形是边长为1厘米的正方形,那么这个图形的面积是1平方厘米。

此时“边长1厘米的正方形面积”就成为“1平方厘米”的充分条件。条件的必要性表达的是“无之必不然”或“必不可少”的意义,文字表述中体现为“S是P”与“P是S”同时成立。比如对于数学中“质数”的定义,下面两种表述方式就是同时成立的。

“一个自然数恰有两个因数”就成为“这个自然数是质数”的充分条件,同时也是必要条件,称为充要条件。因此,质数定义的表述符合庞加莱好定义的标准,这样的好定义表现为被定义项与定义项在表述中可交换位置。“1平方厘米”的定义则不同,如果承认如下“S是P”的表述成立:

那么反过来“P是S”并不成立,即“边长1厘米的正方形面积”是“1平方厘米”的充分条件,但不是必要条件,并非是“必不可少”的。一个平面图形不是边长1厘米的正方形,其面积也可能是1平方厘米。这就是说,1平方厘米的定义不能表述为:就 像“我是教师”这句话不能说成“教师是我”。对于“S是P”的表述,人们习惯于“S=P”或“S<P”的关系,排除“S>P”的情况。前面关于质数的定义中,“质数”与“恰有两个因数的数”就是“S=P”的关系;“教师”一词所指为“全体”职业为教师的人,“我”所指为“一个”职业为教师的人,因此符合“我<教师”的关系。“边长1厘米的正方形面积”所指为“一个”确定形状和大小的正方形面积,而“1平方厘米”所指为不确定形状的“一类”平面图形的面积,因此“边长1厘米的正方形面积”与“1平方厘米”就是“S<P”的关系。

教材中关于“1平方厘米”定义的表述应当说是符合“S<P”关系的,但并不符合数学中好定义的标准。数学中好定义至少应当符合两条标准。

标准1:定义中同时包括定义项S和被定义项P。

标准2:定义项与被定义项的所指相同,即具备S=P的关系。

“1平方厘米”定义的困难在于平面图形存在着“形异量等”的现象,而且这样形异量等的图形是无限多、无法穷举的。指定任何一个或一类形状都无法囊括所有面积为“1平方厘米”的图形,这样的现实使得标准2难以实现。如果不指定确定形状的图形,就会使得定义中缺失定义项,违背了标准1。因此对“1平方厘米”给出一个“好”的定义,似乎是难以实现的。

四、应当避免的“坏”定义

北京出版社2013年出版的教材(以下简称“京教版”)三年级下册“长方形和正方形的面积”单元中,直接用指数幂的符号作为平方厘米定义的被定义项,将定义叙述为:“边长是1厘米的正方形,面积是1厘米2,也可以写作:1cm2,读作:1平方厘米。”为了行文方便,不妨把定义的主干表述为定义3的形式。

定义3的句式结构与前面类似,是将“边长是1厘米的正方形”作为定义项(S),符号“1厘米2(1cm2)”作为被定义项(P)。这样的表述并未消除定义项与被定义项所指不一致的模糊性现象,同时还会使逻辑意义自相矛盾。同单元在《面积和面积单位》之后出现《长方形与正方形的面积》,其中正方形面积公式写为:正方形的面积=边长×边长。

按照这一公式,定义3中“边长1厘米的正方形面积”就应当成为:1厘米×1厘米=(1厘米)2,这样就出现了命题1。

对比定义3与命题1可以发现,“边长1厘米的正方形面积”既是“1厘米2”,又是“(1厘米)2”。同一个主语出现了两个不同的表语P1和P2,表述为命题2。

命题2:

形式逻辑中的无矛盾律要求“是”与“非”不能同时为真,如果“S是P”为真,那么“S是非P”就为假。“S既是P,又是非P”的情况,就被视为违背无矛盾律。对于命题2“S既是P1,又是P2”的情况是否合乎逻辑,关键要看P1和P2之间是什么关系。

用索绪尔的术语说,“1厘米2”与“(1厘米)2”是两个不同的能指。“1厘米2”是表示“1平方厘米”的符号,所指为量的范畴,是任意形状的“一类”图形的面积,其中的“1”所指是面积。图4中如果右下角正方形面积是1厘米2,那么其他四个图形面积分别与之相等,均为1厘米2。

图4 1厘米2所指示意图

“(1厘米)2”则不同,是表示“1厘米的平方”的符号,同时具有形和量的双重意义,所指为边长1厘米正方形的面积(如图5),其中的“1”指向正方形的边长。

图5 (1厘米)2所指示意图

如果把“1厘米2”与“(1厘米)2”中的数字1换为2,那么“2厘米2”与“(2厘米)2”不仅意义不同,表示量的数值也不相等(如图6)。(2厘米)2表示边长2厘米正方形的面积,等于4厘米2,即(2厘米)2=4厘米2。

图6 2厘米2(左)与(2厘米)2(右)所指示意图

因此,“(1厘米)2”与“1厘米2”是两个所指不同的符号,正如代数运算中“ɑ2厘米”不同于“(ɑ厘米)2”,如果把二者混淆,就会出现“1万米=1米”的逻辑悖论。

综上所述,京教版中用符号“1厘米2”作为面积单位的被定义项,会形成“1厘米×1厘米=(1厘米)2”的认识,给教师的教学带来困难。为了避免这样的混淆,需要进一步认识“1厘米2”与“(1厘米)2”的关系。

五、“1厘米2”与“(1厘米)2”的关系

“1厘米2”与“(1厘米)2”并非是非此即彼的相斥关系。从量的角度看,“1厘米2”与“(1厘米)2”表示的面积相等;从形的角度看,“1厘米2”表示任意形状,而“(1厘米)2”仅表示正方形。因此“1厘米2”与“(1厘米)2”符合包含与被包含的种属关系,这样的种属关系可以从图4明显看出。下面从代数运算的角度来看“1厘米2”与“(1厘米)2”的关系。

用代数的眼光看,名数“ɑ厘米”表示“1厘米的ɑ倍”,即“ɑ厘米=ɑ×1厘米”,不带系数的“厘米”默认的意义就是系数为1的“1厘米”。因此,厘米2所表达的“厘米×厘米”可以看作是“1厘米×1厘米”,也就是“(1厘米)2”。表示为如下等式。

●1厘米2=1×(厘米×厘米)=1×(1厘米×1厘米)=1×(1厘米)2

其中“1厘米2”表示“1平方厘米的面积”,“1×(1厘米)2”表示“边长1厘米正方形面积的1倍”。因此“1厘米2”与“(1厘米)2”的关系可以用语言叙述为:1平方厘米的面积是边长1厘米正方形面积的1倍。以此类推,“2厘米2”与“(2厘米)2”的关系为:2平方厘米的面积是边长1厘米正方形面积的2倍。更进一步“ɑ厘米2”与“(1厘米)2”的关系可以用语言和等式分别表示。

●ɑ平方厘米的面积是边长1厘米正方形面积的ɑ倍。

●ɑ厘米2=ɑ×(1厘米)2

由此可知,表达“平方厘米”的“厘米2”,不仅是面积单位的符号,同时具有代数运算的意义。因此对“厘米2”这一符号的认识,实质是对代数运算的初步感知,是实现小学与初中数学课程内容一致性认识的一个重要衔接点。因此需要在教材编修过程中引起足够重视。

总之,数学课程内容的抽象性决定了教材中概念与符号具有“不确定性”[10]。按照皮尔士的观点,这样的不确定性主要体现为意义的“广泛”与“模糊”两个方面[11]。“广泛”指的是所指对象的意义是清晰的,但有较多的可能,就像“1平方厘米”所指面积大小是清晰的,但可以是无数形状图形的面积,会出现“1平方厘米既不是正方形面积,也不是三角形面积”的其他情况,使得习惯的排中律思维难以应用;“模糊”与广泛略有差异,所指对象往往是确定的,但在某语境中难以确定对信息的“取”与“舍”,用“正方形”面积定义“1平方厘米”,使得这一词汇渗入了形与量的双重意义,具有了难以取舍的模糊性,具体表现为“1平方厘米既可以是正方形面积,也可以不是正方形面积”,“是”与“非”同时为真,违背了无矛盾律。

因此,“1平方厘米”这一术语具有意义的一般性,教材中关于“1平方厘米”定义的表述具有语义的模糊性。这种一般性与模糊性可以概括为所指的不确定性,成为一线教师的教学困难和学生的认知障碍。

总之,细品教材中“1平方厘米”的定义,旨在说明我国目前教材中的问题是普遍存在的。教材是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源,教师、学生、家长视之为宝典,奉之为圭臬。因此教材编修应当慎之又慎,重视并仔细斟酌、诊断问题,唯有如此才有可能使教材质量得以提升。

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