基于概念本质 实现有效建构
——人教版教材四年级上册“平行和相交”教学思考与实践

□鲁洁

【课前思考】

“平行”是人教版教材四年级上册“平行四边形和梯形”单元的核心概念之一，是认识平行四边形和梯形的基础。教材将“平行”与“垂直”这两个核心概念安排在同一课时进行教学，实际教学效果如何？笔者对城区某校223名四年级学生进行了教学后测，情况如表1。

表1

从后测情况看，学生的“垂直”概念建立得比较好，有93.3%的学生能在魔方上找出与已知线段垂直的4条线段。“平行”概念的建构存在欠缺，有79.8%的学生找不到“看不见”的平面上的平行线。另外，学生对两线位置的关系不清晰，仅有54.7%的学生能将“相交、平行、垂直”三者的关系表达正确。造成以上结果的原因分析如下。

在本节课的学习之前，学生已经认识了直角、长方形和正方形，这些都是学生学习“垂直”概念的知识基础，而对于“平行”概念的学习缺少必要经验的支撑，所以“平行”概念的建立较“垂直”相对困难些。

教师往往按照教材编排将“平行”和“垂直”安排在同一课时教学，但由于一节课的时间有限，学生对“平行”和“垂直”这两个概念的理解仅仅停留在外延判别上，对它们的本质意义不能牢固建立，特别是对本单元的核心概念“平行”的前置条件“同一平面”的理解不深刻，导致“平行”概念建构不到位，同时对“相交”“平行”“垂直”三者的逻辑关系辨认不清。

基于以上分析，将“平行”与“垂直”安排在同一课时学习，效果不佳。而“平行”这一核心概念又是后续学生学习平行四边形和梯形、画长方形等的基础。为了进行基于核心概念的单元整合教学，笔者对学习序列进行了调整，把“平行和相交”单独设为一课时，这样更利于学生建构“平行”这一核心概念，从而达成以下教学目标。

（1）通过想象、分类等活动，理解“平行”的意义，能正确判断平行现象。

（2）经历画一画、数一数、辨一辨等活动，感悟“同一平面”，发展“平行”的空间意识，积累活动经验。

（3）结合对生活中平行现象的辨认，感悟“平行”与生活的联系。

【教学实践】

一、在分类中感知“平行”

（一）通过想象，唤醒经验

教师引导学生进行两次想象：第一次把黑板想象成一个平面；第二次想象在这个平面上出现了一条直线（大屏幕上显示一条直线）。

师：你们想的直线和大屏幕上的一样吗？

生：方向不一样，我想象它是横的。

生：和我想的位置不一样。

生：长短不一样。

生：直线可以向两端无限延伸，所以不能比长短。

（二）通过分类，认识平行

教师让学生先想象两条直线的位置关系，然后在白纸上把它们画下来。随后选择有代表性的作品进行展示（如图1）。

图1

教师引导学生先观察展示作品，再独立思考进行分类，然后同桌之间讨论，最后再全班交流讨论。

生（第1组代表）：我们组按两条直线是不是交叉来分，①⑤是交叉的，其余是不交叉的。

师：交叉是什么意思？大家用手比画一下（全体学生比画）。你们说的分叉，在数学上我们称为这两条直线相交。

生（第2组代表）：我们组认为③和⑥其实也相交，延伸一下就可以了。

生：是的，画一画就可以发现它们是相交的（学生在黑板上演示）。

生：不画也行，想象一下也可以发现它们是相交的（学生用手比画）。

生（第1组代表）：哦，现在我们明白了，③和⑥看似不相交，其实是相交的。

生（第3组代表）：我们组的想法和第2组一样，①③⑤⑥都是相交的，②④⑦是不相交的。

生（第4组代表）：是的，我们组也认为②④⑦再延长也不会相交，因为它们的方向相同。

师：在同一平面内，两条直线的位置关系可以分为相交和不相交这两类，像②④⑦这样，两条直线永不相交我们称为这两条直线互相平行。

二、在量化中理解“平行”

（一）借助方格纸量化“平行”

让学生先独立在方格纸上画一条直线，使它与已知直线a平行。然后，教师选择有代表性的作品进行展示（如图2），并组织全班交流。

图2

师：观察这些作品，你发现了什么？

生：它们都是平行的。

生：有些画在已知直线的上面，有些画在下面。

生：它们都把直线画在了方格线上。

生：因为方格线和方格线是互相平行的，所以画在方格线上就行了。

生：我还发现画在方格线上两条直线的距离不变。

生：是的，在①号作品中，两条直线之间的距离是2格。

师：真是这样吗？我们一起来看看。

（课件动态演示：依次出现虚线。如图3）

图3

生：两条直线之间相距2格，直线延长后也相距2格。

生：是的，②号作品两条直线之间相距1格，④号作品两条直线之间相距3格。只要画在方格线上，相距的格子数就相等。

生：我觉得不一定要画在方格线上。把它向上平移一点点也可以。

（学生用手比画，教师用课件演示）

生：向下平移也可以。

（学生用手比画，教师用课件演示）

生：这样的直线能画无数条。

师：为什么刚才两位同学都提到要“平移”呢？

生：因为只有平移才能保证两条直线间的距离相等。

师：是啊，只有两条直线间的距离相等，它们才永远不会相交，互相平行。借助方格纸，同桌互相检查一下刚才画的直线是否和已知直线平行。

（二）利用变式加深理解

1.在运动中发现本质

教师用课件演示：将图3这组平行线按顺时针方向旋转90度（如图4），再旋转45度（如图5），引导学生判断这两条直线是否仍然平行。

图4

图5

生：仍然互相平行。

生：因为两条直线相隔的格数不变，永远不会相交，所以仍然平行。

师小结：像这样两条直线之间相隔的方格数相等，这两条直线就互相平行。

2.在调整中沟通联系

教师用课件出示作品（如图6），先引导学生辨析这两条直线是否平行，然后试着调整其中一条直线的位置，使这两条直线互相平行。

图6

生：这两条直线是相交的。

生：是的，是相交的。两条直线延长后有相交的点。

（教师用课件演示，如图7）

图7

师：怎么调整才能使这两条直线互相平行？

（先让学生想象比画，教师再用课件动态演示）

小结：两条直线互相平行时，两条直线之间的距离也处处相等。

（三）规范记法与读法

为了描述方便，我们给这两条直线标上字母ɑ，b。ɑ和b互相平行，还可以说ɑ是b的平行线或b是ɑ的平行线。记作：ɑ∥b。读作：ɑ平行于b。

三、在辨析中内化“平行”

（一）运用概念，寻找“平行”

教师出示图8，让学生找出每个图形中哪两条线段互相平行。

图8

让学生列举生活中有关平行的现象。

（二）观察思考，建构“同一平面”

教师先引导学生观察饼干包装盒的正面，找一找哪两条线段互相平行（学生找到后，教师用细铁丝标注出其中一组，如图9）；接着教师打开盒盖（如图10），引导学生判断这两条直线是否还互相平行，并说明理由；最后教师撕破盒盖（如图11），组织学生讨论：“这两条直线是否还互相平行？请判断并说明理由。”

图9

图10

图11

师：图11中，这两条直线互相平行吗？

生：还是互相平行，因为它们没有相交。

生：不对，虽然这两条直线不会相交，但方向不一样了。（边说边比画）

生：我同意，如果把盒子竖起来，从上往下看，这两条直线没有对齐。（复原包装盒）这样对齐就可以了。

生：我知道了，它们在同一个平面内，才互相平行（边说边用手比画平面）。

师：刚才两条直线分别在哪个平面内？（引导学生分别比画两条直线所在的平面）

师生归纳得到：在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线。

（三）应用拓展，深化“平行”

1.在双杠模型中找“平行”

教师先引导学生同桌合作在双杠实物模型（如图12）中找平行线，并记录下来，然后组织交流。

图12

生：我们组发现了5组，分别是AB∥CD，CD∥GH，GH∥EF，EF∥AB，AC∥EG。

师：大家想象一下每组平行线所在的平面，并用手比画一下每组平行线所在的平面。

生：我们组发现还有2组，分别是AB∥GH，CD∥EF。

生：是的，我们组也找到了这2组。（借助双杠实物模型比画这两组平行线所在的同一平面）

生：你看，这样更明显（边说边用白纸物化平面）。

教师用课件演示7组平行线，配合出示每组平行线所在的平面。

2.在《几何原本》中找“平行”

教师介绍《几何原本》中关于“平行”的描述：“平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线。”

【教学反思】

“平行”是本单元的核心概念之一，是认识平行四边形和梯形的基础。学生是否理解“平行”的概念本质，将直接影响他们后续进一步的学习。

一、遵循规律，关注概念建构的进度

概念的建构过程一般可分为“感知对象、建立表象、抽象本质、符号表征和概念内化”这几个阶段，本节课的教学既遵循学生的认知规律，又关注“平行”这一概念的发生、发展过程。主要安排了三个教学环节（如图13），先让学生在分类中感知“平行”，建立“平行”概念的表象；再借助方格纸让学生在量化中理解“平行”，使抽象的“平行”概念具象化；最后借助饼干盒、双杠模型让学生在辨析中内化“平行”，突破“同一平面”这一概念建构的难点。这样的环节安排遵循了概念建构的规律，紧扣概念内涵步步深入，使“平行”概念在学生头脑中有了从直观到抽象的完整建构过程。

图13

二、由表及里，获得概念感悟的力度

“平行”概念比“垂直”概念更为抽象，理解“永不相交”对四年级学生来说比较困难，它不像“垂直”概念可用直角进行直观判断。因此，在教学实践中，笔者借用方格纸让学生通过画一画、比一比、数一数等活动发现“两条直线间的距离（方格数）不相等，两条直线就相交；两条直线间的距离（方格数）相等，两条直线就互相平行”，引导学生从量化的角度直观地理解两条直线“相交”和“不相交”，对“平行”的概念通过“两条直线间的距离（方格数）相等”进行直观感知，由表及里，从而加深对概念本质的理解。

三、步步为营，达到概念理解的深度

调整课时后，学生对“平行”概念的建构过程是层层推进的。从基于“方向相同”的初步感知，到“距离相等”的直观感悟，再到“同一平面”的前置条件增加，不断完善认识，加深理解。教师借助饼干包装，“破坏”同一平面，从而让学生感受到两直线平行必须在同一平面内的必要性；利用双杠实物对“同一平面”进行直观物化，有效突破教学难点。