中能衍射极限环中电阻壁和高频系统阻抗计算与优化

王 猛，张文志，田顺强，蔡传兵，刘新忠

(1.上海大学 上海市高温超导重点实验室，理学院 物理系，上海 200444； 2.中国科学院 上海应用物理研究所，上海 201800；3.中国科学院 上海高等研究院，上海 201204)

第3代同步辐射光源作为一种具有高亮度、波长覆盖范围广、高准直性等特点的多用户、高性能实验装置，在物理、化学、材料学、生命科学、医学等科学领域起到了重要的支撑作用。为了满足众多研究领域所需要的更高亮度、更高相干性的同步辐射光，世界上许多光源都在研究和发展新一代光源的升级方案。其中，衍射极限环因具有超高平均亮度、高稳定性、高重复频率等特点成为第4代同步辐射光源的一个重要发展方向[1]。目前，世界上已运行的第4代同步辐射光源有瑞典MAX Ⅳ[2]、欧洲同步辐射光源升级装置(ESRF-EBS)[3]，正在调试的有巴西的Sirius[4]，正在建设中的第4代同步辐射光源有中国高能同步辐射光源(HEPS)[5]、美国先进光子源升级装置(APS-U)[6]、美国先进光源升级装置(ALS-U)[7]、瑞士光子源升级装置(SLS-Ⅱ)[8]等。

阻抗模型计算及优化一直是加速器设计阶段需要解决的技术难题。目前，电阻壁阻抗计算理论已相当成熟。最初由Robert等[9]给出环形和矩形单层束管无限厚度的电阻壁阻抗推导公式，Yokoya[10]在此理论计算方法的基础上给出了电阻壁单层束管无限厚度的计算机算法。但对于非圆截面的束流管道中的粒子如果受到了非相干的频移，之前的电阻壁阻抗理论结果将变为无限大，因此Shobuda等[11]和Yokoya针对此研究结果，推导了单层有限长度的束流管道电阻壁阻抗推导公式。对于质子加速器或对撞机而言，粒子的速度未到达光速，需要对推导的电阻壁阻抗理论公式进一步修正[12]，并在此基础上，推导出了有限厚度双层以及多层电阻壁阻抗推导公式[13]。对于加速器中的元件，其阻抗计算是加速器设计以及运行阶段中必不可缺的一环，世界上大部分的第4代同步辐射光源已完成元件阻抗计算，阻抗元件包括高频腔、三次谐波腔、BPM、Kicker等，如ESRF-EBS[14]、APS-U[15]、Sirius[16]已给出相关的阻抗分布计算。

在全环阻抗分布中，电阻壁阻抗占全环阻抗较高，且在频率接近于0时会出现很尖的共振峰，对束流运动产生较大影响；高频系统中腔体内的高次模是引入窄带阻抗的重要源头，因此在加速器设计阶段，需要选择合适材料的电阻壁，对高频腔和三次谐波腔进行精准的建模，计算阻抗，并评估可能引起的束流不稳定性。本文利用ImpedanceWake2D和CST完成不同材料结构的电阻壁阻抗计算，讨论不同材料结构和内部镀膜厚度对电阻壁阻抗的影响，为衍射极限环的电阻壁结构材料选择提供理论依据；为了适用于中能衍射极限环(ME-DLSR)，利用数值模拟程序，重新对高频腔、三次谐波腔的结构尺寸进行设计与优化，并讨论高频腔和三次谐波腔的束管选择，对束管的结构尺寸进行优化；分析可能引起的束流不稳定性，并对可能发生的束流不稳定性提出有效的抑制方案。

1 中能衍射极限环lattice设计

本文设计一个环长为720 m，采用ESRB-EBS类型的7BA聚焦结构[17]，束流能量为3 GeV，束流自然发射度为48.69 pm·rad的lattice。全环共30个周期单元，每个单元长度为24 m且单元内磁铁排列完全一致，采用了纵向变场强二极磁铁[18]和反向弯转二极铁[19]等技术，可有效降低储存环束流发射度。储存环束流光学设计中，采用目前世界上较为先进的多目标优化算法(MOGA)进行优化设计。图1为中能衍射极限环优化后的束流光学函数分布和每个聚焦单元的磁铁排列情况，其中，S为长度，β为束流光学函数，ηx为色散函数，主要包括12块起聚焦作用的四极铁(图1中红色或蓝色磁铁元件)，6块起校正色品和优化动力学孔径的六极铁(图1中紫红色或绿色磁铁元件)，4块起偏转作用的纵向变场强二极铁以及3块起偏转和垂直聚焦作用的组合型二极铁(图1中黄色磁铁元件)。全环水平和垂直最大包络函数分别为11.4 m和20.32 m，每个周期包含一个6.1 m长的直线节，可用于放置插入件或其他元件，全环留有部分直线节，作为后续光源升级安装其他元件的备用空间。为了避免危害较大的非线性共振，水平和垂直工作点分别选取67.17和24.22，表1列出了中能衍射极限环中的主要参数。

图1 中能衍射极限环单元的束流光学函数分布Fig.1 Beam optical function distribution of unit in medium energy diffraction limit storage ring

表1 中能衍射极限环主要参数Table 1 Main parameter of medium energy diffraction limit storage ring

2 电阻壁阻抗

2.1 电阻壁阻抗材料对比与分析

本文采用数值程序计算了不同材料结构对电阻壁阻抗的影响。材料方面以铜、铝、不锈钢作为电阻壁的主要选择材料，3种材料的物理和化学性质列于表2。结构方面需要考虑是否镀膜，镀膜主要以非蒸散型吸气剂(NEG)薄膜[20]为主，可为加速器运行时提供所需的真空度；应用较多的还有不锈钢镀铜膜，在保留原金属材料优质特性的同时，提高电阻壁的材料电导性，降低阻抗。世界上大部分第4代光源均已采用镀有NEG膜的双层材料结构电阻壁，本文主要对双层结构的电阻壁的材料阻抗进行对比和分析。束管为环形管道，半径为15 mm，内层镀膜材料分别选取铜和NEG，外层管道材料选取铜、铝和不锈钢，共有4种电阻壁的材料结构方案，分别为铜(镀NEG膜)、铝(镀NEG膜)和不锈钢(镀NEG膜)以及不锈钢镀铜膜。利用ImpedanceWake2D[21]和CST[22]进行模拟计算，束管长度为1 m。

表2 铜、铝和不锈钢的物理和化学性质Table 2 Physical and chemistry properties of copper, aluminum and stainless steel

从管道内部镀膜的厚度角度进行分析，铜内镀有NEG膜和不锈钢镀铜膜为例，外层束流管道的材料厚度为1 mm，内层镀膜材料厚度分别为1、5、10和100 μm，如图2a、b所示，对于铜内镀有NEG膜，在低频时，电阻壁横、纵向阻抗与膜厚度呈正比，且膜厚度为1 μm时，横、纵向阻抗最低；如图2c、d所示，对于不锈钢镀铜膜厚度而言，镀膜厚度与电阻壁纵向和横向阻抗呈反比，当铜膜厚度大于5 μm时，镀膜厚度对电阻壁阻抗几乎没有影响。因此，从镀膜的角度对电阻壁进行优化，对于外层金属材料内镀有NEG膜的结构而言，在满足加速器运行所需真空度的条件下，镀1 μm的NEG膜时阻抗最低；对于外层金属材料(电导率远小于铜电导率)内镀铜膜的结构而言，考虑实际加速器的需求，镀5 μm铜膜作为电阻壁的优化方案。

图2 镀有NEG膜和镀铜膜厚度对电阻壁纵向阻抗和横向阻抗的影响Fig.2 Effect of thickness of NEG and copper coating on resistive wall longitudinal and transverse impedance

从电阻壁的材料选择进行分析，共选用4种(不锈钢、铝、铜内镀有NEG膜和不锈钢镀铜膜)材料结构，外层金属材料厚度为1 mm，由上述膜厚度对电阻壁阻抗影响的分析结果，优化方案为1 μm NEG膜、5 μm铜膜。4种材料结构中，损失因数分别为0.017 V/pC(铜+NEG膜)，0.023 V/pC(铝+NEG膜)，0.037 V/pC(不锈钢+NEG膜)和0.01 V/pC(不锈钢+铜膜)，对于3种NEG膜的材料结构中，铜内镀有NEG膜的阻抗、尾场势和损失因数最小，对束流能量损耗最少，对于需要维持良好真空度的束流管道，铜内镀有NEG膜材料可作为降低阻抗的优化材料；不锈钢镀铜膜相较于铜内镀有NEG膜有更低的阻抗，更高的导电性，同时能量损耗和热损耗较低，材料刚度较高，在高温下不易变形。因此，对于储存环中需要采用分布式排气的真空室，可考虑铜内镀有1 μm NEG膜为优化材料；对于特殊真空室部件，内部结构较为复杂无法或很难实施NEG镀膜，或集中布置抽气泵能满足真空要求的，可考虑不锈钢内镀有5 μm铜膜。

2.2 中能衍射极限环电阻壁阻抗计算

(1)

其中：b为束管半径；c为光速；ω为所对应的频率。由电阻壁纵向阻抗计算得出横向阻抗，横向阻抗计算结果近似为0.13 MΩ。

世界上的同步辐射光源根据实际需求，采用了不同的真空设计方案，具体采用的结构材料和内部镀膜材料厚度列于表3，单位长度下的横向阻抗和纵向阻抗如图3所示，中能衍射极限环单位长度的横向阻抗和纵向阻抗在衍射极限环中处于中等趋势，主要受真空盒半径的影响。

表3 世界上同步辐射光源真空盒尺寸、材料和内部镀膜材料厚度Table 3 Size, material of vacuum box and material and thickness of inner coating of synchrotron radiation source in the world

图3 单位长度下各光源纵向阻抗(a)和横向阻抗(b)Fig.3 Longitudinal impedance (a) and transverse impedance (b) of unit length of synchrotron radiation source

3 高频腔和三次谐波腔阻抗

3.1 高频腔与三次谐波腔设计与优化

在中能衍射极限环中，采用500 MHz高频腔补充束流在运动过程中因同步辐射等效应的能量损失；采用1.5 GHz的三次谐波腔对束团长度进行有效拉伸，减小由小束团尺寸引起的束内散射效应(IBS)和Touschek效应，提高束流寿命。参考上海光源500 MHz的备用腔[32]以及TESLA腔[33]，作为本文的500 MHz和1.5 GHz腔的设计依据，重新对高频腔和三次谐波腔的结构尺寸进行设计和优化。

图4 中间腔腔型示意图Fig.4 Schematic of middle cell

使用Superfish确定腔的几何参数，500 MHz高频腔以及1.5 GHz三次谐波腔结构如图4所示，其中，Req为赤道半径，R1为束孔半径，A1、B1、A2、B2分别为腔底部椭圆和腔顶部椭圆的横、纵半轴长度，L为半腔长度，腔底部椭圆的椭圆率为e1=A1/B1，腔顶部椭圆的椭圆率e2=A2/B2。利用CST对腔体中的结构几何参数进行优化，最后调整Req的高度，使基频模式到达腔体所需要的工作频率。

通过CST进行分析，高频腔与三次谐波腔的几何结构尺寸列于表4，其中Ep为峰值电场，Ea为加速梯度，HP为峰值磁场。若以高纯铌腔的峰值磁场200 mT和峰值电场100 MV/m进行计算，理论获得高频腔和三次谐波腔的加速梯度分别可达48.54 MV/m和47.16 MV/m，已满足高频腔和三次谐波腔的13 MV/m和9 MV/m的加速梯度。

表4 中间腔腔型尺寸参数Table 4 Dimension of middle cell

当束流经过腔体时，在多束团的模式下会在腔体内部激励起电磁场，可能会产生高于工作频率的谐振模式，这些谐振模式称为高次模。有些高次模会对束流产生不利影响，引起束流不稳定性。在储存环中技术重要难题之一是如何对腔体的有害高次模进行抑制，本文采用扩大束流管道半径的办法，选择合理的束管结构，对腔体内部产生的高次模进行有效的传输。束流管道类型选择扩大型束管[34]和梅花型束管[35]，并对两者对高次模的抑制效果进行了比较。

经综合考虑，最终确定高频腔束管道半径为150 mm，三次谐波腔束管道半径为57 mm。利用CST微波工作室对两者的高次模传输进行对比，判断不同束管对腔体高次模引出效果，通过外载品质因数Qext和特性阻抗R/Q的乘积与中能衍射极限环中的耦合多束团不稳定性的阈值进行对比，低于阈值则不会引起纵向耦合多束团不稳定性。束流纵向和横向耦合多束团不稳定性阈值[23]由式(2)和(3)给出：

(2)

(3)

其中：E为束流能量；e为电子能量；Qs为同步振荡频率工作点；τs为纵向辐射阻尼时间；η为滑向因子；ωHOM为高次模所在的频率；τ⊥为横向辐射阻尼时间；β⊥为Beta函数的平均值；ω0为回旋频率；I为束流流强；Ip为峰值流强。

当束流流强为500 mA时，经计算，中能衍射极限环的纵向和横向耦合多束团不稳定阈值分别为63 kΩ/GHz和0.106 MΩ/m。图5为不同束流管道类型的高频腔和三次谐波腔中高次模的QextR/Q与纵向、横向多束团耦合不稳定性阈值的对比。对于高次模的传输，扩大型束管中有部分高次模超过了横向和纵向耦合多束团不稳定性阻抗阈值，而梅花型束管中的高次模均处于阈值以下，因此在束管长度相同的条件下，梅花型束管和扩大型束管在对高次模的传输能力上，梅花型束管要略好于扩大型束管，因而选用梅花型束管作为高频腔和三次谐波腔的引出束管类型。

a，b——高频腔；c，d——三次谐波腔图5 不同束流引出管道类型的高频腔和三次谐波腔中高次模的 QextR/Q与纵向、横向多束团耦合不稳定性阈值的对比Fig.5 Comparison of longitudinal and transverse multi-bunch coupling instability thresholds with QextR/Q of higher-order modes of RF cavity and third harmonic cavity with different types of beam tubes

3.2 高频腔和三次谐波腔阻抗计算

根据上述设计的500 MHz高频腔和1.5 GHz三次谐波腔型，采用梅花型束管，高频腔采用单Cell结构，三次谐波腔采用双Cell结构。束团选用高斯束团，束团长度为2.3 mm，计算频率范围为0～45 GHz，为了便于观察计算结果，本文频率范围选择0～10 GHz，CST中选用的尾场长度为3 m，单个束团电荷量为1.5 nC，网格分化小于1 mm，网格数约为650万，使得计算结果更加准确。利用CST微波工作室计算高频腔以及三次谐波腔的阻抗，模拟计算结果如图6所示，高频腔和三次谐波腔损失因数分别为0.233 V/pC和1.035 V/pC，高频腔和三次谐波腔的分路阻抗分别为598 Ω和3 231 Ω。高次模阻抗分别161 Ω和1 154 Ω，频率分别为0.98 GHz和2.58 GHz，均属于单极模，品质因数分别为0.96和2.87。

a，b——高频腔；c，d——三次谐波腔图6 高频腔阻抗和三次谐波腔阻抗Fig.6 Impedance of RF cavity and third harmonic cavity

4 多束团耦合不稳定性分析

高频腔和三次谐波腔阻抗与纵向耦合多束团不稳定性阈值随频率的变化如图7所示。高频腔和三次谐波腔采用梅花型束管，可有效地对腔内激励起的高次模进行传输，腔体内的高次模阻抗未超过纵向多束团耦合不稳定性阈值，因此不会引起纵向多束团耦合不稳定性。

对于横向多束团耦合不稳定性的分析，主要考虑电阻壁横向阻抗在低频时的贡献，横向耦合束团不稳定性的增加率由式(4)给出，相关表达式由式(5)给出：

(4)

图7 高频腔(a)和三次谐波腔(b)阻抗与纵向耦合多束团不稳定性阈值随频率的变化Fig.7 Impedance vs longitudinal coupling multi-bunch instability threshold of RF cavity (a) and third harmonic cavity (b) on frequency

(5)

其中：νx,y为横向振荡工作点；Ic为束流平均流强；m为同步振荡模数；Fm为形状因子；ωp和ωq为未受扰动模的频率；ωξ为色品频率；h为谐波数；ξ为色品；η为动量压缩因子；Bf为聚束因子；T0为回旋周期。

随m的增大，hm和Fm逐渐达到饱和，当超过一定范围时，则与m的取值无关。电阻壁横向阻抗引起的不稳定性增长时间为17.4 ms，小于阻尼时间22.04 ms，因此电阻壁阻抗会严重影响束流的稳定性。当引入正色品(ξ=1)时，不稳定性增长率随同步振荡模数m的变化关系如图8所示，不稳定性增长率均为负值，因此在正色品下不会发生横向多束团耦合不稳定性。

图8 ξ=1时不稳定性增长率随同步振荡模数的变化Fig.8 Variation of instability growth rate with synchronous oscillation mode at ξ=1

5 结论

本文对中能衍射极限环采用不同材料和不同厚度内镀膜的电阻壁阻抗进行了计算与对比，从镀膜角度对电阻壁阻抗进行优化，可采用1 μm的NEG膜和5 μm的铜膜为优化方案。从材料的选择角度进行优化，针对于储存环中分布式排气的真空室，可采用铜内镀有NEG膜作为优化方案；对于特殊的真空元件，内部结构较为复杂，无法或很难实施NEG镀膜或采用集中布置抽气泵满足真空要求的部分，可采用不锈钢镀铜膜为优化方案从而降低阻抗。电阻壁横向阻抗会引起横向耦合不稳定性，引入正色品(ξ=1)可有效地对横向耦合多束团不稳定性进行抑制；利用数值模拟程序，重新设计了高频腔和三次谐波腔腔体几何结构，并在此基础上对腔体几何结构进行优化，满足高频腔和三次谐波腔腔压的设计要求，采用梅花型束管可有效地传输高频腔、三次谐波腔内产生的高次模，高频腔和三次谐波腔中的高次模式不会引起纵向耦合不稳定性，因此高频腔和三次谐波腔中的高次模不会成为中能衍射极限环后续升级中提升束流流强的限制因素。