一个函数不等式的探究

湖南省桃江县第一中学 (413400) 胡芳举

该题题干简炼，内涵丰富，但证明思路不易寻找，本文将给出该题的四个巧证、二个推广以及两个变式.

一、巧证

二、推广

推广1 设x,a>0，则ex-lnx≥(1+a)+(1-a)lna.

注：由原题证法四可得推广1.

注：设f(x)=aex-cx,x>0，g(x)=cx-blnx,x>0，同原题证法三可得推广2.

三、变式

变式1 设x,a>0，则ex-lnx≥(1+a)+(1-a)ea.

注：(1)在推广1中，将a换成ea可得变式1.

变式2 设x,a,b>0，则xaex-(a+b)lnx-1≥b-blnb.

注：当a∈R时，变式2同样成立.