挖掘概念内涵 发展空间观念
——“全等三角形”概念课的教学及反思

秦虹柳

（北京师范大学昌平附属学校）

一、内容和内容解析

1. 内容

本节课选自北京版《义务教育教科书·数学》八年级上册“12.4 全等三角形”，主要内容为全等三角形的概念和性质.

2. 内容解析

（1）内容的本质.

对于单个几何图形的性质，主要研究其形状、大小两个方面的特征；研究多个几何图形时，主要研究它们的位置关系. 全等三角形比较特殊，其概念是从直观层面进行描述的，即“能够完全重合的两个三角形是全等三角形”，其本质是两个三角形的形状和大小相同，但是与位置无关，与每个三角形的大小和形状也无关.

从定义出发，两个三角形重合（全等）是指两个三角形的对应顶点、对应边、对应角重合，这种图形特征用代数的方式进行刻画，就是全等三角形的对应边相等、对应角相等，这体现了全等三角形的要素之间“形”的特征与数量关系之间的相互转化. 学生经历挖掘概念内涵的过程，能够自然得出全等三角形的性质.

（2）内容蕴含的数学思想和方法.

①几何直观. 借助图形的直观性，有助于学生辨识全等三角形及其对应边和对应角.

②空间观念. 在复杂图形中辨识全等三角形时，除了借助几何直观外，还需要有空间观念，能够从图形运动的角度理解三角形之间的关系.

③数形结合. 全等三角形的性质就是从“数”的角度刻画其“形”的特征，这体现了几何学习从“形”到“数”的转化.

（3）知识的上下位关系.

从三角形的相关知识来看，三角形的概念和性质是全等三角形的上位知识，等腰三角形、直角三角形、相似三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线等相关知识是全等三角形的下位知识.

从主题视角来看，几何知识学习的路径和基本思想是一致的，平行线是本节课的上位知识，四边形和圆都是全等三角形的下位知识.

从图形的变化视角来看，学生对平移、旋转、轴对称变换的初步认识是全等三角形的上位知识，图形变换的相关性质是全等三角形的下位知识.

（4）内容的育人价值.

本节课内容的学习有助于培养学生的几何直观和空间观念. 在挖掘全等三角形概念内涵的过程中，学生体会可以用代数的方法刻画图形的特征，理解全等三角形中的数形结合思想，意识到数学学习的规律性和思想方法的一致性.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：全等三角形的概念，以及辨识全等三角形的对应边、对应角.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）理解全等三角形的概念和性质，能识别全等三角形的对应边、对应角.

（2）经历学习全等三角形概念的过程，体会从一般到特殊的学习方法，提升数学抽象能力；构建研究全等三角形的基本路径；经历识别全等三角形对应边、对应角的学习过程，发展几何直观能力.

（3）认识到研究问题的一般方法，体会学习数学的规律性.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志是：能说出全等三角形的“重合”是指对应边的重合、对应角的重合、对应顶点的重合，理解全等三角形与位置无关；已知全等三角形，能识别对应顶点、对应边和对应角；能总结出全等三角形的性质.

达成目标（2）的标志是：能够从实际生活中的图形抽象出三角形模型，确定研究对象；能说出研究全等三角形的基本路径；能理解三角形经过平移、旋转、翻折等运动变换后的图形与原图形全等，并能从几何直观和图形变换的角度识别两个全等三角形的对应边、对应角.

达成目标（3）的标志是：从研究内容、研究路径和研究方法等方面体会数学学习的规律性.

三、教学问题诊断分析

1. 具备的基础（知识、能力）

在平行线的学习中，学生初步具备了几何直观能力，知道几何学习主要研究单个对象的性质和不同对象之间的关系，知道三角形的边和角是主要研究对象，对平移、旋转、翻折运动有初步了解.

2. 可能存在的问题（问题、障碍）

从内容来看，学生在复杂图形中辨识全等三角形的对应边和对应角可能存在困难.

从能力发展阶段来看，学生的空间观念较弱，多数学生无法从图形运动的角度理解全等三角形.

3. 应对策略

通过设计开放性活动，让学生借助手中的学具进行操作，帮助学生从运动变换的角度理解三角形之间的全等关系，有助于提升学生的空间观念.

因此，确定本节课的教学难点是：识别复杂图形中的全等三角形及对应边、对应角.

四、教学支持条件分析

本节课中，应用几何画板软件、自制教具、学生导学案和自制学具辅助教学.

五、教学过程

1. 情境引入

引言：在本章学习之初，我们一起确定了本章的学习路径（如图1）. 之前已经学习了一个三角形的相关知识，本节课要研究两个三角形之间的关系. 对于两个三角形的学习，首先应该确定研究对象. 那么，应该研究什么样的两个三角形呢？

图1

问题：观察如图2 所示的金字塔魔方，你从中看到了几种三角形？它们之间有什么关系吗？

图2

师生总结：图2 中一共有三种三角形. 每个面整体可以看作1个大三角形，每个面有9个小三角形，每个面有3个由4个小三角形组成的三角形（如图3）. 这些三角形的形状相同，有的大小相同，有的大小不同. 本节课将研究最特殊的情况，即形状、大小都相同的三角形之间的关系.

图3

【设计意图】通过观察金字塔魔方，学生体会形状和大小是研究两个三角形之间关系的重要方面，从而引出本节课的研究对象.

2. 新知探究，抽象概念

引言：对于几何对象的研究，首先要研究它的几何特征.

活动1：试一试.

已知如图4所示的△ABC，观察如图5～11所示的三角形，是否存在与已知△ABC形状和大小都一样的三角形？如果有，怎样验证呢？（每名学生手里都有一个如图4 所示的△ABC的实物，以及如图5～11 所示的7个三角形纸片.）形进行操作验证？

图4

图5

学生通过观察，会发现如图6～9 所示的三角形显然不符合要求.

图6

问题2：是不是只有形状、大小都相同的三角形才能够重合？

学生回答：是.

教师总结：（1）几何图形的直观性能够帮助我们对一些问题进行判断.

（2）如果两个三角形能够重合，它们就是形状和大小都相同的三角形，因此，能够“重合”是三角形全等的特征.

【设计意图】通过活动1的设计，帮助学生从操作层面理解图形的形状、大小的意义. 图5～11 给出的7个三角形中有3个能和已知的△ABC重合，这3个图形可以由△ABC经过平移、旋转、翻折得到，使学生初步从图形运动的角度感受三角形的重合问题.

3. 新知探究，表示概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形.

在图12 中，△ABC和△MNP能够完全重合，我们说这两个三角形全等.“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”.△ABC全等于△MNP，记作“△ABC≌△MNP”.

图7

图8

图9

师生活动：学生观察图形，进行猜想，可以通过手中的实物模型进行验证，并与其他学生交流想法.教师选择一名学生上台演示验证过程，将手中的实物图形与△ABC进行叠合，发现图5、图10、图11与所给的△ABC能够重合.

图10

图11

图12

问题1：为什么大家都不对如图6～9所示的三角

当两个三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.

4. 理解概念，探究性质

试结合图12，辨析全等三角形的概念.

问题1：全等三角形的研究对象是什么？

学生回答：两个能够完全重合的三角形.

问题2：如何理解定义中的“能够”？在活动1中，图5、图10、图11 都能与如图4 所示的△ABC完全重合，它们有什么区别？说明了什么问题？

学生回答：它们只是位置发生了变化，形状没有发生变化，说明全等三角形与位置无关.

问题3：如图12，已知△ABC和△MNP可以重合，你是如何理解这里的“重合”的？

师生活动：教师引导学生关注三角形的主要元素.学生观察图形，理解两个三角形的重合，就是边的重合、角的重合、顶点的重合.

问题4：能否从“数”的角度刻画三角形“重合”的图形特征？

师生总结：“重合”就代表是一样的. 由于三角形的边和角可以用数量进行刻画，因此，边的重合意味着对应边相等，角的重合意味着对应角相等，点的重合无法用数量关系来表示.

【设计意图】通过本环节帮助学生理解全等三角形的内涵. 对于几何图形的学习，在研究完图形的几何特征后，要将其代数化，体现了从“形”到“数”的转化，从而自然得出全等三角形的性质.

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.

结合图12，用符号语言表示全等三角形的性质.

符号表示：如图12，因为△ABC≌△MNP，所以AB=MN，BC=NP，AC=MP，∠A=∠M，∠B=∠N，∠C=∠P.

5. 理解性质，识图辨析

引言：对于两个全等的三角形，可以把其中一个三角形看成是由另一个三角形运动之后得到的，我们要能在复杂图形中辨识全等三角形及它们的对应边和对应角.

例 如图13，已知△ABC，将它平移至△DEF的位置，这两个三角形是否全等？如果全等，试找一找对应边、对应角.

图13

学生观察并回答：△ABC≌△DEF，其中AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A= ∠D，∠B= ∠DEF，∠ACB=∠F.

教师强调：用符号表述对应边和对应角时，注意点的对应.

变式：如图14，已知△ABC，将它平移至△DEF的位置，这两个三角形是否全等？如果全等，试写出对应边、对应角.

图14

【设计意图】通过例题帮助学生理解图形经过平移变换后和原图形全等，让学生在操作过程中体会图形的运动过程，提升空间观念和想象力.

活动2：找一找.

如图15～22，已知△ABC，分别将它运动至新的位置，是否存在与它全等的三角形？如果存在，说一说△ABC是怎样运动的，并找一找对应边、对应角.（学生可以借助学具演示图形变化的过程.）

图15

图16

图17

图18

图19

图20

图21

图22

师生活动：学生利用手中的学具动手操作，学生代表在黑板上演示图形的运动过程. 教师利用几何画板软件演示图形的运动过程，引导学生先进行观察、猜想，再进行验证.

教师总结：三角形经过平移、翻折、旋转等运动后，只改变了图形的位置，与原三角形全等，可以借助图形的直观性辨识全等三角形及其对应边和对应角，长边对应长边，大角对应大角. 对于不容易通过几何直观进行辨识的图形，可以从图形运动的角度理解.

【设计意图】本活动有助于学生从运动变化的角度理解全等三角形，提升空间观念和想象力.

活动3：开放式活动.

学生手中透明的三角形纸片与学案上的△ABC（如图23）全等，让透明的三角形纸片动起来（可以运动到任意位置），同组学生相互说一说与学案上△ABC相比，透明的三角形纸片是怎样运动的.

图23

师生活动：每名学生进行独立操作后，每个小组的学生相互展示. 教师找几名学生分别在黑板上展示作品，大家一起观察图形、动手操作，描述运动方式.

【设计意图】通过开放式活动留给学生充足的空间与时间，打开学生思维，激发学生的创造力，提升学生动手操作的能力，发展空间观念，使学生对平移、旋转、翻折等图形运动过程有进一步地认识，提升了在复杂图形中辨识全等三角形及其对应边和对应角的能力.

6. 学习总结

问题1：从知识角度，说一说这节课你有什么收获？

师生总结：全等三角形的概念、表示和性质，辨识全等三角形及其对应边、对应角.

问题2：我们经历了怎样的学习过程，学习过程中有哪些感悟？

师生总结：本节课研究了两个图形的关系. 首先确定了研究对象，也就是形状和大小都相同的三角形；形状和大小相同是从感官上描述两个三角形之间的关系，从操作的层面，它们的特征是能够完全重合，根据这一特征对“全等”进行了定义.

在学习一个新的概念时，要注重深挖概念内涵.三角形的重合（全等）是对应顶点、对应边和对应角的重合，从代数的角度刻画三角形的要素之间的关系，得到全等三角形的性质.

由于全等三角形与位置无关，图形发生位置变化时与原图形全等，在辨识全等三角形及其对应边和对应角的过程中，既可以借助几何直观，也可以从图形运动的视角出发.

基于以上总结，整理出如图24所示的知识结构.

图24

通过本节课的学习，进一步充实与完善本章知识结构. 因此，在学习了全等三角形的性质后，接下来要学习全等三角形的判定.

知识结构更新，得到如图25所示的知识结构图.

图25

【设计意图】在此环节，引导学生从所学知识、学习过程、思想方法等方面对本节课的学习进行总结，使学生理解全等三角形的内涵，明确学习方法，强调几何直观和空间观念的重要性. 通过更新知识结构，进一步完善本章的知识结构，有助于学生理解知识的形成过程及知识间的关联.

7. 目标检测设计

如图26，已知△ABC≌△ADE，试写出这两个全等三角形的对应点、对应边和对应角.

图26

对应点：__________________________________；

对应边：__________________________________；

对应角：__________________________________.

六、教学反思

从单元整体教学的角度出发，与本节课的教学相结合，笔者有如下思考与收获.

1. 关注知识的整体构架

本节课是“全等三角形”小单元教学的起始课.教师在教学中应关注知识间的逻辑结构与关联，关注知识间的上下位关系. 虽然几何学习的研究对象不同，但是研究路径和方法基本相同，在学习了平行线和三角形的相关知识后，本单元将学习全等三角形的定义、表示、性质和判定，这种研究问题的基本框架在四边形、圆的学习中依然适用.

2. 重视一般观念的引领

对于全等三角形，到底要研究什么呢？能够完全重合的两个三角形是全等三角形，我们应该如何来理解这里的“重合”呢？显然，全等三角形的定义是从操作层面进行描述的. 但是，大多数情况下，将两个三角形的全等关系通过“重合”的方式来验证，并不具有可操作性，从代数的角度刻画组成图形的元素之间的数量关系更具有可操作性，全等三角形的性质就是用要素之间的数量关系来刻画图形特征. 无论是一个图形的性质，还是多个图形之间的关系，无论是三角形、四边形，还是圆等几何图形的学习，都要研究通过要素之间的关系来刻画图形特征，这种思想方法在几何学习中具有普适性.

3. 以知识的发生、发展过程为线索，设计系列问题与活动

教学过程设计不仅要关注内容，更要关注知识的自然生成过程，教师的问题设计和活动设计都应该从学生出发. 通过在多个图形中辨识全等三角形的实践活动1，帮助学生理解全等三角形的几何特征，提升几何直观能力. 通过辨析概念的系列问题，明确了全等三角形的研究对象，且全等三角形与三角形的位置无关；分析得出全等三角形的性质. 通过活动2，有助于学生准确辨识全等三角形及其对应边和对应角.在学生对图形运动有了初步了解的基础上，通过开放式活动3，既帮助学生从图形运动的角度深刻理解全等三角形，又激发了学生的创造性思维.

4. 以几何直观和空间观念为导向的学习结果

几何学习承担着培养学生几何直观和空间观念的使命，几何图形的直观性对解决几何问题有重要意义. 在活动1 中，学生通过观察几何图形并进行初步判断，再通过动手实践进行验证，不仅有助于学生对全等三角形的理解，更体现了几何直观的重要意义，也有助于提升学生的数学素养. 活动2 是一个综合活动，面对复杂图形，学生首先要借助几何直观进行初步判断，然后再通过动手操作感受图形的运动变化过程，体会图形间的关系. 活动3 是本节课的亮点，对学生的思维要求较高，需要学生对不同运动方式进行综合考虑，创造性地构造全等三角形，有助于培养学生的几何直观和空间观念.

5. 明确数学抽象的内涵

作为数学教师，我们要不断地引领学生“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言描述现实世界”. 在引入环节，通过引导学生观察金字塔魔方中的三角形，由实际问题引出数学问题，这体现了数学抽象的过程. 但是，关于数学抽象，可以进一步思考如下几个问题：生活图形与数学图形之间有什么关系？从生活图形中抽象出数学图形的角度是什么？观察不同三角形之间的关系，应该从什么角度来观察？显然，数学图形是从生活图形中抽象出来的，在抽象图形的过程中，应该关注图形的形状和大小等特征，而不是关注颜色、质地、误差等方面，在观察不同三角形之间的关系时，图形的形状就是实际图形的轮廓，而图形的大小只有在图形形状相同的前提下才有研究意义. 当两个三角形之间形状和大小分别相同时，这两个三角形全等.在教学中，教师要不断引导学生将生活问题数学化，明确数学抽象的内涵，这样才有助于加深学生对数学抽象的认识.