指向深度学习的高三复习课教学与启示
——以2021年新高考全国I卷解析几何为例

王思俭 (江苏省苏州中学 215007)

1 问题提出

高考命题已经从能力立意转到素养导向[1]，素养导向的高考命题引导中学教师尊重学生学习的主体地位，激发学生学习的主观能动性，养成学生良好的深度学习习惯，达到终身学习的目标．目前不少高三课堂教学并不是以发展学生的思维能力为主，往往集中于教学生如何能够快捷、有效地解题，教师只是重视题海训练，让学生机械模仿刷题，靠学生自己去“悟”，却完全不在意学生是否实现了应有的理解，从而也就必然会造成“机械学习”的盛行.这对学生未来的数学学习产生严重的消极影响，降低了教学“促进学生发展”的教育功能．

高三复习课要根据学生的需求选取合适的经典问题进行合理设计，这样做不仅有利于打通各章节知识的联结，还能渗透思想方法，提升学生深度学习的能力和数学思维品质．因此，加强“深度学习”的研究，把握课程育人的核心，提高数学课堂的效率，是亟待解决的问题．笔者受教师教研网的邀请，于2022年3月6日以《一道高考题的深度探究》为题给全国部分优秀骨干教师和徐州市高三数学教师开设了一节研究课(腾讯会议课堂)，旨在探求激发学生深度学习的教学方式．

2 基于深度学习的高三二轮复习教学设计

2.1 学情分析

本节课的授课对象是本校与中国科学技术大学联办的少年预备班高三学生，原有31位学生，2021年被中国科学技术大学少年学院提前录取8位，2022年2月被清华大学丘成桐女子数学竞赛录取一名，被北京大学数学精英班和物理精英班各录取一名．该班数学学业成绩位列苏州大市前3名，学生的学习热情很高，思维活跃，创新思维能力强，解决问题的思路较多，但表述不严谨．

2.2 教学设计理念以及教学过程

·设计理念

哈尔莫斯认为问题是数学的心脏[2]，是科学探索的出发点和动力．在数学课堂教学中，没有经典问题的设计就没有学生的思维活动，有了经典问题，学生的好奇心才能被激发，思维才能被启动．学生正是带着对这一经典问题的不断思考与挖掘，在生生、师生的不断对话与交流的过程中，完成数学学习内容各自特征及其相互关系的整体把握.正是因为有了经典问题的设计，课堂才得以向着一个全新的方面逐层展开，才能逐步引导学生真正成为深度学习的主人．

本次教学设计的路线图如图1，以此构成了一个典型的“深度学习”的探究学习过程．

图1

·教学目标

(1)通过一道典型高考真题的探究，学会观察问题、发现问题、提出问题，培养数据分析、数学抽象等素养；(2)渗透数学思想方法，增强数学活动经验，会用数学思维去分析问题并解决问题，强化数学研讨交流的意识，提升数学运算、数学模型素养；(3)经历代数、几何视角探究直线与圆锥曲线综合性问题的过程，体验其中的数学思想，会用数学语言描述事件，提升直观想象、逻辑推理素养．

2.3 教学过程

·解析经典，促进学生的深度联系

对于高考真题，教师要舍得花时间去探究，并结合学生提出的“念头”，根据学情，精心设计开展课堂教学，这样的课堂才会有精彩的绽放．为此，笔者设计了以下高考真题的教学．

设计意图经典的问题是深度学习的起点，能激发学生的数学思维，唤起学生对数学的好奇心，引起学生的共鸣．通过经典高考真题把基本曲线的方程与代数、三角、参数等知识、方法联结起来，让学生融会贯通，灵活迁移，从而提高数学解题能力．

(过程略，答案：0)

师：你们给出两种不同解法，从一题多解中学会将知识进行有机融合，这样可以促进深度学习．参考苏教版《高中数学·选择性必修一》第92页练习第1题：“在△ABC中，BC的长为2，|AB-AC|=1，试确定点A在怎样的曲线上运动.”立足双曲线定义，写出点A的轨迹方程，于是改写定义中的相关数据即得第(1)小题．结合人教A版选修4-4(2017年版)第38页例4：“已知AB,CD是中心为O的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角(锐角)相等，求证：PA·PB=PC·PD.”将“椭圆内的交点P”改为“曲线外一点T”，再将“结论”改为“已知条件”，这时发现四个交点共圆，联想到圆的相交弦定理，于是进行逆向思维，便可得到高考真题．

设计意图分析高考真题的源头和命题思路，领悟真题所蕴含的数学思想方法的精髓．

·类比联想，促进学生的深度迁移

问题引领是深度学习的起点[3]15．因此，它所关注的已不只是教师如何发挥应有的主导作用，也直接关系到了如何很好地调动学生的学习积极性.教师要鼓励学生大胆进行类比联想，提出新的问题，从而切实体现他们在数学活动中的主体地位，只有这样，学生才能积极地参与课堂教学，进行深度学习．鉴于此，笔者设计以下问题：

师：你们能发现新问题吗？

(学生展开热烈讨论，提出很多问题并逐一 解决)

问题3已知抛物线C:y2=2x，设点T不在曲线C上，过点T的两条直线分别交抛物线C于A,B两点和P,Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．

师：很好！你们不仅研究逆命题，而且将问题延拓到椭圆和抛物线中了，后一个问题的点T不是在具体的直线上，具有一般性，并且给出了详细的求解过程，你们还有什么发现？

设计意图重现经典问题往往会产生连锁效应，会引导出一系列新的、富有强烈吸引力的问题结论，让学生的数学思维走向深入、走向深刻，实现深度学习．

问题4已知抛物线E:y2=2x，过点T(1,2)、倾斜角互补的两直线l1和l2与曲线E分别交于A,B两点与C,D两点，并组成四边形ABCD，求证：直线AC的斜率与直线的BD的斜率之和为0．

问题5已知抛物线E:y2=2x内接四边形ABCD，直线AC的倾斜角与直线BD的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率与直线CD的斜率之和为0．

师：很好！求解过程中要先考虑直线AB和CD的斜率不存在的情况，然后再设直线方程求解．大家继续探索，能否再发现新的问题？

师：你们在圆锥曲线中探究了内接四边形的对边倾斜角与对角线倾斜角之间的关系．

设计意图通过恰当的设问、追问、反问、辩驳，引导学生更加深入地进行思考和探究．

·抽象概括，促进学生的深度理解

深度学习的主要含义是：数学学习必须超越具体的知识技能，深入到思维层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般的思维策略与思维品质的提升．我们利用“方法论指导下的数学教学”[3]177-178，帮助学生学会自主学习，启迪思维．在教学中，我们如何能够处理好“问题引领、学法指导”与“层层推进，逐步深入”之间的关系，更好地发挥习题、高考题的育人功能，这就需要教师做好“整体设计的开放性”．鉴于此，笔者设计了如下问题．

师：同学们，讨论圆锥曲线内接四边形的对边与对角线倾斜角之间的关系后，你们能否概括出一般结论？

问题8已知抛物线C:y2=2px(p≠0)，设点T不在曲线C上，过点T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，求证：TA·TB=TP·TQ的充要条件是直线AB与PQ的倾斜角互补．

问题9已知有心二次曲线C:ax2+by2=r2(a>0，r>0，a≠b，b≠0)，设点T不在曲线C上，过点T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，求证：TA·TB=TP·TQ的充要条件是直线AB与PQ的倾斜角互补．

问题10若曲线mx2+ny2=1(mn≠0,m≠n)(或C:y2=2px(p≠0))有内接四边形ABCD，则其一组对边倾斜角互补的充要条件是对角线的倾斜角互补．

设计意图用好的问题引发学生养成良好的数学学习习惯，培养学生的抽象概括能力．

师：我们已经探究了点T在曲线外的一些重要结论，大家总结概括得很好！从特殊到一般的思维方法是众多科学发现的重要途径，因此你们在日常学习中要灵活运用．同学们还有什么“新 发现”？

当听到学生在议论“还有点在曲线上没有讨论”“内接四边形退化为内接三角形”时，笔者设计了如下问题：

师：已知过抛物线C:y2=4x上点T(1,2)作倾斜角互补的两条直线l1,l2，与抛物线C交于点A,B，试探究直线AB的斜率是否为定值？能推广吗？

设计意图根据学生的质疑，教师给出问题，激发学生深邃的数学思考，发展学生的空间想象能力．

师：很好！有心二次曲线的运算量较大，稍有不慎就会出现差错，因此对数学运算能力应该加强训练．

此时又听到“给出定斜率可以研究定点T一定在曲线上吗？”，为此，笔者又设计如下问题：

师：已知抛物线C:y2=4x和定点T，斜率为1的直线l与抛物线C交于点A,B，若直线TA,TB的倾斜角互补，求点T的坐标．你们能推广吗？

设计意图在学生已经没有问题的时候，提出一个有训练价值、有思维含量，且能够有效促进学生深度学习的数学问题，应成为我们的重要教学任务．

师：非常棒！你们经过共同努力探索了过点T的两条直线与曲线相交时，点T在曲线外或点T在曲线上，两直线倾斜角互补的充要条件．探索过程中充分展示出你们坚强的意志和锐意进取的精神．

3 教学启示

教师要积极帮助学生从在教师指导下进行学习，逐步转变为独立思考、自主学习，包括善于进行同学之间的合作与互动性学习、师生之间的交流性学习，使学生真正成为学习的主人，成为全面而有个性的社会主义建设人才．

3.1 典例引入促进学生主动参与

波利亚曾说过：“令人讨厌的艺术就是把什么都说出来”[4]116，新课标提倡自主探究和创造性学习，这正是深度学习的具体要求．这就要求教师要尊重学生的主体性，提供充分的思考空间，让学生主动参与到教学中来，在积极主动的探究过程中表达自己的想法，修正自己的发现，完善自己的知识结构．如笔者设计“一课一题高考真题探究”，这样激发学生积极思考，积极提出自己的解法.其中参数方程法最简洁，这种解法突出参数法的优势，既培养了学生的解题能力，又培养了学生的数学思维习惯，使已有的知识和方法具有更大的迁移性．再如学生自觉探究其逆命题是否成立，灵活类比到椭圆、抛物线中的相关结论，等等．因此，要引导学生牢固地树立终身学习的思想，并切实提高自身学习的能力，知识宽广、知道更多，频繁更新知识，并运用它创造性地解决新问题，而不仅仅是完成一道道常规习题的演练．如此的中学数学教学让学生积极主动参与到课堂中来，教师不再是课堂的主宰，也不是扮演知识的绝对拥有者，而是学生自主学习和深度学习的策划者、交流的组织者、讨论的引导者、结果的欣赏者．

3.2 探究过程促进学生智力参与

中学数学课堂教学的首要目的是教会学生思考[4]129，特别要重视长时间的思考与反思，不要轻易放弃每个“念头”，可以更换角度去思考问题，往往会顿悟出解决问题的新思路．学会反思解决问题过程中在哪里遇到了障碍？如何逾越？目前还缺少什么知识和方法？等等．

要使学生全身心参与到课堂教学中来，必须要有高质量的问题．“没有好的问题，就无法诱发深入的数学思维，深度学习就不可能真正发生．”[3]179-180笔者选择了经典高考真题，诱发学生深度探究，从双曲线类比到椭圆、抛物线中的相关结论，同时也探究了“如果两条直线的倾斜角互补，则线段之积相等、所产生的四边形的两条对角线斜率之和为0”，又引导学生继续探究各个问题的逆命题是否成立、抽象概括一般结论．在即将没有问题探究的瞬间，教师加重语气道：“已经讨论了点T在曲线外的情况．”再一次诱发学生深度思考深度参与，提出新问题，探究点T在曲线上、两条弦的倾斜角互补时，相应终点连线的结论，也探究其逆命题，继而概括出一般结论．一个又一个问题逐渐被学生们引出来，学生的数学思维也就趋向深刻．

3.3 相互评价促进学生合作参与

探索是数学的生命线．[5]随着教学环节的开展，课堂由“教师独角戏”转变为“学生提出问题、合作探究”．如“曲线上斜率为定值的弦端点与某一定点连线的倾斜角互补时，定点在何处？”，教师鼓励学生合作探究，相互评价，先由具体问题探究求解思路，然后再推广到一般情况，让学生分组讨论并交流自己探究过程中所遇到的困惑，分享自己的探究成果．再如，在推广到一般情况时，学生运算出现错误，此时，同学之间相互交流、寻找错误原因，最后得到圆满解决．教师要为学生搭建深度合作交流的平台，在讨论交流中，学生对数学思想方法的理解逐步趋向正确、完整和成熟，对数学的认识、体验也越来越丰富、深刻，对数学的价值、情感逐渐趋向深刻、浓厚．让学生清楚地认识到合作的重要性，相互借鉴，取长补短，完善自身的认知结构．由此可见，教师必须精心设置问题情境，才能引发交流思辨、促进深度学习、发展核心素养、打造高效课堂.