基于A H P-Dijkstra 算法的高速铁路选线方案研究

高鹏展

（中国铁路设计集团有限公司，天津 300000）

引言

随着国家经济发展，旅客出行需求提高，列车运行速度提升。依据2020 年4 月国家发展改革委、交通运输部关于印发《长江三角洲地区交通运输更高质量一体化发展规划》以及地方发展规划，部分铁路线路需要进行改扩建。而铁路选线方案设计是铁路勘察设计中的基础工作, 目前在铁路选线方案设计方面有许多研究方法。其中，孟晓鹏[1]等人通过层次分析法，对内马铁路内罗毕公园生态选线方案进行了评估。罗圆[2]等人基于变权理论提出了铁路选线方案中的评估指标体系，利用云模型，对选线方案进行了有效评估。董贤凯[3]利用风险决策理论对不同地质条件进行不同风险等级评估，并加入工程投资期望换算，使得评估结果更加科学化。

从以上的研究中可以看出，都是将该段铁路选线看作线性堆叠的过程，再选线方案进行评估中，忽略了铁路线路的网状特征与各个节点之间的相互联系。而在其他的研究方向中，如高鹏展[4]利用Dijkstra 算法对旅客的出行距离、时间、费用三方面进行了分析，从而对旅客出行行为得出了更为明晰的结论。因此本研究提出，采用运输网络的思维，将铁路选线过程中的影响因素量化为网络图中的损失值，进而得出更加科学的选线方案。

1 Dijkstra 算法

Dijkstra 算法是用于计算复杂有向赋权图中，从起点位置到终点位置的算法。对于任意赋权有向图G=（V，E，W），其中：V 代表节点的集合，即V={s，v1，v2，…vn}；E 代表连接边的集合；W 代表边上权重的集合；s 表示源点，对于任一节点，将源点到该节点的距离记为dist[v，vi]，将源点到该节点的最小距离记为short[s，vi]，其基本运算过程为

a. 令S={s}。

b.计算dist[s，s]=0。

c. 对于任意vi∈V-S，计算dist[s，vi]，如果dist[s，vj]+ωj，i＜dist[s，vi]，则令dist[s，vi]=dist[s，vj]+ωj，i，其中无法到达的点将其距离记为∞。

e. 重复步骤c、d，直到S=V。

通过以上步骤可以在有向赋权图中，找到从源点到终点的最短路径，因此本研究以此为主要思路，以合肥至武汉段的高速铁路为案例，将其在计划内的15个地区抽象为网络图中的节点，见图1。

图1 各个地区节点之间相对位置关系网络图

2 铁路主要概况

文章研究的路段主要位于安徽、湖北省境内，线路所经地区地处北亚热带长江中下游湿润季风气候区，无特殊不利于建造铁路天气。在环保控制点与地质条件方面，由于存在大别山国家森林公园和天马国家自然保护区，因此节点K-G、G-L、L-H、H-M、M-I、I-N 之间互联互通困难；线路经过地区其地层岩性复杂多样，C-F、D-G、E-G 之间工程地质条件差；J-F 与F-D 之间存在既有铁路。

结合上述不利因素，各个节点之间实际可行网络图见图2。

图2 实际可行状况下各个站点连通网络图

3 选线评估指标

在选线过程中需要进行各项指标的综合比选，因此评价指标体系的建立关乎该项方案评价的优劣，本研究对于该铁路项目中进行过程中，通过结合李东侠[5]文章中对重要政治经济据点、顺直度、地质条件等因素，杨鹏[6]在选线过程中认为应该对铁路经由地区经济、文化、环境等条件进行综合考虑。本研究主要选取了线路长度、经济水平、人文因素以及线路顺直度4个主要影响因素。

4 评估指标的计算与分析

4.1 线路长度

铁路线路长度主要影响铁路后期修建过程中产生的实际费用问题，关于该方面的研究文献较多，此处不做赘述，本研究将各个节点的维度行了统计，由此可以得到各个节点之间的距离，并将该距离作为施工长度权重。

4.2 经济水平

由于该条线路穿过我国14 个集中连片特困地区之一的大别山区，麻城、金寨均属国家级贫困县。因此本研究对于以上穿越站点进行了地区经济发展分析，将其当地经济发展中的生产总值状况进行统计分析。

4.3 人文因素

在沿线各个站点之中存在革命先烈诞生地，红色革命性质浓厚。黄永林[7]对红色旅游景点发展状况进行了分析。黄常军[8]对金寨的革命历史与现阶段的扶贫成果进行分析。为了量化铁路选线中的地区人文因素，本研究通过文献调研的方式，获取了有关相应地区的人文因素研究现状。

4.4 线路顺直度

高速铁路选线要充分保证高速行车条件，在满足技术标准的情况下，使线路尽可能顺直，本研究提出以各个路段与线路主要方向的余弦相似度作为主要度量依据进行分析。本研究中的武汉市至长江新城之间为固定的路线，因此，将长江新城至合肥市设为该路线的主要方向，将主要方向向量记为，其他各个节点之间的斜率向量记为，其中（x1，y1）表示斜率向量的坐标点，（x2，y2）表示斜率向量的坐标点，其余弦相似度的计算公式见公式(1)。

4.5 各个指标权重汇总

通过对以上各个指标的原始数据分析，可由节点经纬度计算得到施工长度权重；将路径两端地区的生产总值与文献研究数量均值作为该段路径的经济权重与人文因素权重；各路段与铁路整体走向之间的余弦相似度作为路段的顺直度权重，见表1。

表1 各路段与铁路整体走向之间的余弦相似度

5 方案比选

由于以上4 种指标各自的单位不同，要综合考虑4 种指标，需要进行综合处理，对于线路长度权重和沿途经济水平权重而言需要将其进行归一化，其计算方式见公式(2)、公式(3)。

对于线路的顺直度而言，其余弦越接近于1，表明该路段铁路越与总路线主要方向相一致。同理，对于以上各个地区的文化研究发展状况越多，越说明该地文化与旅游事业发展越好。因此文章参考李宝凤[9]提出了一项将最长路转化为最短路的方法，将关于预设站点的顺直度权重与人文权重进行了转化，其转化公式分别见公式(4)、公式(5)。

在完成以上4 种指标的转化之后，还需要对以上指标进行不同权重赋值。本研究将以上4 种指标采用AHP 算法（层次分析法）进行分析，邀请相关行业内部6 位专家对于以上4 种指标进行了重要程度两两比较，得到6 位专家的判断矩阵，见公式(6)，通过计算可知均通过一致性检验。

5.1 相似度计算

由上文中以上6 位专家的判断矩阵可以通过余弦相似度进行计算，余弦相似度的计算原理已在顺直度评估中进行了说明，需要将以上6 个判断矩阵按列展开。通过计算余弦相似度，可以得到专家之间判断矩阵的相关程度，并计算每个专家的累计值rk。最后，通过归一化的方式得到每位专家的判断矩阵权重。其运算过程见公式(7)，得出λ1=0.157 7、λ2=0.196 5、λ3=0.110 5、λ4=0.144 6、λ5=0.197 4、λ6=0.193 4。

5.2 差异度计算

根据6 位专家的判断矩阵，计算其之间的差异度，从而确保减少偏离群体意见的判断矩阵权重。令bkj为第k 位专家判断矩阵下三角的第j 个元素值，σk表示第k 个专家的评价结果差异性，在计算完成之后还需对对σk进行归一化，计算过程见公式(8)。式中：φk表示第k 个专家的判断矩阵与所有专家群组整体评价的综合结果的差异度，得出φ1=0.184、φ2=0.161、φ3=0.236、φ4=0.180、φ5=0.124、φ6=0.113。

5.3 判断矩阵综合权重计算

为了均衡考虑专家判断矩阵的权重，将相似度与差异度联合进行考虑，形成综合权重，计算过程见公式(9)，得到各个专家判断矩阵的综合权重，即γ1=0.153 0、γ2=0.196 1、γ3=0.100 4、γ4=0.140 9、γ5=0.205 6、γ6=0.204 0。

5.4 共识矩阵计算与检验

根据以上综合权重，可以将以上6 位专家的判断矩阵形成共识矩阵S，共识矩阵中各个元素的计算方式见公式(10)，aij（k）为第k 为专家判断矩阵中第i 行第j 列的元素。

根据以上计算方式可以得到以上6 位专家联合形成的的共识矩阵，结果见公式(11)。通过几何平均法计算得到矩阵S 其特征向量为ω= [0.248 7 0.317 7 0.135 2 0.298 4]T，并且通过计算得到C.R.值为0.005 22，可知通过一致性检验，得到的权重可以用于计算。

5.5 计算最终方案

将以上各个参数输入到以上各个损失指标中，运算过程见公式(12)，即令a1=0.248 7、a2=0.317 7、a3=0.135 2、a4=0.298 4，其中a1、a2、a3、a4分别表示线路长度损失值、经济水平损失值、人文因素损失值以及顺直度损失值的参数。通过计算可以得到该网络中的综合损失值，运算结果见表2。

表2 综合损失值计算结果

通过获取到的以上综合损失值，将其赋值到网络图中，见图3，并利用Dijkstra 算法进行计算，以算法迭代步骤为基础，在visual studio2013 中构建了综合损失函数，得到最短路径节点为：A→B→F→G→H→I→O，铁路选线方案应为：武汉市→长江新城→麻城北→南溪→金寨东→六安北→合肥市。该方案与专家组的推荐方案一致。

图3 向网络图中赋予综合损失值

6 结论

本研究利用Dijkstra 算法对合肥至武汉段高速铁路选线方案，提出了新的解决方法，即将现有具体地区站点抽象化为网络图中的节点，将影响选线方案的主要因素作为该网络图中的路径权重，从而得到更加科学化的选线结果。在影响选线因素之中着重分析了线路长度、经济因素、人文因素以及线路顺直度因素，对以上4 个影响因素采用AHP(层次分析法)，通过计算各个专家判断矩阵的相似度与区别度，求得综合权重，通过了一致性检验，计算得到综合损失值。利用Dijkstra 算法求得最优选线方案，与专家选线方案一致，证明本研究提出的AHP-Dijkstra 算法具有一定实际应用价值。