论初中数学习题教学中促发学生深度学习之策略论初中数学习题教学中促发学生深度学习之策略

◎徐德彬 童丽华

(1.浙江省杭州市萧山区新街初级中学，浙江 杭州 311217 2.浙江省杭州市萧山区靖江初级中学，浙江 杭州 311223)

初中数学习题教学是数学教学活动的重要组成部分，是学生发展“四基”“四能”的重要手段深度学习强调学生不仅要能建构知识关联，理解核心知识，还要能进行抽象概括和解决问题，更要能进行自我评价与反思教是为学服务的，不能引发学的教是无效或低效的基于深度学习的习题教学少了学习表面的热闹，多了思维力度、思维密度的训练，从而更好地促进了学生核心素养的形成

一、基于深度学习的习题教学“选题”策略

在习题教学过程中引导学生开展深度学习活动，教师应精挑细选习题，并按照“典型性、层次性、针对性、新颖性”的原则选题

(一)挖掘课本习题的价值

课本中的习题与课本中的教学内容相匹配，编写人员均是教材编写方面的专家，因此课本中的习题应该是教师组织课堂教学的首选与此同时，教师要从课本习题中挖掘出数学教育价值当然，这种挖掘与拓展既要适情适境，又要自然有效

如图1,以三角形的边，为边作正方形和正方形，连结和求证：=(浙教版《数学》八年级(下)P147)

本题是初中数学中常见的典型问题，解题关键是先得到∠=∠，然后利用“边角边”证明△≌△初中数学中有许多题目是以本题为原型的变式题，因此，教师在课堂教学中可通过设计变式题引导学生类比分析，进而形成系统的解题思路

图1

图2

图3

1如图2,三角形是锐角三角形，分别以边，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形边，，的中点分别是，，，连结和求证：=

2如图3,分别以三角形的边，为边作等边三角形和等边三角形，连结和求证：=

3(1)在例题中求与的夹角的度数，并判断和是否垂直；

(2)在变式2中求与的夹角的度数

(二)精心安排改编习题

在数学教学活动中，对一些习题进行改编设计，能激发学生的数学思维

在一节习题课的教学中，教师呈现习题：

学生看了一遍题目，脸上的表情告诉老师这太简单了其中一名学生正确口述了解答过程

图4

教师适时启发：在这个圆中能构造一个上题中那样的直角三角形吗？

此时学生若有所思：可以在圆中画出无数个直角三角形学生结合已知条件，尝试过三角形的顶点画圆的直径，构造新的直角三角形，最后自己发现结论大多数学生能够顺利添加辅助线，正确表述思维过程

教师继续改编习题：若∠=，=，则⊙的直径是多少？

教师设问小结：

(1)通过上述问题的解决过程，你认为你学会了哪些方法？

(2)从这三个问题中，你发现了什么？

在这样的安排下，学生不仅能够在解决问题的活动中经历知识生成、发展与变化的过程，而且能够在自主学习及生生、师生互动的活动中理解知识，进而掌握技能和方法，获得思维活动经验

(三)精心设计新增习题

在习题教学中，教师应注重所选习题的丰富内涵，通过精选一题多解习题，创设一题多变和一题多用的习题，实现问题解决方法多样、多解归一的目的，从而提高学生解决问题的能力

在一节复习课中，教师编制了下面这道题：

图5

如图5,在△中，∠=90°,是高，平分∠，交于点，交于点，过点作⊥，交于点，连接，求证：四边形是菱形

一题多证

思路一：证明四边形是平行四边形且=；

思路二：证明四边形的四条边相等；

思路三：证明⊥且四边形是平行四边形；

思路四：证明四边形的对角线⊥，且与互相平分

一图多用

本题的图形可以分解为三个基本图形：

在图6中，∠=90°，⊥，则∠=∠；

在图7中，平分∠，⊥，由角平分线的性质可得=；

在图8中，∠=∠+∠,∠=∠+∠，则∠=∠，由“等角对等边”得=

图6

图7

图8

综合上述三个基本图形的性质，学生很快发现证明菱形的方法在解题的过程中，把一个复杂的几何图形分解成几个不同的基本图形，有助于学生解题思路的形成，这是学生解决问题的关键

一题多变

1如图9,在△中，∠=90°,是高，平分∠，交于点，交于点，平分∠，交于点，交于，连接，四边形是菱形吗？请给予证明

图9

图10

2如图10,∠=90°,是高，平分∠，与相交于点，过点作∥，与相交于点，试证明=

本题不仅解法多样，而且包含多种基本图形，能衍变出很多“美妙”的题目，有助于学生理解知识间的相互关系，进而发展理性思维，提高解题能力

数学的内涵绝不是简单的一个公式、一个概念，其变化是具有内部复杂性的，因此注重其深层的变化过程是非常重要的数学教师在选择习题进行教学时，应注重将各层次、各阶段的知识点进行联系知识的整合是十分重要的一个环节，习题的整理同样如此，要使学生通过一道题目的复习，巩固更多方面的内容，从而有效提升学习效率

二、基于深度学习的习题教学“讲题”策略

在习题教学中引导学生开展深度学习，教师需要在讲题的过程中展示数学题目的本质，使学生认清本质，感悟思想，从而深度理解，即全面而系统地分析题目中的“源”与“流”

(一)深刻领会数学习题所内隐的基础知识

听过这样一句话：“教师讲的，貌似听懂，但转身就忘；学生讲的，虽不完美，但终生难忘”在习题讲解时，学生作为学习的主体，通过亲身经历，可以领会习题所内隐的基础知识

在二次函数图象与性质的复习中，浙教版教材第22页作业题1：已知二次函数=-2+4+6

(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标轴交点的坐标，并画出函数的大致图象

(2)自变量在什么范围内时，随的增大而增大？何时随的增大而减小？并求函数的最大值或最小值

教师要求学生由此题编出一道新题,说明所编的题涉及哪个知识点，并讲一讲解题方法

综合学生所编的题，有以下几类不同的出题视角

(1)与交点有关①取何值时，>0(<0)? ②满足怎样的条件时， -2+4+6=有实数根？

(2)与增减性有关①若-1≤≤3，求的取值范围②若-2≤≤6，求的取值范围③若(，)，(5，)是该抛物线上两个点，且<，求的取值范围

(3)与图象平移有关①如何平移抛物线，使它经过原点？②如何平移抛物线，使直线=-3经过抛物线顶点？③如果该抛物线不动，先把轴向左平移2个单位，再把轴向下平移4个单位，写出在新坐标系下抛物线的解析式

(4)与面积有关设抛物线与轴交于，两点，为直线上方的抛物线上一点，求△最大时，点的坐标

此案例中的习题教学以课本题目为母题，让学生自主编写新题，并讲解解题的基本思路、方法学生人人参与，教师点拨启发，师生及时归纳整理，学生在其过程中获取经验,强化能力

(二)善于提炼数学习题所蕴含的本质关系

有效的交流是深度学习的灵魂在习题教学时，教师创设良好的讨论氛围，设置规范的讨论用语，能帮助学生养成清楚说明自己的观点、理由的习惯，以此强化学生的沟通能力和批判性思维，从而提炼出习题所蕴含的本质关系

在一节复习课中，教师出示下题：

图11

点，，在格点图中的位置如图11所示，小正方形的边长为2，则点到线段所在直线的距离是________(用多种方法解答)

本题考查学生对勾股定理、点到直线的距离等知识的掌握情况及运算能力从本题来看，利用正方形网格中直线间的位置关系与线段间的数量关系进行作图，能够帮助学生形成解题思路，进而提高学生的动手能力

在讲解环节，教师让学生阐述自己的解题思路(怎么想的)和方法(怎么做的)

思路一：基于,,三点构造△，点到线段所在直线的距离即为△中边上的高线长，可运用“面积法”共交流了6种方法

思路二：正方形网格具有数与形两重性质，既有线段的长度与角的度数之间的数量关系，又有直线之间的特殊位置关系，还有图形之间的相互关系，可运用“相似法”共交流了3种方法

思路三：联系点到直线的距离和垂线段最短的性质，以“解析法”为主线，用函数知识解决

课堂教学是培养学生“学会学习”的主战场，对于同一习题的不同解题思路的探究能够揭示问题中的数学本质，使学生能够从不同角度、不同深度反思所学的知识，进而达到良好的学习效果习题课教学不仅激发了学生的学习兴趣，还培养了学生在学习过程中的习惯，进而提高了学生的思维品质

(三)合理设置习题的问题链促进深度学习

问题链是深度学习的“牛鼻子”在习题教学时，教师可以事先设计好引导学生思维层层深入的问题链，帮助学生朝着明确的方向探索前行，从而提高学生的高阶思维能力

图12

下面是浙教版八年级上册“等腰三角形”新课授完成后，复习课中例题的讲解如图12，在Rt△中，∠=90°,点在斜边上若=，求证：∠=2∠

问题呈现后，教师直接让有解题思路的学生回答

个人认为在习题教学时，教师若能通过设置问题链加强分析引导，充分发挥该题在巩固新知、揭示方法、强化思维、发展能力等方面的功能，对于大部分学生来说更有指导意义

本次习题教学通过如下问题引导学生思考问题，让学生在思考的过程中掌握解题方法

问题1 本题主要涉及哪些知识点？

学生回答：主要有直角三角形与等腰三角形

问题2 由直角三角形你能想到什么？由等腰三角形呢？

学生回答：由直角三角形想到互余(证全等时经常用)，由等腰三角形想到两腰相等(定义)、两底角相等和等腰三角形三线合一(性质)

问题3 本题要解决什么样的问题？

学生回答：证明∠=2∠

问题4 你有哪些经验？

学生回答：角平分线的意义，顶角的补角刚好是底角的2倍

问题5 结合条件，本题适合用哪个知识点来解决？

学生讨论

运用知识点“角平分线的意义”分析与解决问题

思路一：把∠平分，证明其一半与∠相等(学生讲解本思路下的一种证法如图13)

思路二：构造∠的两倍角(学生讲解本思路下的一种证法如图14)

图13

图14

运用知识点“等腰三角形顶角的补角等于底角的2倍”分析与解决问题

思路一：利用∠的补角构造等腰三角形(学生讲解本思路下的一种证法如图15)

思路二：以∠为底角构造等腰三角形(学生讲解本思路下两种不同辅助线的添加方法及相应的证明过程如图16，图17)

图15

图16

图17

问题6 谈谈你的解题收获

教师根据学生的回答提炼出四大收获：(1)审题应从条件出发，展开联想，分析相关知识点的隐含信息，为解题创造条件(2)分析应从问题开始，追本溯源，梳理与问题有关的知识点，为解题找准方向(3)转化应从思维受阻的地方寻求突破口，调整解题策略，探寻解题通法(4)证明角的二倍关系主要利用“角平分线的意义”和“等腰三角形顶角的补角等于底角的2倍”，把倍角转化为等角进行解答

在习题讲解时，合理设置问题链，能充分发挥习题在巩固知识、构建问题、揭示方法、发展思维能力等方面的功能，有利于促进学生深度学习

三、基于深度学习的习题教学“反思”策略

波利亚在《怎样解题》中特别强调要重视解后回顾的环节对应到习题教学，教师也应该十分重视解题后回顾反思的教学环节

(一)学生从“学”的角度反思

解题后，在教师的层层设问下，学生能够把规律化、本质化的内容进行总结与反思，由“怎样解”到“为什么这样解”层层深入这样不仅能让习题教学的“成果扩大”，而且能向学生传递和分享解题习惯

(二)教师从“教”的角度反思

解题后，教师除了要合理引导学生归纳总结之外，还要从更高的角度引导学生思考：解答了这道习题之后收获了怎样的解题经验？根据这些经验能不能解决类似的问题？能不能找到这类问题的根本属性？这道题还可以以怎样的样式出现？旨在使学生摆脱习题的束缚，更有效地学习，进而提高解决数学问题的能力

一直以来，教师都十分清楚数学思想在数学学习中的重要作用，与基础知识与技能相比，数学思想不易被学生理解和接受在习题教学中，若教师直接点明习题中的数学思想，则学生通常没有感觉，不能在问题解决的过程中慢慢地积累经验，感触思想因此，数学思想的教学需要教师为学生创造适合的载体和空间，搭建适合学生展示的平台，真实地留下学生学习数学思想的足迹

总之，在建构深度学习的道路上，“教”是最大诱因，需综合考虑，尤其要重视习题教学中学生主体作用的发挥习题教学要注意以下方面：引导学生自己分解问题，联想知识结构，寻找问题突破口，选择合理的解题方法；引导学生从不同的角度出发，分析和思考问题，通过一题多解，培养学生的发散性思维，如类比思想、逆向思维等，切忌逻辑不通，思维混乱；引导学生对同一知识点的题型及解题方法进行归纳；引导学生归纳特殊问题的一般化处理方法努力实现深度学习在习题教学中真实发生的目的