准静态工况下斜齿轮裂纹扩展特性与寿命研究

屈 阳， 刘明勇， 邓恩喜， 胡成龙

(湖北工业大学农机工程研究设计院， 湖北 武汉 430068)

齿轮轮齿折断在失效形式中所占比例最高[1]。受齿轮加工制造工艺、工作环境以及保养维护等因素影响，齿轮工作一段时间后轮齿会产生裂纹，而裂纹会随着齿轮的运转时间推移而逐步扩展，最终轮齿发生断齿。

Zouari[2]等以齿根最大弯曲应力作为载荷，研究了齿根裂纹萌生和扩展。李有堂[3]通过改变裂纹初始角度，分析了裂纹的扩展规律。王曦等[4]建立含初始裂纹的齿轮动态耦合模型，模拟变载荷下齿根裂纹的扩展轨迹。吴金亮[5]通过斜齿轮接触节点施加固定载荷，讨论了齿根裂纹前缘的应力强度因子以及裂纹扩展寿命。王延忠[6]研究了面齿轮三维裂纹的扩展特性以及疲劳寿命，分析了载荷、粗糙度等因素对裂纹寿命的影响。徐德涛等[7]基于有限元方法研究了直齿轮齿根初始裂纹尺寸、方向以及位置对裂纹扩展路径的影响。赵国平等[8]以齿轮材料内部微观晶体的大小作为表面初始裂纹萌生的尺寸，分析了齿轮接触区疲劳裂纹萌生及扩展过程全寿命。李刚[9]应用线弹性断裂力学理论，研究斜齿轮静态工况下载荷大小等因素对齿根裂纹扩展轨迹及寿命的影响。高云[10]应用齿根弯曲应力30°切线法确定裂纹萌生位置，模拟了斜齿轮齿根裂纹扩展特性，并预测了裂纹扩展寿命。刘东一[11]研究了萌生于靠近轮齿端面齿根处的裂纹扩展机理。刘怀举等[12]通过Python脚本建立齿面裂纹扩展有限元模型，研究了初始裂纹角度对裂纹扩展寿命和疲劳寿命的影响。大多数学者侧重于研究齿轮二维裂纹，少数学者更关注研究斜齿轮齿根三维裂纹，但基本采用齿根弯曲应力30°切线法确定裂纹萌生位置和初始裂纹角度，以齿顶加载以及静态工况的方式模拟齿轮实际工况下裂纹的扩展。

本文通过准静态工况下齿轮接触分析，确定裂纹萌生位置以及初始裂纹角度，建立含初始裂纹的斜齿轮接触模型，模拟准静态工况下齿轮啮合过程中齿根三维裂纹的扩展轨迹，分析了裂纹扩展特性，预测裂纹扩展寿命，并研究载荷，裂纹形状等因素对齿根初始裂纹应力强度因子分布的影响。

1 含初始裂纹的斜齿轮接触模型建立

1.1 斜齿轮接触分析

应用如表1所示的几何参数建立斜齿轮三维模型。 为了减小计算量，截取大小齿轮的6个齿进行接触分析；网格单元选用6面体C38R进行网格划分,对轮齿接触面以及齿根位置做网格加密处理。现对从动轮中心5个自由度约束，释放仅在施加z轴旋转的自由度，施加转速0.5 r/s;对主动轮中心同样约束5个自由度，仅在主动轮中心点施加沿z轴旋转转矩1000 N·m，建立斜齿轮接触弹性模型，不考虑齿面摩擦和温升等因素(图1)。

表1 斜齿轮几何模型基本参数

图1 斜齿轮约束及载荷施加方式

1.2 裂纹萌生位置的确定

以主动轮2齿为研究对象。由图2可知，最大主应力值集中分布在齿根中间部分，将主动轮沿x-y平面由齿宽中部切开(图3a)，提取啮合过程中齿根中间部分9个节点。图3b展示了最大主应力随时间变化的曲线。结果表明：最大主应力值的位置出现在节点66430，故将此节点作为齿根裂纹萌生的起始位置。

图2 主动轮齿根应力分布云图

图3 齿根应力-时间变化曲线

建立含初始半椭圆裂纹的主动轮接触模型(图4)。其中：齿根初始裂纹b、a分别代表裂纹深度(短轴半径)和长轴半径；第1、2和3点分别代表了半椭圆裂纹前缘的左、中、右3个端点[15]。

图5中：AB表示初始裂纹，A为节点66 430。提取节点最大主应力方向，基于最大周向应力理论[1]可知：节点最大应力的角度即为初始裂纹角度θ=63.7°。

图4 主动轮模型 图 5 初始裂纹参数表达

齿轮啮合过程中，由于轮齿间的接触压力大于微观晶粒内部发生塑性变形的极限应力，周而复始的晶粒塑性变形将最终导致疲劳裂纹的萌生，可将晶粒的大小近似视为初始裂纹尺寸[8]；故设置初始裂纹a=0.4 mm，b=0.2 mm，初始裂纹角度为63.7°，建立含初始裂纹的斜齿轮接触模型，其他参数均不改变。

2 裂纹扩展轨迹以及扩展寿命分析

2.1 裂纹扩展轨迹

以初始裂纹a=0.4 mm，b=0.2 mm作为研究对象，主动轮中心施加扭矩1000 N·m，从动轮中心施加转速0.5 r/s；将最大周向正应力理论作为裂纹开裂判断依据[1]，模拟准静态工况下齿根裂纹扩展轨迹并进行分析；裂纹扩展总共经历了30步，其扩展轨迹如图6所示。

图6 齿根裂纹扩展轨迹

由图6可得，从初始裂纹扩展到第15步阶段，裂纹在齿根表面始终沿着齿宽方向水平扩展；当裂纹扩展到第20步时，可明显观察到沿齿宽方向裂纹扩展轨迹发生了改变，出现沿齿顶方向的扩展趋势。由于裂纹扩展过程中KⅡ(Ⅱ型应力强度因子)、KⅢ(Ⅲ型应力强度因子)的值发生改变，导致裂纹扩展方向发生了变化；第20步后裂纹继续扩展，直至裂纹扩展结束。由第30步扩展轨迹可知：此时沿齿宽方向扩展的裂纹长度要大于沿齿厚方向扩展的裂纹长度，即裂纹扩展过程中齿宽方向的扩展速率大于齿厚方向，故KⅠ曲线表现为中间小两端大的分布规律。

图7a展示了齿根裂纹扩展轨迹的仿真结果，图7b[13]为北京建筑大学祝赫锴模拟齿轮啮合过程中齿根裂纹扩展轨迹的实验结果[14]。当裂纹沿齿宽方向扩展结束后，沿着齿厚方向朝着另一侧齿根方向继续扩展，最终将发生断齿行为；裂纹扩展轨迹的仿真结果与北京建筑大学祝赫锴的齿轮试验件疲劳试件裂纹路径相近[14]，验证了上述仿真结果的正确性。

图7 仿真和实验结果对比

2.2 裂纹扩展寿命预测

图8展示了齿根裂纹扩展过程中KⅠmax(应力强度因子最大值)的变化趋势。在裂纹扩展过程中，随着扩展步数不断增加，KⅠmax值也随之增加，呈现先慢后快的增加趋势；当扩展步数达到25步之后，Ⅰ型应力强度因子最大值超过应力强度因子极限值KIC=2730 N·mm-3/2后，裂纹随即达到失稳扩展阶段。此时，由式(2)可得，失稳扩展阶段裂纹的扩展长度为18.14 mm。

图8 Ⅰ型应力强度因子最大值变化曲线

齿轮材料为42CrMo，材料常数C=1.20×10-8，m=2.0，不考虑表面粗糙度、残余应力和轮齿修形量等因素对裂纹扩展寿命的影响。通常疲劳裂纹的扩展由裂纹萌生、裂纹稳定扩展和裂纹失稳扩展这3个阶段组成。当裂纹处于失稳扩展阶段时，齿轮即将产生轮齿断裂行为[13]。

通常基于经典的Paris公式来计算齿根裂纹的扩展寿命：

(1)

式中:a为裂纹长度；C，m为材料常数；ΔK为应力强度因子应力幅度，ΔK=Kmax-Kmin;N为载荷循环次数。

图9为式(2)计算的裂纹扩展寿命变化曲线。可见：在齿根裂纹初始扩展阶段，裂纹扩展速率较低；当沿齿宽方向的裂纹扩展达到2.4 mm左右，裂纹扩展速率逐渐加快，与理论裂纹扩展速率曲线[12]相符合。通过计算可知，当裂纹扩展达到18.14 mm，此时KⅠmax值已经超过断裂韧性极限值KIC，随即进入裂纹失稳扩展阶段，齿轮将发生断齿。由于失稳阶段的扩展速率很高，时间极短，所以此阶段的寿命可忽略不计，故只计算稳定扩展阶段的寿命，即预测齿根裂纹扩展的循环寿命约为2.6×106次。

图9 裂纹扩展寿命曲线

图10a的横坐标轴采用归一化裂纹前缘长度描述裂纹因子所在的位置，即半椭圆裂纹前缘节点到起始点的弧长与整个弧长的比值[15]。图10a为初始裂纹、第15步以及第25步裂纹的KⅠ变化曲线，图10b为裂纹扩展过程中裂纹前缘3点的KⅠ值。

(a)裂纹前缘KⅠ分布曲线

(b)第1、2和3点图10 裂纹扩展过程KⅠ应力强度因子变化曲线

如图10b所示，裂纹扩展过程中，初始裂纹、第15步以及第25步的裂纹第1、3点KⅠ值均高于第2点值，故图10a中KⅠ值曲线表现中间小两端大的分布规律。综上所述，裂纹扩展过程中裂纹前缘两端KⅠ值远大于中点值，故沿齿宽方向的扩展速率大于沿齿厚方向的扩展速率，因此KⅠ曲线呈现中间小两端大的变化趋势。

3 齿根裂纹前缘应力强度因子分析

观察裂纹扩展轨迹可知：齿根裂纹扩展过程中主要是以张开型为主导的复合型裂纹，故本文只针对Ⅰ裂纹应力强度因子的变化进行研究。

为了方便计算，将计算KⅠ(Ⅰ型裂纹应力强度因子)的公式[1简化为

(2)

式中：σ为外加的名义应力，MPa；a为裂纹尺寸，mm。

3.1 载荷大小

为了研究载荷大小对初始裂纹Ⅰ型应力强度因子的影响，从动轮转速始终保持不变，主动轮中心施加不同转矩(即800、1000、1200、1500 N ·m)，其变化曲线如图11所示。

图11 不同载荷下初始裂纹前缘KⅠ分布曲线

由图11a可知：载荷与KⅠ之间呈现近似正比的线性关系，即随着载荷的增大，KⅠ值随之增加；随着扭矩的不断加大，KⅠ抛物线形式的曲线由平缓变得越来越陡峭。如图11b所示：第1、2和3点的KⅠ值随载荷的增加而增加，当扭矩小于1500 N ·m时，第3点的应力强度因子略大于第1点，说明第3点的扩展速率大于第1点；当扭矩高于1500 N ·m，第1点的扩展速率大于第3点的扩展速率。第1和3点的KⅠ值趋于相同，远大于第2点的KⅠ值，故不同载荷的KⅠ曲线仍保持两端大中间小的分布规律。

3.2 初始裂纹角度

齿根裂纹初始角度为90°时，KⅠ值最大[3]，而文献[5]、[7]分别研究了齿根裂纹初始角度为45°、60°裂纹的扩展特性。为了研究齿根初始裂纹不同扩展方向对Ⅰ型应力强度因子的影响，主动轮施加扭矩1000 N·m，分别选取初始裂纹角度为45°、60°、90°进行分析，其变化曲线如图12所示。

图12 不同初始裂纹角度下KⅠ的变化曲线

由图12可得:初始裂纹角度为90°(即沿水平方向扩展)时，KⅠ值最大；随着初始裂纹角度增大，KⅠ值随之增加，此变化规律与文献[3]相同；初始裂纹角度的变化不会影响裂纹沿齿宽方向以及齿厚方向的扩展速率，应力强度因子曲线仍保持两端小中间大的分布规律。

当初始裂纹角度为60°和63.7°时，两者的KⅠ变化曲线基本重合，说明以齿根最大主应力提取的裂纹萌生位置，与齿根弯曲应力30°切线法确定的初始裂纹萌生位置趋于相同，验证了初始裂纹角度为63.7°的正确性。

3.3 裂纹形状

主动轮扭矩保持1000 N·m不变，保持初始裂纹a=0.4 mm固定不变，分别取b=0.2、0.3、0.4、0.5、0.6 mm，研究不同形状的半椭圆裂纹对初始裂纹前缘KⅠ的变化规律(图13)。

(a)裂纹前缘

(b)第1、2和3点图13 不同长轴半径b时初始裂纹前缘KⅠ分布曲线

由图13b可得:同一载荷下，随着长半轴b的增大，裂纹的第1、3点的值缓慢减小，而第2点的值却持续变大，说明裂纹长半轴b与裂纹前缘尖端的KⅠ值成正比关系，而与裂纹两端的KⅠ值成反比关系。当长半轴b为0.6 mm时，第2点的KⅠ值略大于第1和3点的值，因此图13a的曲线趋势发生了变化，由两端大中间小的分布规律变化为两端小中间大的分布规律，即裂纹沿齿厚方向的扩展速率大于沿齿宽方向的扩展速率。

4 结论

1)通过齿轮接触分析提取齿根最大应力节点位置，确定了裂纹萌生位置以及初始裂纹角度。

2)研究初始齿根裂纹的扩展轨迹可知：初始裂纹沿齿宽方向扩展到一定长度时，扩展方向发生改变，即沿着齿顶方向继续扩展，直到裂纹达到失稳扩展阶段；由此可预测齿轮材料为42CrMo，工况为1000 N·m下，裂纹扩展的循坏寿命约为2.6×106次。

3)观察裂纹扩展轨迹可知：齿根裂纹从其扩展过程看主要是以张开型为主导的复合型裂纹；KⅠ曲线表现为两端大中间小的变化规律，说明沿齿宽方向的裂纹扩展速率大于沿齿厚方向的速率。

4)载荷与KⅠ值呈现近似正比的线性的关系，即载荷越大KⅠ值越大；KⅠ值随着裂纹初始角度的增加而增加，但不会影响裂纹扩展速率的变化规律；当裂纹深度a固定，裂纹宽度b与裂纹前缘尖端的KⅠ值成正比关系，与裂纹两端的KⅠ值成反比关系，即裂纹前缘尖端KⅠ值随着的b增加而增加，裂纹两端的KⅠ值随着的b增加而减小，因此裂纹尖端扩展速率发生变化，故KⅠ曲线逐渐呈中间大两端小的变化趋势。