蜂窝网络用户上行覆盖率的数值计算方法

夏洪星

(南通师范高等专科学校，江苏 南通 226010)

0 引言

将大规模蜂窝网络中基站和用户的空间位置用二维随机点过程建模，再利用随机几何工具分析系统的通信性能已成为一种重要的研究手段[1]。最早的相关工作是由GILBERT E N[2]提出用随机几何来评估随机网络的连通性，但关键数学框架是最近十几年才逐步形成[3]，主要研究的是下行传输的信噪比(Signal to Interference and Noise Ratio， SINR)以及覆盖率(Coverage Probability， CP)。相较于下行，上行分析的情形要复杂得多，原因是要考虑移动用户的功率控制策略，难以获得CP的简洁形式。Novlan等[4]对上行覆盖率(Uplink CP)进行了分析，并获得了积分形式的结果。Guruacharya等[5]对下行覆盖率的近似计算进行了探讨，其结果可以应用于较简单的二重积分的近似，而对具有三到四重积分形式的上行覆盖率公式却不适用。

考虑到移动用户上行覆盖率计算式没有闭合形式，本文采取数值积分进行上行覆盖率的计算。由于积分上限为无穷大且复杂的被积函数在某些情况下无法确保收敛性[5]，直接使用Matlab(Octave)的数值积分函数会导致超时或失败。为此，本文提出首先研究被积函数的性质，然后确定一个有效积分区间，从而将无穷积分转化成有限积分，快速得到较高精度的积分值。本文提出的方法不仅可用于上行覆盖率的计算，还可以用于其他较复杂概率型公式的计算，对于无线通信领域的工程计算以及科学研究都具有一定参考价值。

1 问题描述

假设用户位置服从密度为λ的均匀泊松分布，用户和基站之间采用最近关联原则，每个资源块在一个蜂窝内只分配给一个用户，则基站可认为在用户所在的泰森多边形内服从均匀分布。移动用户的基础发射功率为μ-1，接收端噪声功率为σ2，路径损耗指数为α。考虑到蜂窝边缘用户的公平性，采用基于距离的分数功率控制策略，功率控制因子为∈[0,1]。则对于SINR阈值为T的上行链路，其上行覆盖率计算式为[6]：

pc(T，λ，α，)

(1)

其中，LIz(s)为其他用户干扰功率的拉普拉斯变换，不考虑目标用户和干扰用户位置的相关性(可作为实际情况的近似)，其表达式为：

LIz(μTrα(1-))

(2)

因为式(1)和式(2)都是无穷上限的反常积分，直接使用Matlab等工具对其进行数值积分时，会出现积分时间长且报告迭代步长超长的问题。其原因可以从Guruacharya等[5]分析中看到，对不同的路径损耗指数α，通过级数展开得到的余式不收敛，存在奇点。应当指出，奇点存在是由于多个函数复合时导致，应去掉部分积分区间以获得收敛的结果。本文提出的办法是选取合适的积分区间，将反常积分转化成正常积分。

2 积分区间选取

对于覆盖率积分，被积函数往往是概率密度函数，其值域在(0，1)上。大部分概率密度函数的变量只在有限区间内有意义，如均值μ=0，方差σ2=1的正态分布，随机变量概率不为0的区间在(-5σ2,5σ2)内。在已知被积函数中部分概率分布的情况下，可以采用方差的20～40倍来代替无穷大作为积分上限，从而解决积分难以收敛的问题。但这种方式是经验法，存在扩大或者缩小积分区间的风险。因此，本文提出对每一层积分的被积函数进行分析，通过图像法找出被积函数有意义的定义区间，进而确定积分上限的取值。这样既可以节省计算时间，也能获得较高的精确度。

对第2节提出的问题，把式(1)和式(2)合并起来并做适当简化，得到式(3)：

pc(T，λ，α，)

(3)

其中：

(4)

给定一组参数T=10dB，λ=0.25,α=4,=1,这时积分值与r无关，可以画出积分I1(x)随x变化的曲线，以得到第二重积分的上限，如图1所示。发现当x≥20时积分值基本不再变化，因此可以取20为第二重积分的上限。

图1 积分I1随x变化的曲线

接下来考察最外层积分的上限。由于I1>0，式(3)中被积函数的后半部分是小于1 的有限值，对积分上限的影响不大。因此，主要考虑前面部分函数的性质，即表达式(5)。

h(r)=re-πλr2-μTrα(1-)σ2

(5)

不失一般性，假设噪声功率可以忽略(σ2=0)，其余参数和前面一致，画出h(r)图像，如图2所示。可以发现，当r≥10时，函数的值可以忽略不计，因此可以取最外层积分的上限为10。

图2 被积函数h(r)随r变化的曲线

经以上分析，最终得到的积分表达式为式(6)，将反常积分近似表达为有限定积分形式，将在第4节验证这一近似计算的准确度。值得指出的是，本节得出的积分限和公式中所设定的参数有关。如果要计算不同参数组合下的积分，需要重新设定，其中较重要的参数包括路径损耗指数α和用户密度λ。

pc(T，λ，α，)

(6)

3 数值结果

首先验证本数值积分方法的准确度。虽然式(1)对一般的系统参数没有闭合形式，但对于参数组合α=4,μ=1,=1却有如下闭合表达式[6]：

(7)

此外，为了进一步确认计算结果的准确度，采用蒙特卡洛仿真得到了覆盖率。仿真窗口是一个2 000 m×2 000 m的矩形，通过3 000次的网络实现统计覆盖次数来计算覆盖率。如图3 所示，比较了本文所提出的数值积分方法和解析法、仿真法所得到的覆盖率随着SINR门限变化的曲线。结果显示，数值积分和解析法得到的结果差异可以忽略，而仿真的结果也和前两种结果基本吻合，这充分验证了所提出计算方法的准确度。

图3 数值积分、解析和仿真计算覆盖率比较

其次，如图4和图5所示，比较了本文提出的有限积分方法和无穷上限积分方法的计算时间，仿真使用的计算机配置为Intel(R)Core i5-10210U CPU，8G内存。采用Matlab®(Octave)数值积分函数integral均可进行无穷限的数值积分，但缺点是耗时较长。如图4所示，比较了用户密度λ=0.25/m2时，两种积分方法对不同SIR门限值的计算时间，发现采用有限积分方法的计算时间均控制在10 s左右，但是采用无穷限积分则在20 s左右，耗时约增加一倍。当用户密度减小时，如λ=1×10-6/m2，如图5所示，无穷上限积分耗时最多是有限积分的7倍。这充分说明本方法计算效率较高，同时保证了一定的准确度。

图4 有限数值积分和无穷数值积分计算时间比较，用户密度为0.25/m2

图5 有限数值积分和无穷数值积分计算时间比较，用户密度为1×10-6/m2

另外需要强调的是，一些更加复杂的多重积分，比如上行覆盖率计算公式[7]，均无法在有限时间内获得满意的积分结果。这时不得不采用本文提出的有限积分来进行近似计算，达到计算效率和准确度的均衡。本文所有代码均可在笔者的Github仓库中获取[8]。

4 结语

针对蜂窝网络用户上行覆盖率没有闭合表达式的问题，本文提出一种数值积分方法将原表达式中的无穷上限积分转化成有限积分，在保证一定准确度的前提下极大地提高了计算速度，为快速评估蜂窝网络的上行通信性能提供了一种新选择。本文提出的方法也适合于工程应用中其他概率类函数的积分。