空间分数阶Allen-Cahn方程的高效算子分裂格式

刘佳奇， 蔡耀雄， 翟术英

(华侨大学 数学科学学院， 福建 泉州 362021)

Allen-Cahn方程是一类非齐次半线性泊松方程[1]，是材料科学中描述相位变迁和样品形成的重要方程.在研究图像修复[2]、晶体生长[3]等问题时，Allen-Cahn方程发挥着至关重要的作用.

考虑分数阶Allen-Cahn方程，即

(1)

分数阶Allen-Cahn方程可以看作是Lyapunov能量泛函的L2梯度流[1]，即

(2)

E(u)对时间t求导，可得

(3)

由式(3)可知，能量泛函E(u)随时间的推移而逐渐减小.

近年来，由于分数阶Allen-Cahn方程在实际问题中应用较多，故引起了许多学者研究的兴趣.Chen等[4]提出求解空间分数阶Allen-Cahn方程的指数时间差分格式，并证明该格式满足极大值原理.文献[5-6]使用降阶有限元方法求解空间分数阶Allen-Cahn方程.吴龙渊等[7]提出二阶和四阶两种交替方向隐(ADI)格式，并用傅里叶分析法验证两种格式是能量稳定的，且满足极大值原理.Zhai等[8]给出一种线性化高阶紧致差分方法，并运用ADI格式减少运算量.Chen等[9]在时间上用修正的Crank-Nicolson格式，空间上用Legendre谱方法建立了一种全离散格式，并严格证明了全离散格式的稳定性和收敛性.Khalid等[10]重新定义三次b样条插值函数，并用其求解时间分数阶Allen-Cahn方程.此外，重心插值配点法[11]、有限体积法[12]、有限元[13-14]等方法均可用于求解时间分数阶Allen-Cahn方程.

文献[15-16]利用算子分裂方法求解二维Allen-Cahn方程.此方法基于模型各部分的性质构造相应的求解策略，快速有效且便于实施，广泛应用于数值求解各种复杂模型[17].本文结合算子分裂方法和生成函数有限差分方法，构造求解空间分数阶Allen-Cahn方程的高效算子分裂格式.

1 空间分数阶Allen-Cahn方程的求解

1.1 预备知识

引理1[18]对分数阶Laplace算子(-Δ)α/2构造离散形式，即

(4)

根据引理1，有以下2个结论.

1) 若u∈Wγ+α，1(Rd)，则有

(5)

2) 若u∈Wδ+α，1(Rd)，则有

(6)

由引理1知，在一维情况下，分数阶Laplace算子离散形式为

(7)

式(7)中:

(8)

通过快速傅里叶(FFT)变换算法可以得到系数序列，即

(9)

由式(7)可建立(-Δ)α/2u的离散格式，即

(10)

1.2 算子分裂法求解分数阶Allen-Cahn方程

(11)

SB：ut=(-Δ)α/2u.

(12)

(13)

非线性方程问题SA可利用解析形式求解，即

(14)

对于分数阶热传导方程问题SB，用Crank-Nicolson格式进行离散.有

(15)

整理可得

(16)

将式(16)改写为矩阵形式，即

(17)

结合式(13)～(17)，可得出求解问题(1)的差分格式，即

(18)

2 稳定性分析和误差估计

定理1对任意的空间步长h和时间步长τ，差分格式(17)是无条件能量稳定的.

证明:由式(18)中第1个等式，可得

证明:由式(18)中第2个等式，可得

由定理1可知第2个不等号成立.证明完毕.

证明:由引理2，3，可得

T为最终的时间.证明完毕.

定义映射Fh:HD→Πh，有Fh(u)=U，其中，HD={u∈H|u(a)=0，u(b)=0}.

证明:由式(5)和Crank-Nicolson格式可知，不等式成立.证明完毕.

由引理3，可得

再次应用引理2，4，有

综上，可得

3 数值算例

3.1 算例1

空间收敛阶的验证.将时间剖分固定为M=5 000，取ε=0.1，T=2，计算α=1.3，1.5，1.8时的数值结果.空间收敛阶，如表1所示.表1中：η为收敛阶.由表1可知:随着网格剖分变细，Err2与Err∞变得越来越小，在空间上可达到二阶精度；随着α的增加，Err2与Err∞也变得越来越小.

表1 空间收敛阶

时间收敛阶的验证.将空间剖分固定为N=1 000，取ε=0.1，T=2，计算α=1.3，1.5，1.8时的数值结果.时间收敛阶，如表2所示.由表2可知：随着网格剖分变细，Err2与Err∞变得越来越小，在时间上也可达到二阶精度.

表2 时间收敛阶

3.2 算例2

现将能量函数E(u)进行离散，可得

考虑初值问题

取Dirichlet边界条件，参数为ε=0.1，T=40，N=1 600，M=105，得到α为1.3，1.5，1.8的数值解和能量变化图像，分别如图1～6所示.

图1 算例2的数值解图像(α=1.3) 图2 算例2的能量变化图像(α=1.3)

图3 算例2的数值解图像(α=1.5) 图4 算例2的能量变化图像(α=1.5)

图5 算例2的数值解图像(α=1.8) 图6 算例2的能量变化图像(α=1.8)

由图1～6可知:能量函数E(t)随着时间t的增加而减小，即能量泛函E(t)满足能量递减；α越大，分数阶Allen-Cahn方程的能量衰减越快.由此验证了此算法的有效性.

4 结束语

提出了求解分数阶Allen-Cahn方程的生成函数法.首先，利用算子分裂法将原方程分解为非线性问题和分数阶热传导问题，非线性问题可求出精确解，分数阶热传导问题则利用生成函数法结合Crank-Nicolson格式建立二阶差分格式求解；其次，给出了稳定性和收敛性分析；最后，通过两组数值算例验证了差分格式的有效性.