“两图”相辉映 “四招”定乾坤

215616 江苏省张家港市妙桥中学 陈 冬

中考数学卷里常常会出现这样一类题，几何图形和函数图形同时出现在一道题里，相得益彰.笔者撷取此类以选择题或填空题形式出现的题，具体剖析其难点、关键点及破解方法.

一、 由几何图形的特征来确定函数图像的特性

例1(2021内蒙古通辽中考) 如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，联结PQ.设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图像大致是( )

评析：本例考查了由两动点所引发的PQ2的不同计算方式，由此得出PQ2即y随x变化的不同函数关系式，于是可画出不同的函数图像.解这道题的关键是牢牢抓住点P只可能在矩形ABCD的两条边AB，BC上运动，点Q只可能在矩形ABCD的两条边AD，DC上运动.由于矩形ABCD中AB=DC=4，AD=BC=3，而动点P，Q都同时从点A出发，点P的运动路径为A→B→C，点Q的运动路径为A→D→C，又点P，Q的运动速度相同.为此，必须从三个角度来分析出点P，Q的准确位置，即0≤x≤3时，如图1，点P在边AB上，点Q在边AD上；3≤x≤4时，如图2，点P在边AB上，点Q在边DC上；4≤x≤7时，如图3，点P在边BC上，点Q在边DC上.由此根据勾股定理分别计算出PQ2即y关于x的函数表达式，然后根据函数表达式判断出相应的图像.

图2图3

解答：在Rt△APQ中，∠QAP=90°.当0≤x≤3时，AP=AQ=x(如图1所示),由勾股定理可得y=PQ2=AP2+AQ2=x2+x2=2x2；当3≤x≤4时，DQ=x-3，AP=x(如图2所示),过点Q作QE⊥AB于E，则AE=DQ=x-3，QE=EP=3，由勾股定理可得y=PQ2=QE2+EP2=32+32=18；当4≤x≤7时，CP=7-x，CQ=7-x(如图3所示),由勾股定理可得y=PQ2=CP2+CQ2=(7-x)2+(7-x)2=49-14x+x2+49-14x+x2=2x2-28x+98.

综上可知，0≤x≤3时，此函数为二次函数且开口向上；3≤x≤4时，此函数为常数函数；4≤x≤7时，此函数为二次函数且开口向上.所以本题应选C.

例2(2021山东聊城中考) 如图4，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD=5，CD=3，∠ABC=45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图像是( )

评析：本例同样考查了由两动点所引发的△APQ面积的不同计算方式，由此得出△APQ的面积y随x变化的不同函数关系式，依据不同函数关系式可画出不同的函数图像.从本例来看，解决问题的关键还是要牢牢抓住点P只在梯形ABCD的边AB上运动，点Q则可能在梯形ABCD的三条边AD，DC，CB上运动.为此，可依据点Q可能出现的位置分别从三个角度求△APQ的面积，于是便得出△APQ的面积y关于x的函数表达式，然后根据函数表达式即可判断出相应的图像.

综上可知，0≤x≤3时，此函数为二次函数且开口向上；3

图6图7

招式1：两道例题均为动点问题，涉及的几何图形一般为圆、四边形(如正方形、矩形、菱形、平行四边形、梯形等)、三角形(等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，动点往往沿着这些几何图形的边、对角线或某一条线运动，问题的关键在于动点可能会出现在多个位置上.因此，必须学会采用分类讨论思想，对于动点可能出现的所有情况画出相应的几何图形，找出对应的取值范围，利用几何图形的性质计算出不同的函数关系式，这样就可以自然地画出不同函数关系式所对应的函数图像了.

二、 由函数图像的特征来确定几何图形的特性

例3(2021甘肃定西中考) 如图8，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D(AD>BD).动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止.设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图像如图9所示，则AC的长为( )

A．3 B．6 C．8 D．9

图8图9

①+2×2得AD2+BD2+2AD×BD=13+2×6=25，∴(AD+BD)2=25，∴AD+BD=5(负值舍去) ③.

①-2×2得AD2+BD2-2AD×BD=13-2×6=1，∴(AD-BD)2=1，∴AD-BD=1(AD>BD，负值舍去) ④.

③+④解得AD=3，∴AC=2AD=6.因此,本题正确答案应为B.

例4(2021河南中考) 如图10，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA-PE=y，图11是点P运动时y随x变化的关系图像，则BC的长为( )

图10图11

A．4 B．5 C．6 D．7

评析：从本例中的图11来看，第一个关键点是当x=0时，y=1，其实结合图10来看，就是动点P在点B位置，此时PA-PE=y，即为BA-BE=1 ①.再看图11中的第二个关键点，图像显示是最高点，即此时PA-PE=y取得最大值为5，结合图10及三角形三边关系知，只有当动点P与中点E重合时，即PA-PE=AE=y=5.根据已知矩形ABCD易知∠B=90°，由勾股定理得AB2+BE2=AE2=25 ②.将①②联立成一个二元二次方程组，解这个方程组可求出BE的值，由点E为BC的中点知BC=2BE，即可得出BC的长度.

解答：由图10和图11知当x=0时，即点P在点B的位置，BA-BE=1 ①.

在△PAE中，有PA-PE

由①得BA=BE+1 ③.

将③代入②得(BE+1)2+BE2=25,即BE2+BE-12=0，(BE+4)(BE-3)=0，BE+4=0或BE-3=0,BE=-4(舍去)或BE=3.∵点E为BC的中点，∴BC=2BE=2×3=6.

因此，本题正确答案应为C.

招式2：两例均有一幅几何图形(三角形、四边形等)和一幅由几何图形上点的运动而绘制出的函数图像.函数图像一般简单明了，但面对并不复杂的函数图像，学生往往不知所云，无从着手，问题的关键在于函数图像上的点和数据预示着什么.因此，必须学会读懂关键点和数据，将关键数据“放入”几何图形中去，利用某些几何图形(等腰三角形、直角三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形等)的性质研究和计算出边、角间存在的某些关系，有时再借助方程、方程组等可以更顺利地解决此类问题.

三、 两图相得益彰，“全局”来把控

例5(2021广西玉林中考) 如图12，在Rt△ABC中，∠A=90°，点P从点A出发，沿三角形的边以1厘米/秒的速度逆时针运动一周，如图13所示是点P运动时，线段AP的长度y(cm)随运动时间x(秒)变化的关系图像，则图13中点P的坐标是( )

图12图13

A．(13，4.5) B．(13，4.8)

C．(13，5) D.(13，5.5)

评析：观察图13的函数图像，可以发现其由三段组成.根据题意“点P从点A出发，沿三角形的边逆时针运动一周”知，点P的运动路径为A→B→C→A，即点P分别在线段AB，BC，CA上运动.将两图结合起来看，图13中的三段恰好对应图12中的三条线段AB，BC，AC，于是由题意和图13可得AB=8，BC=10.与此同时，从图13中点P的横坐标为13可知，点P正好为线段BC的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可求得此时线段AP的长度，即y的值，则图13中点P的坐标便可求得.

例6(2021山东菏泽中考) 如图14，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y=2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a，b间的函数关系图像如图15所示，那么矩形ABCD的面积为( )

招式3：这两道例题风格稍有不同，但有共同之处，其综合性均较强.尤其是例6对学生而言更具挑战性，如何画出与函数图像相对应的图形，是解决此类问题的关键所在和难点.因此，必须学会把握问题的整体与局部，看清几何图形中动点运动的整个路径和某些特殊位置，读懂函数图像所描述的动点运动轨迹及每个数据的真实内涵，真正理解几何图形和函数图像的相得益彰、相互阐述，用全面、准确的辩证唯物主义观点来思考问题、研究问题、解决问题.

四、 两图不离不弃，“最值”细思量

例7(2021湖南衡阳中考) 如图17，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P，Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O-A-D-O，点Q的运动路线为O-C-B-O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图像大致如图18所示，当点P在A-D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为________厘米．

解答：由图17和图18可知，当点P从O向A运动时，点Q从O向C运动时，y的值不断增大.

如图19，过点O作OF⊥BC于F，反向延长OF交AD于E，此时易得OE⊥AD.

当点P在A-D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C-B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的距离最短.

例8(2021湖北武汉中考) 如图20，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x=AD，y=AE+CD，y关于x的函数图像如图21所示，图像过点(0，2)，则图像最低点的横坐标是________．

评析：观察如图21所示的函数图像，根据题意y=AE+CD及图像经过点(0，2)，可知y=AB+AC=2，由AB=AC即可得出AB=AC=1.因为D，E两点运动速度的大小相等，可以通过构造△NBE≌△CAD(如图22所示)将线段CD移到线段NE处，则y=AE+CD变成y=AE+NE，由题意“图像最低点”，即y取得最小值知，只有A，E，N三点共线，然后可以利用构造△NBE∽△AFE(如图22所示)，求出图像最低点的横坐标x的值.

招式4：这两道例题以双动点为载体，嵌入“最值”，使问题的难度陡增，是典型的填空式压轴题.从这两例的解答来看，主要还是利用特殊四边形(如菱形等)、全等三角形和相似三角形等的性质，但问题的关键是如何找出这个“最值”.遇到这种情况，需要对“最值”作一梳理，线段的最值问题主要有定点到定点(联结线段，理由是两点之间线段最短)，定点到定线(作垂线段，理由是垂线段最短).解决这类几何最值问题的主要方法是转化，通过分析变化过程中的不变特征，利用几何变换、图形性质等手段对所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的基本结构，进而解决问题.