连接体问题的有效解决方法
——以近五年海南高考物理题为例

赵继辰

(北京教育学院数学与科学教育学院)

连接体问题是考查牛顿第二定律的一类典型问题,此物理情境有一个暗含条件,即相连接的两个物体的加速度相同.通常解法是采用整体法与隔离法,所谓整体法即将两个物体看成一个整体,不考虑两个物体之间的相互作用力,一般用于求解加速度;隔离法是选取两个物体中受力较少的物体进行分析,一般用于求解物体间的相互作用力.

例1(2019 年海南卷)如图1 所示,两物块P、Q置于水平地面上,其质量分别为m、2m,二者之间用水平轻绳连接.两物块与地面之间的动摩擦因数均为μ,重力加速度大小为g,现对Q施加一水平向右的拉力F,使两物块做匀加速直线运动,轻绳的张力大小为( ).

图1

解析首先采用整体法,将两物块P、Q看成一个整体,应用牛顿第二定律求解整体的加速度

然后采用隔离法,选取受力较少的物块P为研究对象,轻绳的张力

故选项D 正确.

点评此题和经典的连接体问题相比,增加了滑动摩擦力.从计算结果看,轻绳的张力与物块和地面之间的动摩擦因数μ无关,即滑动摩擦力的存在只改变了物块加速度的大小,并不改变两个物体之间相互作用力的大小.

例2(2021年海南卷)如图2所示,两物块P、Q用跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连,开始时P静止在水平桌面上.将一个水平向右的推力F作用在P上后,轻绳的张力变为原来的一半.已知P、Q两物块的质量分别为mP＝0.5kg,mQ＝0.2kg,P与桌面间的动摩擦因数μ＝0.5,重力加速度g取10 m·s－2.则推力F的大小为( ).

图2

A.4.0N B.3.0N

C.2.5N D.1.5N

点评此题和例1相比,区别是物块Q的运动方向变为竖直方向,必须考虑物块Q的重力.当推力F＞FfP－FT1＝μmPg－mQg＝0.5N 时,物块P、Q开始一起运动.当推力F＞FfP＋mPg＝7.5N时,绳子松弛,物块P、Q不再一起运动.

例3(2020年海南卷)如图3 所示,在倾角为θ的光滑斜面上,有两个物块P和Q,质量分别为m1和m2,用与斜面平行的轻质弹簧相连接,在沿斜面向上的恒力F作用下,两物块一起向上做匀加速直线运动,则( ).

图3

C.若只增大m2,两物块一起向上匀加速运动时,它们的间距变大

D.若只增大θ,两物块一起向上匀加速运动时,它们的间距变大

解析首先采用整体法,将两物块P、Q看成一个整体,应用牛顿第二定律求解整体的加速度,故选项A 错误.然后采用隔离法,选取受力较少的物块Q为研究对象,弹簧的弹力FT＝m2a＋m2gsinθ＝,故选项B 正确.若只增大m2,弹簧的弹力FT增大,由胡克定律可知弹簧的伸长量增大,即两物块的间距变大,故选项C 正确.从计算结果看,由于弹簧的弹力与斜面倾角θ无关,若只增大θ,弹簧的弹力不变,即两物块的间距不变,故选项D 错误.

点评此题和例1相比,区别是物块的运动方向变为沿斜面方向,必须考虑物块P和Q重力沿斜面向下的分力.从计算结果看,弹簧的弹力与斜面倾角θ无关,即重力沿斜面向下的分力的存在只改变了物块加速度的大小,并不改变两个物块之间弹簧弹力的大小.此外物块连接的方式由轻绳变为弹簧,轻绳的特点是绳长恒定而张力可以改变,弹簧的特点是弹力随伸长量的改变而改变.

例4(2017 年海南卷)如图4 所示,水平地面上有三个靠在一起的物块P、Q和R,质量分别为m、2m和3m,物块与地面间的动摩擦因数都为μ.用大小为F的水平外力推动物块P,记R和Q之间相互作用力与Q和P之间相互作用力大小之比为k.下列判断正确的是( ).

图4

解析首先用整体法,将三个物块P、Q和R看成一个整体,应用牛顿第二定律求解整体的加速度μg.然后采用隔离法,选取物块R为研究对象,R和Q之间相互作用力选取物块P为研究对象,Q和P之间的相互作用力依题意有,故选项D 正确.

点评此题和例1相比,区别是物块由两个增加到三个.从计算结果看,R和Q之间相互作用力与Q和P之间的相互作用力大小均与动摩擦因数μ无关,即无论μ是否为零,均有k＝3/5.

另外,当物块有三个或更多时,我们依旧可以将其抽象为两个“物块”,比如求解Q和P之间的相互作用力时,由于暂时不用求解R和Q之间的相互作用力,因此可以将物块R和Q视为一个“物块”,这样在采用隔离法时可选取受力较少的物块R和Q整体为研究对象,Q和P之间相互作用力

例5(2022年海南卷)如图5-甲所示,带正电3×10－5C的物块A放在水平桌面上,通过光滑的滑轮与B相连,A处在匀强电场中,E＝4×105N·C－1,从O点开始,A与桌面的动摩擦因数μ随x的变化如图5-乙所示,取O点电势能为零,A、B质量均为1kg,B离滑轮的距离足够长,则( ).

图5

A.它们运动的最大速度为1m·s－1

B.它们向左运动的最大位移为1m

C.当速度为0.6 m·s－1时,A的电势能可能是－2.4J

D.当速度为0.6 m·s－1时,绳子的拉力可能是9.2N

解析物体A所受的电场力F＝Eq＝12N,所受的滑动摩擦力Ff＝μmg,从μ-x图像中我们可以得到μ＝0.2x,即滑动摩擦力随物体位移的增大而增大,滑动摩擦力所做的功为μ-x图像与横坐标轴围成图形的面积与物体A所受重力的乘积,得摩擦力做功方程为Wf＝x2.

开始时,由于物体A所受的电场力F大于物体B所受重力mg,物体A向左运动,物体B向上运动.运动过程中物体A所受的滑动摩擦力Ff逐渐增大,当F＝mg＋Ff1时,物体A的运动速度达到最大值,此时Ff1＝2N,位移x1＝1 m.由动能定理得(F－,解得最大速度v1＝1 m·s－1,故选项A 正确.此后物体A向左做减速运动,当速度减为零时,滑动摩擦力转换为静摩擦力,物体A、B静止,此时有(F－mg)x2－Wf2＝0,解得物体A的最大位移x2＝2m,故选项B错误.

当物体的速度v3＝0.6m·s－1时,由动能定理得,解得位移x3＝0.2 m 或x3＝1.8m.由于电场力做正功,物体A的电势能E3＝－Fx3＝－2.4J或E3＝－21.6J,故选项C正确.由于物体A、B的加速度大小相等,因此FFf3－FT3＝FT3－mg,解得绳子的拉力FT3＝10.8N或FT3＝9.2N,故选项D 正确.

点评此题和例1相比,最大的特点是动摩擦因数随物体位置的变化而变化,进而使物体所受滑动摩擦力随物体的位移发生线性变化,因此求滑动摩擦力所做的功便是本题的难点,需要我们从速度—时间图像求位移的思路来理解μ-x图像,通过与横坐标轴围成图形的面积来计算变力所做的功.

通过对上述例题的分析,我们发现连接体类高考题主要有以下3个方面的衍化规律:1)运动方向不再是水平方向时,需要考虑物块重力或重力沿斜面向下的分力的影响;2)提供相互作用力的方式不再是轻绳时,需要考虑相互作用力的特点;3)物块的数量由两个变为多个时,需要根据求解的问题来合理划分研究对象.当然,只要掌握“整体法求加速度,隔离法求相互作用力”的基本技巧,便能顺利解决此类问题.

(完)