能量—位置图像浅析

刘永仓

(甘肃省甘谷第一中学)

功能关系历来是高考考查的重点,多以能量随位置的变化图像形式呈现,近几年在全国各地的高考题中屡次出现,掌握图像的特点是解决此类问题的关键.

1 动能随位置变化的图像

外力对物体所做的总功等于物体动能的增量,即F合Δx＝ΔEk,故,所以动能随位置x的变化图像的斜率表示物体受到的合外力.

例1(2021年湖北卷)如图1-甲所示,一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑,运动过程中摩擦力大小Ff恒定,物块动能Ek与运动路程s的关系如图1-乙所示.重力加速度大小取10m·s－2,物块质量m和所受摩擦力大小Ff分别为( ).

图1

A.m＝0.7kg,Ff＝0.5N

B.m＝0.7kg,Ff＝1.0N

C.m＝0.8kg,Ff＝0.5N

D.m＝0.8kg,Ff＝1.0N

解析0～10 m 内物块上滑,由动能定理得－mgsin30°·s－Ffs＝Ek－Ek0,整理得

结合0～10m 内的图像得,斜率的绝对值

10～20m 内物块下滑,由动能定理得

整理得Ek＝(mgsin30°－Ff)s－(mgsin30°－Ff)s1.结合10～20 m 内的图像得,斜率k′＝mgsin30°－Ff＝3N,联立解得Ff＝0.5N,m＝0.7kg,故选项A 正确.

点评确定动能Ek与运动路程s的关系图像的物理意义是解决本题的关键.由图像特点及数学表达式,得到上升过程斜率的大小为mgsin30°＋Ff,下降过程斜率的大小为mgsin30°－Ff.解方程组即可得到物块质量m和所受摩擦力Ff的大小.

2 重力势能随位置变化的图像

设重力与位移方向的夹角为θ,重力对物体所做的功等于物体重力势能的变化量的负值,即mgΔxcosθ＝－ΔEp,故所以重力势能随位置x的变化图像的斜率表示重力沿运动方向的分力.

例2(2020 年全国Ⅰ卷)一物块在高3.0 m、长5.0m 的斜面的顶端从静止开始沿斜面下滑,其重力势能和动能随下滑距离s的变化分别如图2中直线Ⅰ、Ⅱ所示,重力加速度g取10 m·s－2.则( ).

图2

A.物块下滑过程中机械能不守恒

B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5

C.物块下滑时加速度的大小为6.0m·s－2

D.当物块下滑2.0m 时机械能损失了12J

解析下滑过程中,动能和重力势能之和在减小,机械能不守恒,选项A 正确;

设斜面的倾角为θ,下滑过程中重力势能的变化量ΔEp＝－mgsinθΔs,动能的变化量结合图像的斜率,mgsinθ－,又因为sinθ＝0.6,cosθ＝0.8,解得μ＝0.5,选项B正确;

物块下滑满足mgsinθ－μmgcosθ＝ma,解得a＝2m·s－2,选项C错误;

下滑2m 时,物体克服摩擦力做功W＝μmgs·cosθ＝8J,机械能损失8J,选项D 错误.

3 弹性势能随位置变化的图像

弹簧的弹力对物体做的功等于弹性势能的增量的负值,即FΔx＝－ΔEp,故,所以弹性势能随位置x的变化图像的斜率表示物体受到的弹力的大小.

例3如图3-甲所示,竖直放置的轻弹簧一端固定于风洞实验室的水平地面,质量m＝0.1kg的小球在轻弹簧正上方某处由静止下落,同时受到一个竖直向上恒定的风力.以小球开始下落的位置为原点,竖直向下为x轴正方向,取地面为零势能参考面,在小球下落的全过程中,小球重力势能随小球位移变化关系如图3-乙中的图线①,弹簧弹性势能随小球位移变化关系如图3-乙中的图线②,在最低点图像的切线和横轴的交点坐标为0.55m.已知弹簧弹性势能的表达式为,弹簧始终在弹性限度范围内,重力加速度g取10m·s－2,则( ).

图3

A.小球释放位置距地面的高度为0.6m

B.小球在下落过程受到的风力为0.06N

C.小球下落0.5m 时接触弹簧

D.在最低点,弹簧的弹力为10.8N

解析由题图乙可知,小球在释放位置的重力势能为0.70J,根据Ep＝mgh,解得h＝0.7 m,选项A 错误;从开始下落到最低点,设小球克服弹簧弹力做功为W,则有W＝0.54J,全过程应用动能定理有mgh2－Fh2－W＝0,解得F＝0.1N,选项B错误;在弹簧的最低点,根据弹性势能随位置x的变化图像的斜率表示物体受到的弹力,可得弹力

选项D 正确;设在最低点弹簧的压缩量为x,有kx＝10.8N,得x＝0.1 m,故小球下落0.5m 时接触弹簧,选项C正确.

4 机械能随位置变化的图像

除重力(或弹簧的弹力)以外的力对物体所做的功等于物体机械能的增量,即F其他Δx＝ΔE机,故,所以机械能随位置x的变化图像的斜率表示物体受到的除重力和弹力以外力的合力.

例4在四川凉山木里森林火灾中,应急部门快速反应,紧急调度4架直升机洒水灭火.直升机静止在空中通过绳索吊装水箱时,水箱在绳索的作用下由静止开始竖直向上运动.运动过程中水箱的机械能E与其竖直位移y变化关系的图像如图4 所示,其中OA段为曲线,AB段为直线.若忽略摩擦阻力和空气阻力,则( ).

图4

A.在OA段过程中,绳索的拉力逐渐增大

B.在AB段过程中,绳索的拉力一直不变

C.在OA段过程中,水箱的动能一直增加

D.在AB段过程中,水箱一定处于超重状态

解析根据功能关系,除重力之外的其他力,即绳索的拉力对水箱做多少正功水箱的机械能就增加多少,所以E-y图像斜率的绝对值等于水箱所受拉力的大小,由图可知在OA段斜率的绝对值逐渐减小,故在OA段内水箱所受的拉力逐渐减小,所以水箱开始先加速运动,当拉力减小后,可能做减速运动,故动能不一定一直增加,选项A、C 错误;由于水箱在AB段E-y图像的斜率的绝对值不变,故水箱所受的拉力保持不变;如果拉力等于水箱所受的重力,则水箱做匀速直线运动,处于平衡状态.故选项B 正确,选项D 错误.

功和能具有高度的对应关系,当我们遇到功能问题时,只要能搞清楚什么力做功以及与之对应的能量的变化,并能根据能量随位置的变化图像斜率的物理意义,得到与之对应的力,就能解决相关问题.

(完)