“以生为本”的“学问思辨行”高效课堂教学
——“立体几何中的最值问题”教学案例及反思*

王小青 (江苏省如皋中学 266500)

1 问题的提出——“学问思辨行”高效课堂的解读

“学问思辨行”，其名称出处于《礼记·中庸》(第20章)：“博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之……果能此道矣，虽愚必明，虽柔必强.”其含义是说：广泛地学习，详细地询问，谨慎地思考，明白地分辨，坚定地践行……果真能够按照此法而行，即使愚笨也一定能够变得聪明，即使柔弱也一定能够变得强大．

课堂教学应经历学、问、思、辨、行五个环节，组织教学突出“以生为本”，使五环中的每一环都既有传承，更有创新；五个环节既互相独立，又互相联系，且环环相扣，逐环深入；先知后行，知行合一，循环递升．

2 问题的解决――教学案例解读

2.1 “立体几何中的最值问题”的背景

学情分析 这是一节高三微专题复习课，上课对象是江苏省四星级高中选修物理、化学、生物的学生，学生基础较好，思维活跃，有较强的表达能力．

教学内容分析 课程标准指出，立体几何的教学要遵循从整体到局部，从具体到抽象的原则，帮助学生认识空间几何体的结构特征，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能，能用向量方法解决空间距离问题和夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序．

2.2 “立体几何中的最值问题”教学设计简案

学习目标 会用长度、角度、坐标等数量刻画运动的点、线、面，会用运动的观点解决立体几何中的角、距离、体积等的最值问题；通过对动点、动直线、动平面的探究，体会数形结合、函数与方程等思想方法在立体几何中的应用，提升观察、发现、提出、分析和解决问题的能力．

学习过程

学自主研学，横向发展

如图1，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上．

图1

(1)求异面直线OP与BB1所成角的正切值的最小值；

(2)求直线OP与平面A1BD所成角的正弦值的最小值和最大值．

问质疑问难，合作探究

问1：你是如何解决上述问题的？你有什么收获与困惑？

问2：上述问题中为什么会有最值？如何求最值？

问3：你还能提出新问题并解决它吗？

思深思熟虑，纵向开掘

思1：把自己提出的问题写下来并解决它，再解决小组内其他同学提出的问题．

辨穷理明辨，点拨启悟

辨1：如何解决动点影响下的最值问题？

辨2：还有哪些因素可以影响目标的最值？

行学以致用，迁移生成

行1：课堂总结.

通过本节课的学习你会解决哪些问题？有哪些收获体会？

行2：链接高考.

如图2，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

图2

(1)证明：l⊥平面PDC；

(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

2.3 “立体几何中的最值问题”教学过程分析

2.3.1学：自主研学，横向发展

教学过程投影学生例1的解答．请同学们自主阅读投影上的解答，对比分析，再次完善自己的解答，并思考“问”中的问1和问2．

设计说明(1)提前发给学生课前自学．(2)教师批阅时发现大多数学生完成得较好，有传统方法和空间向量法.求解空间异面直线所成的角和直线与平面所成的角，学生已经掌握了求解角的基本方法，基本了解刻画动点的方法，从线段长度和点的坐标入手，表示目标角的最值，但是不少学生在求最值时遇到了困难．另外，大多数学生选择的是空间向量法，对传统方法有一种抗拒感．(3)学生自主订正完善，找出存在的问题，独立思考，小组讨论，进入第二个环节“问”．

2.3.2问：质疑问难，合作探究

教学过程(1)学生独立思考5分钟．(2)学生点评投影仪展示的解答，总结解题思路及其书写的细节，然后介绍自己用传统法求解的思路．(3)教师追问：上述问题中为什么会有最值？如何求最值？其他同学有没有需要补充的？有没有困惑需要解答？(4)生生互问：总结得出动点影响了目标的最值，可以转化为一元函数求最值，或者利用图形的几何性质求最值．(5)师生一起总结：运动的元素——动点；刻画的方式——动点的坐标；影响的目标——空间角；目标的最值——一元函数求最值/数形结合求最值．

设计说明(1)对于例1的求解方法，学生存在两类困惑——传统方法与空间向量法的选择和最值问题的处理．教师不是把批阅试卷中发现的问题抛给学生，而是让学生通过独立思考，小组合作探究，自己发现问题，提出问题的解决方案，通过生生互问、教师追问等方式让学生自主建构解决此类问题的基本方法．(2)学生掌握了基本方法后，特别期待这些基本方法能否用于解决其他问题，在此基础上，教师引导学生自己提出新问题并解决，此时学生探究欲望强烈，积极深入地思考，进入第三个环节“思”．

2.3.3思：深思熟虑，纵向开掘

教学过程(1)在学生独立思考的基础上，小组讨论，合作学习，并将小组中研究的问题展示到黑板上．(2)学生针对图1展示的问题有：二面角D1-OP-D的余弦值；二面角D1-PB-C的余弦值；OP+PD1的最小值；A1到OP距离的最小值；P到面ABD距离的最小值；BD1和OP距离的最小值；三棱锥P-A1BD体积的最大值；三棱锥P-A1BD外接球半径的取值范围和内切球半径的取值范围；若点P在B1C1上运动，求OP与面A1BD所成角的余弦值．(3)教师追问：同学们是怎么想到提出这些问题的？(4)生生互动：分享思考问题的角度，从空间角，空间距离，几何体的体积、表面积、侧面积，几何体的外接球和内切球的半径等度量关系探究最值问题，也可以变化动点的位置来影响目标最值，比如将点P改为在线段B1C1上运动；追问是怎么想到将点P移到线段B1C1上运动？小组代表分享思考的角度，点P在线段CC1上运动时，由正方体的对称性，用图形研究比较简单，当点P变换到线段B1C1上运动时，就不可以利用图形对称性求最值，这时候作图又有难度，应该优先用建立坐标系的方法求解；要探究四面体内切球的半径的最值，某个小组不会解，就让其他小组分享解决问题的方法，利用内切球的性质，用等体积法，球心与四面体的每个面构成四个小三棱锥，这四个小三棱锥的体积之和等于原来四面体的体积．

设计说明(1)通过学生自主探究，小组合作，学生经历了发现问题、提出问题、分析并解决问题的过程，可以解决空间角，空间距离，空间几何体的表面积、体积，内切球与外接球等相关问题，会将目标最值问题转化为求函数最值，利用图形的几何性质求解．

在教学过程中教师再点拨，提出两个问题．

思2：若动点P在正方形BCC1B1内(包括边界)运动，且D1P∥平面A1BD，则BP的最小值为．

学生独立思考后可以发现，动点P是用线面平行的位置关系和距离的度量关系来刻画的．

设计说明通过这两道思考题的解决，学生解决最值问题的面更宽了，影响最值问题的动点不仅可以用度量关系(长度、角度、距离等)刻画，还可以从位置关系探寻动点的轨迹进而求目标的最值．学生经历了发现、探索、追问、完善等过程，进一步厘清了基本概念和基本方法，积累了基本活动经验，提升了数学思维能力．此时，让学生再静下心来回顾刚才解决问题的过程，反思感悟，进入下一个环节“辨”．

2.3.4辨：穷理明辨，点拨启悟

教学过程(1)学生感悟提升，影响立体几何中目标最值的因素可以有很多，我们可以利用动点的坐标、线段的长度、动点的轨迹等求目标的最值．(2)师生共同进行课堂总结：运动的元素——动点、动直线、动平面；刻画的方式——动点的坐标、线段的长度、动点的轨迹；影响的目标——空间角、空间距离、表面积、体积；目标的最值——一元函数求最值/数形结合求最值．(3)教师追问：那你觉得空间内，除了动点可以影响目标的最值，还有其他的元素影响目标的最值吗？学生完善：还可以是运动的直线、运动的平面等等．(4)进一步提出问题：类比今天课上研究的动点影响下的最值问题去探究动直线、动平面影响下的最值问题．

设计说明通过静心独立思考、辨析、分析、研读等，学生总结解决问题的基本方法，进一步提出问题，为课后进一步学习思考和下节课的学习指明方向．

2.3.5行：学以致用，迁移生成

课堂检测，及时反馈．

3 问题的思考——教学反思

3.1 “以生为本”高效课堂的起点是“学”

学即是博学，博学是在科学的教学目标指引下的自主研学与独自学习．课堂教学操作上，教师提前制定计划和学习目标，准备学习的文本材料或问题．新授课教学中，学是在课堂上进行，约5～10分钟，对于基础年级的复习课或习题课、高三的复习课，都是将学习内容提前给学生，课堂上再给学生2～3分钟的时间熟悉完善，准备交流．学习方式由勤学、学会到善学，再到在教师目标和计划引领下的会学．“学”的目的是掌握必备知识，体现基础性，力求50%的学生通过自学掌握50%的知识．学生通过“学”的解决，体会立体几何中最值问题的常见求解策略．

3.2 “以生为本”高效课堂的呈现是“问”

问即是审问，是在充分博学基础上的高质量的自问、互问与合作探究．课堂教学操作方面，教师要提前将学生分为4人一组，为每个小组选好组长．课堂教学中，首先全体学生在各自的小组内审问或善问．此环节的操作方式为自问、互问、小组合作．常见的问题有：我解决了哪些问题？真正解决了吗？有没有更简便的解法？我还有哪些问题没有解决？小组合作探究后，还有什么问题没有解决？“问”的目的是落实关键能力，体现基础性，力求70%的学生解决70%的问题．通过学生自问、生生互问、师生互问、教师追问等方式，让学生掌握立体几何中最值问题的求解策略．

3.3 “以生为本”高效课堂的深入是“思”

思即是慎思，是在质疑、合作前提下的多维思考与深度领悟．课堂操作上，一是教师让组长将各小组的问题进行汇总，二是教师要根据课堂教学内容提前预设．课堂教学中，让各小组展示问题，然后让学生慎思、深思、参悟．此环节的操作方式为学生独立思考，深思已解决的问题、慎思未解决的以及新产生的有价值的问题．“思”的目的是提升关键能力，体现综合性，力求80%的学生解决80%的问题．学生在上述问题解决的基础上，结合已经学过的立体几何中的度量关系，提出新问题，思考并解决问题，将知识和方法在宽度和广度上延伸．

3.4 “以生为本”高效课堂的关键是“辨”

辨即是明辨，是立足于展示与点评基础上的思维碰撞与争鸣．明辨、辨明，疑惑越辨越清，思想越辨越深，真理越辨越明．课堂操作中，教师要选择部分学生的成果进行投影，让学生展示成果，总结提炼方法，其他小组学生提问、质疑，全体学生在课堂上争辩、分辨、再存疑．此环节的操作方式为小组内生辩，或者班级内部生辩或师辩.让真知获得认同，将课堂推向深入，让思维引入活水，使素养得到提升．“辨”的目的是落实学科素养，体现创新性，力求90%的学生解决90%的问题．学生展示后，通过追问学生为什么想到提出这些问题？提出这些问题时的思考角度有哪些？又是如何解决这些问题的？在学生与学生、教师与学生的互辩中，引领学生拓展思维．

3.5 “以生为本”的高效课堂的指向是“行”

行即是笃行，是立足于检测反馈基础上核心价值的落实与践行．课堂操作中，教师提前根据教学内容设计检测问题．课堂教学中，总结和当堂检测．此环节的操作方式为学生独立总结或解决问题．问题一是来自教师课前预设；二是课堂上学生在“问”的环节未解决的1～2个问题．在时间上做到课上与课后融为一体．“行”的目的是落实核心价值，体现应用性，力求95%的学生掌握95%的问题．在上述问题解决的基础上，学生再反思立体几何中的最值问题，掌握基本方法，进一步有更深层次的认识．

“学问思辨行”高效课堂模型是传承和发展传统教学思想、回归教学本真的一种教学模式，坚持以学生为中心、教师为主导、问题串为载体，充分体现了新课标的教育思想与新高考评价的核心理念，是一种科学高效的课堂教学模型．