GeoGebra环境下基于问题解决的高中数学课堂教学的研究与实践GeoGebra环境下基于问题解决的高中数学课堂教学的研究与实践
——以“双曲线的定义”为例

◎吴启霞

(广东省清远市清远华侨中学，广东 清远 511538)

一、引言

随着科学技术的发展，信息技术与高中数学课程的融合已经成为目前新课程发展的新趋势.许多研究表明，通过教育信息技术将动态代数、几何系统融合到高中数学课程教学中，能极大地调动学生参与实践探索的积极性和主动性.GeoGebra是国际上一款非常流行的，为中小学数学教学设计的开放式教学软件，其功能十分强大，在各种数学课程，如几何，代数，数列和统计等模块都能进行辅助教学，通过图形辅助帮助学生轻松地学习数学相关知识.因而，它可以作为中小学教师、大学数学教师和数学爱好者进行数学教学、学习和研究的工具.GeoGebra与课程融合在教学上呈现很多优势，例如，针对圆锥曲线的几何轨迹求解问题,教师可以在GeoGebra中打开轨迹跟踪功能,通过创设运动对象轨迹探究的情境,引导学生进行直观的观察,为学生猜想、探讨和证明等数学问题解决提供思维上的帮助.但是在实践教学中，信息技术融入课程的过程却十分缓慢而复杂， 本文借助GeoGebra 这一动态数学软件,以双曲线教学为例,着重探索GeoGebra在双曲线教学中基于数学问题解决的新尝试,旨在丰富教学手段，开拓学生学习视角，以提升学生的六大数学核心素养，特别是抽象思维能力和逻辑推理能力，提高学生解决数学问题的能力.

二、利用GeoGebra 动态绘制双曲线，通过问题解决教学理解概念的内涵与外延

普通高中数学教科书新教材中对双曲线的定义为:在平面内到两定点F1,F2距离之差的绝对值为等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.在实际教学过程中，教师用传统的“黑板+粉笔”是很难精准地展示这一作图过程,学生也很难真正理解透这一数学概念， 但是如果利用 GeoGebra就可以很方便实现.

在GeoGebra 环境中，教师可从椭圆的定义出发，创设问题情境，引发学生思考，通过问题解决引导学生逐步建立双曲线的概念.

(一)创设问题情境，引发学生思考

【问题解决1】 前一节课我们刚学过椭圆的定义，请问椭圆是怎么定义的.

学生回答，教师同时运用GeoGebra软件边讲解，边操作，作出椭圆来.

【设置意图】通过学生熟悉的知识，利用GeoGebra生成动画形成视觉冲击，调动学习的积极性.

【问题解决2】(课本49页，第7题)如图，圆O的半径为定长r,A是圆内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

图1

教师让学生观察GeoGebra生成的动画图形，通过引导学生思考探索发现：由Q在半径OP上，得|QP|+|QO|=r，因为Q在线段AP的垂直平分线，所以|QP|=|QA|所以|QP|+|QO|=r，由A在圆O内得|QO|

【设置意图】教师把学生置于熟悉的知识情境中，将动画实验演示和问题解决的方式相融合，让学生在直接观察运动变化的过程中，感受数学的魅力，以此激发学生进行思考的积极性.此问题围绕椭圆的本质属性设置，符合学生的最近发展区， 能够让学生体会到变化与不变的内在联系，一方面加深了学生对椭圆定义的理解；另一方面变式问题有利于锻炼学生的数学思维.通过问题探究以激发学生探求知识的欲望，教师可逐步培养学生善于发现问题、分析问题、解决问题的坚韧数学品质.

(二)动手实验操作探究，通过问题解决初步体会双曲线概念

【问题解决3】已知圆O的半径长为r，取圆外一个定点A，在圆上任意取一点P.设线段AP的垂直平分线l与半径所在的直线OP相交于一点Q，随着点P在圆上运动，点Q会产生什么样的轨迹呢？

教师通过引导学生按照问题解决2的思维方式对问题3进行探讨分析，如图2(点Q在PO的延长线上)发现动点Q所满足的几何条件是 |QA|-|QO|=r，那么动点Q的轨迹会是什么图形，学生一脸的好奇，教师紧接着抛出问题解决4.

图2

【问题解决4】当点P在圆上运动时，点Q在半径OP所在直线的不同位置，点Q又是满足什么等量关系?如图3.(点Q在OP的延长线上)

图3

学生通过思考，发现当点Q在PO延长线上时， |QP|-|QO|=r，当点Q在OP延长线上时， |QP|-|QO|=-r.但点Q的轨迹究竟是怎样的曲线呢？学生产生极大的好奇心与求知欲.在GeoGebra环境下笔者因势利导地让学生进行下一步的实验探究.

【实验操作】此环节的实验是让学生动手进行操作，利用圆规、直尺、铅笔规范地将图2画在空白纸上，然后让学生通过小组合作的方式进行实验探究:先固定点O，A的位置不动，通过先后在圆上取出若干个不同的点P，对于取得的每一个点P，分别连接线段AP，用铅笔画出垂线l，与直线OP交于点Q，由此得出一系列点Q，点P取得越多得到的点Q就越密集，然后擦除所有线段和直线，保留所有的点Q，并用黑色字迹笔描黑，如图4所示.

图4

(三)利用GeoGebra进行实验探究，经历双曲线概念的形成过程

【问题解决5】通过动手实验操作，动点Q运动产生的轨迹在以前见过吗? 它会是什么曲线呢?

想一想生活中有哪些形如此形状的物体？我们学习过什么与之有关的知识？

【设置意图】新教材、新课程所倡导的学习方式之一是让学生动手进行实验操作，通过动手画图实现自主探究，让学生亲身经历数学实验的活动过程，循着问题串再通过创设问题情境增加学生数学发现的成就感，让他们去感知生活中的双曲线.教师可通过直观感知激发学生的探求知识的欲望，提高学生的实践应用能力，培养学生观察、分析、概括和问题解决的能力，为双曲线的概念形成奠定了基础.

通过以上问题解决，教师引导学生发现只要满足|QP|-|QO|=r的点Q，动态绘出的动点轨迹就是双曲线，让学生结合动态演示看看双曲线是怎样产生的，如图5，在画图区内，已知F1为圆心，取圆外一定点F2，然后设点Q为追踪点，并设定追踪轨迹，拖动起圆周上的点P，随之慢慢地动起来，绘图上就能追踪Q的轨迹.( 如图5所示)

图5

【设置意图】教师利用 GeoGebra进行数学实验探究，通过 GeoGebra的动态演示功能和操作上的便利性动态地演示了双曲线的形成过程，让学生经历了一个完整的实验探究数学发现的过程，进一步验证了学生的实验探究结果，体现了GeoGebra软件在数学教学中的应用.

后续，通过利用GeoGebra绘制双曲线、问题解决的方式，学生能较好地掌握双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本概念,进而很好地理解双曲线概念的内涵与外延,并能对双曲线的定义进行简单应用.

(四)类比椭圆的定义，构建并拓展双曲线的定义

【问题解决 6】同学们能根据前面的活动，类比椭圆的定义，写出双曲线的定义吗?(以表格形式展现出来如表1所示)

曲线椭圆双曲线圆形定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.关系式|PF1|+|PF2|=常数(常数>|F1F2|)||MF1|-|MF2||=非零常数(非零常数<|F1F2|)

【设置意图】教师通过创设学生熟悉的问题情境，借助 GeoGebra 软件，让学生经历动手实验探索的操作的过程,逐步画出动点M的轨迹图形.此过程，基于以学生为主体，把学生的积极性充分地调动了起来，让学生自己去总结新研究的曲线特征，加深对图形的认知能力，同时能够较好地提高学生的数学语言表达能力.

根据以往的教学经验，学生描述双曲线定义时，经常容易漏掉常数的取值范围.针对这一问题，教师可以放在下一个环节由学生自己去发现，印象才能更加深刻.

【问题解决7】深入剖析双曲线定义中的三个要点：①“平面内”三个字是否能去掉呢？②“绝对值”这三个字重要吗？③定义中的常数是否跟椭圆定义的意义有范围限制？如果有的话，那是什么？为什么有范围限制？

【设置意图】以学生的自主探究发现来代替教师的直接讲解、灌输,让学生更深刻地明白数学定义的严谨性.教师通过采取让学生运用GeoGebra软件动手操作的教学方法,让学生进行动态探究，小组合作的共同讨论问题的课堂教学方式，由学生自己去探究常数的取值范围，加深其对范围的理解.

运用GeoGebra 教学软件绘制双曲线,通过问题解决的教学方式，学生能掌握双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本概念,体会到双曲线定义的内涵与外延,及双曲线定义在问题解决中的重要性.

三、结束语

GeoGebra动态数学软件将高中数学的窗口与图形绘制窗口完美结合，在高中数学课堂的教学过程中表现卓越，能极大地提高学生的学习积极性与热情，增大课堂容量，活跃课堂氛围，丰富课堂内容.教师利用GeoGebra数学软件进行整合教学，将高中数学概念、定理、曲线图形的形成过程进行思维可视化，使学生能透过抽象的数学概念、定理、图像，看到它所代表的图形以及深刻的数学思想.教师在课堂上通过GeoGebra进行动态演示、探究，不但使学生对数学表达式的理解更透彻，而且能够感受到数学语言、数学图形紧密相结合的魅力.教师在高中数学问题解决课堂教学过程中利用GeoGebra软件设计教学方案，创建用作演示的交互式应用课件，将传统的教学观念与模式按照新课程的导向进行改革创新，可以提高数学课堂的教学质量.目前，GeoGebra 软件与高中数学课程的融合正处于初级阶段，在本文中，笔者对GeoGebra在高中数学课堂教学中的应用以“双曲线的教学”为例做了初步的探讨.GeoGebra与高中数学的深入融合有很大的发展空间，将GeoGebra软件融入高中数学课堂，优化课堂教学结构，助力问题解决的课堂教学已成为必然趋势，这还需要我们一线数学教师进一步的探索和研究，任重道远.