立足核心素养培养 着眼学生终身发展
——例谈新课标初中“数与代数”领域内容的教学实施策略

王东升

（阜新市招生考试委员会办公室教育服务中心）

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）发布后，其基本理念、结构特征、课程内容等方面都有调整变化，其培养目标进一步完善，课程设置得到优化，强化了育人导向，确立了核心素养导向的课程目标：以学生发展为本，进一步强调学生“四基”的获得与发展，发展学生“四能”，形成正确的情感、态度和价值观。在教学中，教师要了解“数与代数”领域的课程内容主要变化，并依据基本理念，落实课程内容及育人目标要求，探究教学方式与策略。

新课标新增11条内容，分别是：理解负数的意义；知道实数由有理数和无理数组成；能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义（这里对实数而言）；能利用乘法公式进行简单的推理；了解代数推理；能根据现实情境理解方程的意义；理解函数值的意义；知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系；会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题；知道二次函数和一元二次方程之间的关系。新课标删除1条内容的星号，是“了解一元二次方程的根与系数的关系”，将此内容由选学调整为必学。下面围绕“数与代数”领域主要变化，谈一谈在教学中要注意的一些问题和实施建议。

一、知道实数由有理数和无理数组成

在初中阶段，数系的扩充有两次，第一次是负数的产生，数系扩充到有理数；第二次是无理数的产生，数系扩充到实数。每一次数系的扩充，都是对人类认识的一次挑战，也是学生学习的难点。认识实数的组成，关键是理解无理数。教师教学时可以分成六个层次进行。

第一个层次：发现非有理数。若正方形面积为2，边长为a，则a2=2。那么a是什么数？因为12=1，22=4，32=9，……所以，a是介于1~2之间的数，不可能是整数；因为……结果是分数，所以a不可能是分数。这样，a既不是整数，也不是分数，即a不是（我们熟知的）有理数。

这样的数真的存在吗？教师可让学生把边长为1的两个正方形沿对角线剪开，他们会发现这四个全等的等腰直角三角形可以拼成一个较大的正方形，其面积为2。因此，可以确定平方为2的数是客观存在的。

第二个层次：在a2=2中，a是有限小数还是有限循环小数？

边长a 1

教师可以继续引导：还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？a可能是无限循环小数吗？

第三个层次：分数是有限小数或无限循环小数。有限小数都可以表示成分数，无限循环小数也都可以表示成分数。如化为分数：设则100x，34+x=

因为a2=2中的a不可能是分数，所以，a2=2中的a不是有限小数，也不是无限循环小数。到此，教师就可以引导学生给无理数下定义了。

第四个层次：无理数的定义。有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反之，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而我们把无限不循环小数称为无理数，把有理数和无理数统称实数。

第五个层次：无理数的形式。初中阶段无理数的常见形式有4个：一是无限不循环小数类，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）；二是常数类，如π、2π等；三是根式类，如2、3等；四是三角函数值类，多数角度的锐角三角函数值。学生以后还会认识到常数类的无理数，如自然常数e。

第六个层次：数学发展史中的无理数。公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实：一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的。这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”，引发了数学史上的第一次数学危机，并对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。直到17世纪还有一些数学家不承认无理数。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次危机。

教师让学生了解数学发展史的这些关键片段是数学教学不可或缺的一个环节。著名数学家M·克莱因十分强调数学史对数学教育的重要价值。他曾说：“课本中的字斟句酌的叙述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折以及在建立一个可观的结构之前数学家所经历的艰苦漫长的道路。而了解到数学家如何跌跤，如何在迷雾中摸索前进，并且如何零零碎碎地得到他们的成果，应能使面对难题的人们鼓起勇气。”

通过对数学发展史的介绍，可以让学生了解到人类在追求真理道路上的艰辛努力和坚定信念，也有利于帮助学生树立科学品质，培养良好的科学精神。另外，在数学的发展长河中，涌现出许多熠熠生辉的数学大家，他们或孜孜以求，锲而不舍；或艰苦卓绝，攻坚克难；他们在用数学成果造福人类的同时，也为后人留下了宝贵的精神财富。利用好这些资源，教育才能“培根铸魂，启智润心”。

二、了解代数推理

说起推理，人们自然会想到几何证明。其实，不但“图形与几何”领域有推理，“数与代数”“统计与概率”领域也都是离不开推理的。可以说，推理是一种无所不在的思维方式。推理有三种形式：演绎推理、归纳推理和类比推理。

例如，任意写一个三位数，交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数字，两个数相减后的结果有什么规律？这个规律对任意一个三位数都成立吗？

教师可先引导学生写出一个三位数，如123，交换后是321，两数相减是321-123=198。然而，一个数字是难以确定规律是什么的：末位是8吗？是偶数吗？是3的倍数吗？是9的倍数吗？是11的倍数吗？需要再写出一个三位数观察：756，交换后是657，两数相减是756-657=99。通过这样，使学生初步把握问题的规律。要“一般证明”此问题，还要用字母代替数，进行“符号运算”：100a+10b+c-（100c+10b+a）=99a-99c=99（a-c）。

在解决了本题后，教师当然还可以启发学生思考：其他的多位数会如何呢？两位数：10a+b-（10b+a）=9a-9b=9（a-b）；四位数：1000a+100b+10c+d-（1000d+100b+10c+a）=999a-999d=999（a-d）。进而引导学生探索多位数存在的更一般规律。

回顾上面的解答过程不难发现，学生的思维所经历的过程为：先明确数字关系，进行数字演算，初步发现数字规律，这是一个归纳推理的抽象过程；然后，利用字母表示数，进行符号运算，最后表达一般规律，这是一个演绎推理的证明过程。教学中教师要让学生经历这个探究过程，让学生学会用数学的眼光观察，用数学的思维思考，用数学的语言表达。

归纳推理也称归纳，其本质是通过对部分事物的研究，推断更大范围中事物的整体特征，它是从个别事物中概括出一般原理和性质的思维方式，是从特殊到一般的认识过程。如通过3+5=5+3等，可归纳得到加法的交换律a+b=b+a。再如，通过4×等，可归纳得二次根式的乘法法则归纳是寻找和发现数学真理的主要手段。

在数学学习的过程中，教师也可以常用类比的方式，如可以利用学生对分数的性质的认识和理解，来引导他们学习分式的性质。同时，教师也要注意，类比只是合情的猜测，其结论是否正确，还有待于进一步的证明。如我们知道积的乘方运算法则为（ab）2=a2b2，在之后学习二项式乘方时，一些学生就容易“类比”地认为（a+b）2=a2+b2，这是错误的。

虽然由类比推理发现的结果不一定正确，但是“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”，很多科学上的发明和创造正是需要打破常规，大胆设想，才能得到丰硕的成果。

三、能根据现实情境理解方程的意义

教学中，教师要依托现实的情境来帮助学生理解方程的意义。如可创设这样的现实情境：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？

分析可知，该题中所涉及的四个关键数量有如图1所示的关系，它们之间形成了A，B两个循环。

图1

若设每件服装的成本为x元，在A循环中，（1+40%）x·80%=售价，在B循环中，售价-x=15。学生可以发现，以任意一个数量为联系节点，A，B两个循环中的数量就联系在一起，都可以形成含有未知数的等式，即方程。

若设每件服装的成本为x元，根据题意，根据不同的等量关系可以得到不同的方程：（1+40%）x·80%-x=15（以利润为等量），（1+40%）x·80%=15+x（以售价为等量），（1+40%）x·80%-15=x（以成本为等量），（1+40%）x=（15+x）/80%（以标价为等量），80%=（15+x）/（1+40%）x（以折扣为等量）。

因此可以说，方程就是“同一个量（或等量）的两种不同表达”，这样的认识，也有助于学生对列方程的思考。对于方程的定义，教材的描述一般为：含有未知数的等式叫做方程。针对方程这个“定义”，有的教师提出：x=2是方程吗？说x=2是方程的，理由是从“含有未知数的等式叫做方程”的定义来看。也有另一种认识，华东师范大学张奠宙教授指出：仅根据定义“含有未知数的等式叫方程”就会出现“x=1，x-x=0是不是方程”这样的怪问题，其实这句话只谈了方程的表面。方程的本质是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立一种等式关系。既然方程的本意就是要求未知数，如果x=1，未知数已经求出来了，也就没有方程的问题了。这类问题与我们学习方程知识没有关系。在方程概念的教学中应当淡化形式，注重实质。

当然，教师应该了解，x=2是不是方程还要看场合，在现行数学教材体系，如在初中抛物线的“对称轴方程”或高中解析几何的“直线方程”中，我们还得把x=2说成是方程。在这里，教师可以引导学生回顾“打折销售”的例子：为什么题中会产生A，B两个循环呢？只有一个循环行吗？如把题目改为：商店将某种服装100元卖出，每件获利15元，这种服装每件的成本是多少元？其实这就是加减法的问题，没必要列方程。东北师范大学史宁中教授指出：方程一定是在讲两个故事。所谓两个故事，就是两个等量关系，这样就可以用两种不同的形式表示同一个量，也把这个叫做“算两次”。

四、理解函数值的意义

对于函数值的意义，可以从以下四个方面来理解。

一是从代数的角度看。函数值就是与其自变量取值相对应的因变量的值。例如，对于一次函数y=3x+4，当x=5时，对应的函数值y=19。

二是从几何的角度看。函数值就是函数图象上某点的纵坐标。例如，一次函数图象交x轴于点A（3,0），交y轴于点B。若是函数值为正，则自变量x的取值范围是x<3。即图象上纵坐标为正的点的横坐标的取值。

三是实际问题中具有实际意义。例如，甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步600米，先到终点的人原地休息。已知甲先出发2秒。在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图2所示，则b值是多少？

图2

分析可知，所求图2中b的值就是“乙出发100秒时两人的距离”，故应先求得甲、乙两人的速度。

解：t=0时，y=8，即乙即将出发时，甲已经出发2秒，甲、乙两人距离为8米。所以米/秒。

在乙出发后，两人距离先变小后变大，说明乙速大于甲速，且在t=100秒时，两人距离增至最大，说明乙已经到达终点，原地休息。所以秒。此时两人距离b=6×100-（8+4×100）=192米。当然，由于所求两人距离是乙走了600米时两人的距离，所以，不求乙的速度也可以。图象上点（a，0）的纵坐标0的实际意义是“甲乙两人距离为零”，即乙追上了甲。

四是从函数值的特征角度看。首先，与自变量的取值一一对应。对于每一个确定的自变量的值，都有唯一的函数值与其对应。即对于y=f（x）而言，一个x，有唯一的y与之对应；不同的x，对应的y可能相同。其次，其变化特征体现函数的性质。随着自变量的取值的增大，函数值可能随之增大，也可能随之减小，也可能在某个范围内增大，在另一个范围内减小。即函数会表现出单调递增，或单调递减，或奇函数，或偶函数等性质。

五、了解一元二次方程的根与系数的关系

教师先要引导学生了解一元二次方程的根与系数的关系内容。宽泛地说，一元二次方程的求根公式也是“根与系数的关系”，即根与系数的关系可以分为两个方面：一个是用系数表示根—求根公式；另一个是用根表示系数——韦达定理。其中，求根公式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时

韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，利用求根公式可得（这是现行教材给出的教学顺序）。当一元二次方程的二次项系数为1时，即若x2+px+q=0的两个根为x1，x2，利用求根公式可得，x1+x2=-p，x1x2=q。

其实，韦达定理还可以从另一种途径来认识。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2。则ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2，比较恒等式同次幂项系数，得b=-a（x1+x2），c=这恰是“韦达定理”的实际发展轨迹）。教师可以利用这个思路来引导学生研究一元三次方程的根与系数的关系。

然后，教师要把握一元二次方程的根与系数的关系的“了解”层次的教学要求。依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》关于“了解”层次的教学要求，现行北师大版初中数学九年上册教材中设计的部分练习如下：

（1）利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：x2-3x-1=0，3x2+2x-5=0；

（3）写出一个以4和-7为根的一元二次方程；

（4）已知方程5x2+mx-6=0的一个根为2，求它的另一个根及m的值。

在实际教学和评价中，仍存在随意拔高教学要求的现象，如已知一元二次方程（有实数根），求两根的平方和、立方和、倒数和差的绝对值等。而这些内容其实是高中阶段（人教B版必修一）的教学要求。

关于“了解”的层次要求，新课标是这样解释的，了解：知道，初步认识；从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。可见，上面所列举的“课外练习”，明显超出了新课标中“了解”的层次要求。教师如果无视要求，在教学、评价中随意拔高，那么教学将走进误区。

教师还要关注一元二次方程的根与系数的关系的育人价值：一是发展学生发现问题、提出问题的能力。教师若只是知道一元二次方程的根与系数的关系，则也不过是多掌握了一个“定理”而已。教学中，若能引导学生去发现、去猜想、去归纳这个“关系”，无疑会培养学生观察问题的“数学眼光”。二是促进学生积累用数学符号进行一般性推理的经验。初中学生的思维正处在“抽象表达”发展的关键阶段，韦达定理的探索、论证及表达过程，恰好能帮助学生感悟符号表达对于数学发展的作用，提高用抽象的“数学语言”表达问题的能力。

此外，教师还应引导学生了解一元二次方程的根与系数的关系发展史。在数学发展过程中，韦达定理也是引人关注的。在1615年出版的《方程的理解与修正》一书中，法国数学家韦达给出了形如-x2+px=q（p，q>0）的一元二次方程的两根之和等于p，两根之积等于q。不过，韦达并没有考虑方程有重根或负根的情况，定理仅适合有两个不相同的正实根的情形。到1629年，吉拉尔出版了《代数新发明》一书，书中讨论了一般n次方程根与系数的关系。他认为，方程的根可以是负数或虚数，并提出：一个n次方程应该有n个根。这就是现在大家熟知的代数基本定理。吉拉尔在韦达的基础上给出了他的证明。直至18世纪，数学家欧拉首次给出方程x2+px+q=0的韦达定理的严格证明。19世纪，苏格兰数学家华里斯沿用了欧拉的证明，并完善了求根公式。

从韦达定理的发展史我们不难看出，它的发展过程是间断的、不完整的、极具探索性的。从历史发展的角度来看，教学应秉承数学史发展的轨迹，通过观察、归纳、推理、证明的方式，引导学生发现数学定理。从数学思想的角度来看，在学习韦达定理时学生应着重体会整体性思想，在教学过程中应体现归纳思想。

综上所述，教师应以培养学生的核心素养作意识统领，以此为思考一切教学问题的出发点和归宿。教师应以学生发展为本，解决好“为何学？如何学？怎样学？学了如何？”的问题，强调学生“四基”的获得，发展学生“四能”；充分发挥数学课程内容文化属性的育人价值，树立学生的文化自信；激发学生的爱国热情，培养学生的科学精神，使其形成正确的情感、态度和价值观。