基于“用高于下”理念培养学生高阶思维
——以人教A版教材资源的深度教学为例

林自强，蒋晓云

(1. 来宾市教育科学研究所，广西来宾，546117 2. 桂林师范高等专科学校，广西桂林，5411199)

1 引言

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出：数学教材为“教”与“学”活动提供学习主题、基本线索和具体内容，是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养重要的教学资源.[1]教材应有利于全面落实立德树人的基本要求，有利于教师创造性教学，有利于学生自主性学习.

习题是教材的重要组成部分，要提高习题的有效性，科学、准确地把握习题的容量、难度，防止“题海战术”，应开发一些具有应用性、开放性、探究性的问题，解决这样的问题有助于学生的数学学科核心素养提升.[1]因此，在使用教材时，教师应格外关注怎样使用教材以及使用的效果如何，而不是照本宣科，这就要求教师深度解读教材，整体设计习题、例题等课程资源，有意识渗透高等数学的思想方法，助力学生将问题化难为易.

德国数学家菲利克斯·克莱因倡导“高观点下的初等数学”意识，主张在现代数学观点的指导下研究“高数”与“中数”之间的关系.高等数学的思想方法与中学数学相通，甚至有一些已迁移到中学数学中，例如新人教A版教材必修第一册第256页第26题介绍了泰勒公式.

“26.英国数学家泰勒发现了如下公式：

其中n!=1×2×3×4×…×n.

2 泰勒展公式在教学中的渗透与解题指导

2.1 课堂教学内容——介绍泰勒公式及其特殊形式

定理1若函数f(x)在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)=Tn(x)+ο((x-x0)n)，即

ο((x-x0)n).[3]

(1)

用得较多的是泰勒公式(1)在x0=0时的特殊形式[3]：

(2)

把(2)式称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.在实际的教学中，我们要充分利用教材的资源，可以对该内容作适当拓展.例如，教师可以将泰勒公式在x0=0时的特殊形式交给学生.

当x0=0时，函数f(x)在x0=0有以下麦克劳林公式[3]：

2.2 利用泰勒公式——证明不等式及放缩形成结论

以新人教A版选择性必修第二册教材P89～P99中出现的四个不等式证明为例.

2.证明不等式：x-1≥lnx，x∈(0，+∞).[4]

3.证明不等式：ex>1+x，x≠0.[4]

4.证明不等式：lnx0.[4]

教学提示：由x-1≥lnx，x∈(0，+∞)⟹x>lnx，ex>1+x⟹ex>x，所以lnx0.

引入高观点指导的教与学，使相对繁杂的证明过程变得更直观明了，有利于学生娴熟运用于实际解题与变形放缩，发展学生的数学运算、数学建模的素养.在教学中，教师还可以由上述的四个不等式推出与其具有“血缘关系”的七个不等式：

② ln(1+x)

注意到①～④的x取值范围均是在(0，1)，事实上，①可以推广为：

⑤ 1+x≤ex(x∈R)；

在实际教学中，教师可以通过泰勒公式以及上述推导过程给学生作方向指引，引导学生将其整理、归纳形成结论：

(1) 放缩成一次函数：ex≥x+1，ex>x，ex≥ex.

教师在教学中可作提示，但凡含有指数函数“ex”或自然对数“lnx”的不等式，大多数都与教材上不等式(1)～(4)有着密不可分的关联.纵观近年的各地高考中的一些压轴题，频频出现含有“ex、lnx”这两个特殊符号的不等式，令许多考生望而却步.其实，这些压轴题中的不等式，很多都可由⑤～⑦式“繁殖”出来的“蘑菇群”，在日常的教与学中研究透教材不等式1～4及推论①～⑦式，往往会成为破解这类高难度压轴题的突破口.

2.3 真题解题实践——示范泰勒公式指导具体解题

基于问题情境，快速联系到相关的高观点思想方法，在熟练的基础上便可以快速找到解题的突破点，问题将迎刃而解，给考生带来事半功倍之效.比如，例1～例4为范式，为教师的教提供“模型”，启发教学渗透，起到抛砖引玉之用；为学生的训练大道至简，培养高阶思维，解题思路水到渠成，达成一览纵山小之感.

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

显而易见c>b>a，故选A.

反思：若学生不用上述解题方法，很难解答此题，尤其是选择题，在高考时间有限的情形下，学生用上面的做法解答能又准又快.而对于水平不一的学生，我们平时的教学到底应该教什么？教到什么程度？如何引导高中阶段的数学学习，才能更好促进学生高阶思维的培养？回观课标，以上问题都得到很好的回答，在内容上设置了必修、选择性必修，还设置选修，让我们深刻理解了“因材施教”的教学原则，但在这个过程中也需要教师们有意识的渗透高观点的教学.

例2(2013全国Ⅱ卷，理21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).

(Ⅰ) 设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性.

(Ⅱ) 求证：当m≤2时，f(x)>0.

思路：第一问是常规问题，按照“求定义域→求导函数→求导函数零点→列表→结合表格得出单调区间”基本步骤实施；第二问中，首先观察已知条件f(x)=ex-ln(x+m)的形式，使用泰勒公式在x0=0处的特殊形式，其次进行变形、代换、放缩进而证明.

解析：(Ⅰ) 略

(Ⅱ) 由于x-1≥lnx，x∈(0，+∞)，用x+2替换x-1≥lnx中的x得x+1≥ln(x+2)，

又m≤2，故ln(x+m)≤ln(x+2)，

又ex>1+x，x+1≥ln(x+2)，

所以ex>1+x≥ln(x+2)≥ln(x+m)，即ex>ln(x+m)，

进而有ex-ln(x+m)>0，因f(x)=ex-ln(x+m)，

故当m≤2时，f(x)>0.

反思：高考试题贯来重视知识覆盖面，但还是有重、难点.总复习中，如果把重、难点内容放在靠后的位置复习，由于消化与体会时间短，那么学生很难深入领会其中的数学思想和数学方法，所以在考试时就不容易做到融会贯通.建议在日常的教学中适当引进高观点的教学，必定达到事半功倍的效果.

例3 (2017全国Ⅲ卷，理21)已知函数f(x)=x-1-alnx.

(Ⅰ) 若f(x)≥0，求a的值；

思路：第一问中，因为f(x)=x-1-alnx(x>0)，又f(x)≥0，即x-1-alnx≥0，从形式上看是含有“lnx”的不等式，变形为x-1≥alnx(x>0)恒成立.对比“模型”x-1≥lnx，x∈(0，+∞)，初步获悉a=1，考生就可锁定目标a只能为一个定值，在具体的求解过程中，对参数a的取值范围进行分类讨论、验算，这具有一定的特殊性，因此要注意特殊点的函数值.第二问充分利用泰勒公式的特殊情形以及其结论进行求解即可.

(Ⅱ) 由泰勒公式得x-1≥lnx，x∈(0，+∞)，

所以lnx

反思：思维得到训练，将会形成较好的解题素养，能很好地发展学生的逻辑推理，对构建解题思路也是比较敏捷的，学生平时做好相关高观点的定理、公式的记忆，在遇到难题时，就能快速地知道本题的结果，然后利用逆向思维结合高中知识进行求解，考生在解题时就胸有成竹了.

3 结束语

教学要基于学生的“最近发展区”，使得所有学生都有所发展，尽量用好、用活课本或课堂中出现的优质素材资源，教师根据教学目的采取横向或纵向的变式、深度挖掘、多设台阶、小坡度推进，渗透高观点的知识，以期在探究的过程中把学生思维逐步引向深入，达到“螺旋上升”的效果.至于最终落点高度，应该以追求最大化的效益为原则，即以学生能够切实达到的课标要求内的最高落点为佳.

高观点的指导教学，要真正做到和学生的思维无缝对接，通过教师引导，师生共同探究，最终目的是使学生探究感悟数学的精髓，培养学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的数学学科核心素养，进而培养学生高阶思维.学生的数学思维得以提升了，考生娴熟解答高考数学压轴题必将是顺理成章，那么对于拔尖学生的培养也就会功到自然成.