数形结合：一种常用的解题技巧
——由一组不等式组例题的教学引发的思考

骆建华

(江苏省如皋市白蒲镇初级中学，江苏南通，226511)

数形结合思想是数学解题中常用的数学思想，“数”抽象而形式化，“形”具体而形象化，它们在数学解题中相互作用互为补充.现结合一组不等式组考题的解答及教学谈谈笔者的做法，以期提升学生应用数形结合解决数学问题的能力．

1 一道例题及网络解法分析

1.1 例题呈现

1.2 网络解法分析

由x-a≥0得x≥a，由5-2x>1得x<2．∵不等式组只有四个整数解，∴其整数解为-2，-1，0，1，∴-3

网络解法分三步：第一步，解两个不等式；第二步，结合整数解的个数确定具体解；第三步，给出结论．网络解法为教学提供了可以参照的解题过程，但缺少了探索具体解题路径的思维过程，因此将网络解法直接运用于教学是不妥的.

2 题组教学及简析

2.1 题组教学片断

教师投影例题，请学生读题．

教师：题目要我们求什么？

学生1：求字母a的取值范围．

教师：那怎么解决这个问题呢？

(学生先在小组中探索解法)

学生2：既然是根据解的情况来求a的取值范围，那就一定与题中两个不等式的解集有关，我们应把这两个不等式先解出来．

教师：为什么？

学生3：不等式组的解在组成不等式组的不等式解集的公共部分．

(学生活动：自主解答，3分钟后，全班交流)

教师：说说具体解法.

学生4：我们先求出两个不等式的解集为x≥a，x<2．把x<2先在数轴表示在图1中，再把a落在2的左边．

图1

教师：怎么不可以落在2的右边或2上？

学生5：不等式组有四个整数解，所以不等式组是有解的，而标在2的右边或2上，不等式组就无解了.

教师：好的！那接下来呢？

学生6：由于只有四个整数，所以在解集a≤x<2中，只能包含四个整数1，0，-1，-2，所以a应介于-2，-3之间(可以等于-2)，所以，-3

教师：a为什么不可以等于-3呢？

学生7：a取-3的话，就有-3，-2，-1，0，1五个整数解了．

教师：a可以不取-2吗？

学生8：不行！这样会漏了一种符合题目要求的情形的．

教师：好的！一起来小结一下．

学生9：解答此类问题要用好数形结合思想，要用好数轴这个工具．

学生10：在用数轴前，不管三七二十一，先把不等式的解集逐一求出来．

学生11：对！求好解集后再去把能确定的解集在数轴上先表示出来，然后根据给的解或解集的情况去确定另一个解集的表示方法，进而得到字母或含字母的式子的取值范围．

教师：你们总结得都很棒！希望大家在解决这类问题时，把数轴用好，让数形结合的价值充分发挥出来．

2.2 过程简析

关于不等式组的解或解集的问题，一直是考试的热点和学生解题的难点．其实，问题之所以难解，主要还是方法欠缺，没有解题抓手．而上面的讲评就是给予学生解题方法和解题抓手的过程．从最后的总结看，教师的预期已经达到，学生通过反复思考与交流发现数轴是解决此类问题极好的工具，而数形结合则是解题的根本方法．为了引出数轴，教师先让学生自己审题思考，在首次交流中明确了题目的条件和所求，步步追问引导学生回忆出“确定不等式组的解集时，可借助于数轴来确定两解集的公共部分”，进而提出用数轴来解决问题的思路.在自主解答后，学生呈现了完整的分析和求解过程，给所有同学以示范.最后的小结提升，学生不仅用好了解题工具，明确了求解步骤，总结了解题方法，甚至还有了利用数形结合思想解答题目的意识．

3 教学感悟

3.1 重视发挥数轴的工具价值

对数轴的认知，学生在小学就有所接触，只不过当时并未明确概念而已．到了初中后，为了彰显数形结合的学段价值，人教版教材在七年级新授课第4课时便安排了数轴教学，让学生体会到数和点之间还可以存在这样一种关系．而随着平面直角坐标系的学习，两根数轴就撑起了一个平面，构建了更大空间内的数形对应关系．显然，数形结合的重要工具就是数轴，因而，数学教学中我们务必要高度重视数轴的工具价值挖掘，只要可以借助数轴解决的问题就一定要抓住机遇，让学生体会基于数轴的数形结合，体会到数轴在问题解决的价值所在，形成用数轴解决问题的自觉意识.以不等式组的解集确定为例，背口诀来确定固然是一种方法，但借助数轴确定对学生的发展促进是全方位的，是符合教材的编写意图和学生发展的现实需要．

3.2 重视数形对接的细节辨析

在数学认知活动中，数形结合紧密与否要看数形对接时细节的处置，处理得好，两者无缝结合，可形成完善的思路和成果，处理得不好，就会产生“裂缝”，形成偏离实际的结果和思路．所以，数形结合教学要特别重视数、形对接时细节的辨析．以本文中的例题为例，要先根据有四个整数解推出不等式组是有解，接下来，就是数形对接.此时，就要反复推敲x≥a中的a与2的位置关系了.有整数解，就一定有解，自然a应落在2的左边了.随之是对“只有四个整数解”的数形确认，这四个整数应是a≤x<2的解，比2小且最靠近2的4个整数是1，0，-1，-2．这时，就到了推敲a与-2，-3的位置关系了．借助数轴，画图推演“等于-2行不行”，“比-2小行不行”，“比-3小行不行”，“等于-3行不行”等诸多的问题，当通过细节的逐一辨析确定下a的位置后，本题的结果也就出来了．显然，数形结合的细节辨析对思路的形成和结果的得出影响巨大，教学中要予以高度重视．

3.3 重视网络资源的教学开发

现如今，大量的教学资源充斥在网络空间，只要你能想到的教学资源，网上几乎都有.于是乎，拿来主义盛行于当下的数学教学中，不少老师直接从网上把资源下载下来，投放到自己的教学之中．殊不知，网络资源未必接地气，未必能适用于你所教的班级，如果不加工地直接应用，有时会适得其反，不利于学生形成规范的数学思维．以本文中的例题为例，网上给出的解法对数轴只字未提，只是按部就班地给出了推理过程，而这个推理过程中，怎样由“只有四个整数解”去确定a的取值范围并未有详细的过程．如果教学时，把由解或解集的情况直接得到a的范围的过程抛给学生，他们是不可能获得如本文中的这种数形结合的解题策略的．今后，想要他们独自化解遇到的同类问题几乎是不太可能的．所以，笔者从网上获取到了例题及其解法后，首先进行了教学开发，利用教材给出的工具对网络解法进行补充，将例题探究的思路纳入到数形结合的轨道中来，为今后相同问题的解答提供了可以借鉴的便捷通道．