一道向量试题的多角度探析

陈 余，龙佳慧，李林春

(贵州师范大学数学科学学院，贵州贵阳，550025)

1 试题呈现

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2 试题立意分析

2.1 考查基础知识立意

《普通高中数学课程标准(2017年版)》要求学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、加法、减法、数乘运算、数量积运算和平面向量的基本定理以及平面向量的应用；能够使用向量语言、方法对数学问题进行表述，同时可以运用向量的相关知识解决现实生活、物理或数学中的问题[1].本题综合考查了平面向量、函数、不等式等内容，与《普通高中数学课程标准(2017年版)》的要求具有一致性.

2.2 考查思想方法立意

向量作为数与形之间的关键纽带，能够融数、形于一体，涉及的知识面较广.向量通常与不等式、函数等整合解题，尤其在解决向量参数取值范围这类题目时，经常借助函数的性质进行求解.本题重点考查了转化与化归思想、数形结合思想以及函数与方程思想.

3 解法探析

解法1坐标法+线性规划

如图1：以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系[2]，设P点坐标为(x,y).

图1 坐标法+线性规划

则A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),

∵直线BD与圆相切，

∴直线l与圆有公共点，即圆心C到直线l的距离d≤r，

评析：本解法通过建立直角坐标系，从代数角度分析，将向量参数取值范围的求解问题转化为线性规划问题.但是此类题型中有些约束条件会比较复杂，难以求解可行域，导致求解目标函数范围时计算量偏大，效率不高.

解法2判别式法

化简得：25x2-20(z+3)x+20z2-40z+84=0.

由解法1得：直线与圆有交点，方程有解，

∴z2-4z+3≤0，

∴1≤z≤3，

∴λ+μ≤3，故选A.

评析：本解法由解法1中直线与圆有交点得到启发——利用判别式法求解.但在把直线方程代入圆方程求解△的过程中，计算量较大，容易出错.

解法3参数方程(三角换元法)

∵-1≤sin(φ-θ)≤1，

∴1≤sin(φ-θ)+2≤3，即1≤λ+μ≤3，故选A.

评析：本解法利用向量的特殊性，将几何与代数进行巧妙转化，为函数性质的运用奠定基础，本题借助圆的参数方程、辅助角公式及三角函数的有界性进行求解，巧妙地突破了本题的难点，过程与解法1、2相比更加简洁，便于学生理解.

解法4等面积法+椭圆参数方程

如图2：过点C作CE⊥BD,交BD于点E,连接CE，

图2 等面积法+椭圆参数方程

由等面积法得：

BC·CD=BD·CE，

∴sin(θ+φ)+2≤1+2=3，∴λ+μ≤3，故选A.

评析：在求解圆的半径过程中，本解法区别于解法1中利用“点到直线的距离公式”，而是采用等面积法，过程更加直观、算法更加简洁.然后综合运用椭圆的参数方程、辅助角公式及正弦函数的有界性进行求解，虽涉猎的知识领域较广，但是便于理解，计算量较小.

解法5等和线法

补充：平面向量共线表达：

如图3，当且仅当P点与E点重合时，λ+μ=1

图3 等和线法

当P点位于其他位置时，

∴λ+μ=k(x+y),又∵E′、B、D三点共线，∴x+y=1，∴λ+μ=k，

所以需要做一个三角形与△ABD相似，并且相似比为k,并且经过P点，如图3所示，所以λ+μ=k>1,

∴k最大时，λ+μ最大，即平移B′D′使之与圆相切于另一边时最大，此时△AB″D″与△ABD的相似比为3.

∴k最大为3，∴(λ+μ)max=kmax=3，故选A.

评析：本解法借助等和线法找出参数取最大值时圆与直线的位置关系，根据三点共线巧妙地构造平行线，再利用三角形的相似比得出结果.此方法具有技巧性、过程简洁，有利于学生解决此类复杂题型.

4 一题多变——多题一解

4.1 改变形状

解析：∵O是三角形ABC的外心，

∴O在三角形的内部，假设该锐角三角形的外接圆的半径为1，

∴λ+μ<-1或λ+μ>1，如果λ+μ>1，则O应该在三角形外部，

∴该三角形不是锐角三角形，与已知矛盾，则λ+μ<-1.

评析：本题仅仅将题目图形改成平行四边形，这样更改之后的题目不适合使用建系进行处理，但是从等和线法的角度可以进行巧妙、快速的求解；本题的变式更加深入地表现了平面向量基本定理以及几何意义和数形结合等基本方法和基本思想，更具有选拔功能.

解析：如图4，延长AF、DE交于点M，延长AB、DC交于点N，则四边形AMDN为菱形，当P点位于边界CE上时，λ+μ取最小值，

图4

故此时λ+μ=3，即λ+μ的最小值为3.

4.2 改变形状、条件及所求

解法2因为题目没有特别说明△ABC是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题，可快速求解(解法略).

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解析：(坐标法+三角函数)如图5所示，以O为原点，OA、OB所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系.

图5

解析：建立如图6所示的直角坐标系.

图6

则A(-1，-1)，B(1，-1)，C(1，1)，D(-1，1)，

解析：如图7，以A为原点，AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系.

图7

则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).

化简得：(x-1)2+(y-2)2=2.

得x=λ，y=μ，所以λ2+μ2=x2+y2表示圆(x-1)2+(y-2)2=2上的点到原点的距离的平方，其最大值等于圆心(1,2)到原点的距离加上半径的平方，即

5 教学建议

一题多解是教师在数学教学活动中常用的手段和方式，对教师而言，一题多解既可以帮助教师提升解题能力，为启发学生思考提供思路，也可以深入挖掘题目中涉及的基本知识、基本思想、数学模型等.对学生而言，一题多解可提升数学思维的灵活性和发散性，帮助学生发现数学问题的本质，进一步提升分析问题、解决问题的能力.一题多解不是教学的目的，是培养学生创新思维的有效途径，变式和推广还可发散学生的思维，培养学生的应用意识.教师在教学中应注重引导学生多角度思考、分析问题，关注数学知识的整体性，渗透数学思想方法，培养数学核心素养.