四种偏微分方程的图像去噪技术比较分析

贾超贤

(淮南职业技术学院智能与电气工程学院，安徽 淮南 232001)

0 引言

图像在成像过程中不可避免地会受到噪声干扰，从而引起图像质量的退化，人的视觉效果也随之受到影响。如今，人们对图像的要求越来越高，这让图像处理技术成为研究热点。图像去噪方法是指在含噪图像中，利用各种模型滤除掉噪声成分[1]。然而，在含噪图像中，除了噪声之外还有边缘、纹理等不同成分，所以需要建立合适的数学模型，对图像中的噪声和图像信息进行区分再处理。图像去噪的关键在于以下两点[2]：1)将图像去噪看作一个分割问题，区分有用信息与噪声再建立数学模型，在此基础上通过开、闭运算等进行图像处理。2)在去噪的同时，不仅要滤除噪声，还要尽可能地减少图像边缘、纹理等细节信息的破坏。传统的去噪方法在去噪的同时会破坏图像边缘、纹理等重要特征，这使得传统的去噪方法难以维持图像去噪与边缘保持之间的平衡[3]。近些年发展起来的基于偏微分方程的图像去噪方法能够良好地兼顾噪声去除和边缘保持，较好地解决了这一问题[4]。同时，基于偏微分方程(PDE)对于图像边缘特征提取具有良好的控制效果，可以同时完成多个图像处理任务，比如同时进行滤波和修复，由于其灵活的拓扑学结构、广阔的应用领域而渐渐受到人们的重视[5]。本文基于PDE的图像去噪方法理论，分析了四种基于PDE的图像去噪模型，即选择平滑扩散模型、各向异性扩散模型、全变差模型和四阶偏微分方程模型。利用MATLAB软件进行图像去噪实验设计及仿真，根据图像质量评价标准SN对四种方程模型进行去噪效果评价。

1 相关理论概述

1.1 图像噪声概述

本文主要研究加性噪声，加性噪声图像的数学模型[6]可以表示为

u(x,y)=u0(x,y)+n(x,y),

(1)

其中，u0(x,y)为原始图像，u(x,y)为与u0(x,y)相同场景的观察图像，即退化图像，n(x,y)是均值为0、方差为σ2的噪声项。

图像恢复问题就是从已知图像u(x,y)得到恢复图像u0(x,y)。其中，高斯噪声的概率密度服从高斯分布。高斯分布，也称正态分布，又称常态分布，记为N(μ,σ2)，其中，μ,σ2为分布的参数，分别为高斯分布的期望和方差。当有确定值时，p(x)也就确定了，特别地，当u=0,σ2=1时，X的分布为标准的正态分布。

偏微分方程的去噪模型主要由两种方式导出，一种为从高斯平滑算子导出的偏微分方程，即热传导方程，由高斯滤波方程u(x,y,t)=G(x,y,t)×I(x,y)导出热传导方程：

∂tu=∇2u,u(x,y,0)=I(x,y).

(2)

另一种是由变分方法导出的偏微分方程，将图像去噪问题转化成泛函求极值问题。

首先，建立泛函及其约束条件：

(3)

(4)

(5)

其次，通过泛函变分，由泛函的极值条件求得欧拉/拉格朗日方程：

∇2u-λ(u-I)=0.

(6)

最后，在边界条件下求解，即将最小化问题视为如下演化方程(梯度下降流)的稳态解：

∂tu=∇2u-λ(u-I)，

(7)

u(x,y,0)=I(x,y).

(8)

1.2 四种基于PDE的图像去噪模型

1.2.1 选择平滑扩散模型

1992年，Catte等人在P-M模型的基础上，对梯度模进行正则化处理，得到更稳定的P-M模型[7]：

(9)

该模型用更平滑的Gσ×∇u代替P-M模型中的∇u，Gσ为高斯核函数，该式称为正则化P-M模型，相对于P-M模型而言具有以下优点：更有效地去除了图像中的大梯度噪声点。噪声点的梯度较大，扩散系数较小，与P-M模型比较，该模型先对图像进行平滑处理，一定程度上减小了噪声的影响，避免了噪声在边缘区域过分扩散。

1.2.2 各项异性扩散模型

1992年，Alvarez基于Catte模型的不足提出了“平均曲率流”各向异性扩散模型[8]：

(10)

其中，水平集曲线的曲率可表示为

(11)

其中，u(x,y,0)=u0(x,y)，t∈[0,T]。Gσ(x,y,t)为高斯平滑核，Gσ×∇u为梯度∇u的局部估计值，g(s)为非增函数。且s→∞时，g(s)倾向于0，当g(s)=1/s且σ=0时，得到一种极限情况：

(12)

该极限非常重要，因为它的解具有明显的几何解释，实际上，该方程对应下述能量函数的最小化：

(13)

(14)

其中，u(x,y,0)=u0(x,y)，t∈[0,T]。

1.2.3 全变差模型

(15)

通过拉格朗日乘数法将上述问题转化为无约束的最小化问题，并且证明了该问题解的适定性：

(16)

(17)

ut=g(|∇u|)uTT-λ(u-u0).

(18)

1.2.4 四阶偏微分方程模型

MAVEH等在2000年提出如下四阶偏微分方程[10]：

(19)

此方程基于下面的能量泛函：

(20)

其欧拉方程为

∇2[c(∇2u)∇2u]=0,

(21)

其中，c(·)与φ(·)满足的条件与P-M模型一致。

1.3 去噪模型构建与质量评价

1.3.1 四种去噪模型的算法设计

用MATLAB进行仿真时，需要先判断smooth_diffusion、directional_diffusion、TV_denoise和order4_diffusion算法中的变量是否已经存在。如果存在，就不再赋值；如果不存在，则需要赋值。以PM1为统一标准，计算归一化g(·)的参数k,a。对四种偏微分方程模型的图像去噪算法进行设计。

1)选择平滑扩散模型图像去噪算法设计，其迭代公式为

我国对美国出口的木质坐具和其他家具无论金额和数量在今年上半年还是保持着一定的增幅，木质坐具的出口金额增幅大于其他家具的出口金额增幅。可以看出今年北美木材的涨价对我国对美国家具出口中使用定制木材较多的卧室家具、办公家具、厨房家具等的影响大于木坐具。中美贸易摩擦由于增加关税还需要一段时间，今年上半年对我国向美国的家具出口影响不大，上半年不少家具出口企业抓紧完成美国订单，对于其他国家的订单先缓一缓，争取在中美贸易战爆发前尽快将美国订单先运到美国，而且今年人民币对美元汇率的一直走弱对我国向美国的家具出口还是有很大的促进作用(见表2)。

It+1=It+λ(cNx,y∇N(It)+cSx,y∇S(It)+cEx,y∇E(It)+cWx,y∇W(It)).

首先计算(N,S,E,W)四个方向的梯度：∇N(Ix,y)=Ix,y-1-Ix,y，∇S(Ix,y)=Ix,y+1-Ix,y，∇E(Ix,y)=Ix-1,y-Ix,y，

1.3.2 图像质量评价指标

本文采用信噪比SN和结构相似度SM作为图像去噪评价指标。信噪比(反映图像提供的信息量与所含噪声的比值)越高，或结构相似度越高，则表示图像质量越好，噪声越少。表达式如下：

(22)

SM(u,u0)=L(u,u0)×C(u,u0)×S(u,u0),

(23)

(24)

2 仿真结果与分析

2.1 图像加噪处理

为了比较四种偏微分方程图像去噪技术的去噪效果，本文以scenery图像为实验对象，运用MATLAB软件进行仿真程序编写，给图像加入均值为0，方差分别为5、15和30的高斯噪声。图像去噪实验在相同的实验环境进行，计算机配置：Inter©CoreTMi7-12800 H处理器，内存DDR4 16 G，显卡CT540M 4 G，软件MATLAB 2016b。当高斯均值为0、方差为15时加噪效果如图1所示。

(a)原始图像

(b)加噪图像(σ=15)图1 加噪图像与原始图像对比

2.2 图像去噪效果主观评价

为了比较不同去噪模型的去噪视觉效果与图像恢复细节情况，本文以σ=15时的scenery图像为例进行深入分析，效果图见图2。当高斯噪声的方差σ=15时，图像出现较为明显的灰白点，由于方差数值较小，图像没有出现明显的模糊或图像破坏情况，见图1(b)。对比加噪后效果图，通过四种去噪模型处理后的图像，噪声效果处理非常明显，噪声白点基本消失，整体视觉效果较好，见图2。但选择平滑扩散模型有效地避免了在边缘区域的过分扩散导致图像边缘的纹理保留较少情况，图像趋于模糊状态，见图2(a)；而各向异性扩散模型在灰度变化不大的地方更加光滑，而在图像的边缘点上，梯度图像的扩散速度较小，图像边缘能够得以保持，该模型对孤立噪点的去除也有较好的效果，见图2(b)；全变差模型不仅有效地去除了噪声，同时边缘特征也得以保持，在未添加fedality term处理时容易出现“块状”效应。对比图2(c)和图2(d)可以明显看出，fedality term能有效处理图像的“块状”效应，图像中的天空上白云边缘纹理更接近原图，见图1(a)；四阶偏微分方程模型在噪声去除方面能够得到较好的效果，但是该模型对高频成分敏感，容易破坏图像的纹理信息[11]。从图2(e)看出，图像中出现“闪点”情况，通过中值滤波可以有效去除去噪后留下的“闪点”纹理，见图2(f)。

(a)选择平滑扩散模型

(b)各向异性扩散模型

(c)无fedality term的全变差模型

(d)含fedality term的全变差模型

(e)四阶偏微分方程模型

(f)四阶偏微分方程模型+中值滤波图2 不同去噪模型去噪效果图(σ=15)

2.3 图像去噪效果客观评价

为了客观评价不同模型图像去噪效果，分别使用SN和SM图像质量评价指标对去噪处理后的图像进行分析，结果如表1所示。随着高斯噪声方差值的升高，各个模型的去噪效果降低。当方差σ=5时，各模型的去噪效果最好，其中，选择平滑扩散模型去噪仿真结果SN=16.230 4；各向异性扩散模型去噪结果SN=19.790 3；用全变差模型去噪时，若该模型无fedality term，该模型的去噪结果SN=22.221 7。若该模型有fedality term，该模型的去噪结果SN=21.874 1。四阶偏微分方程模型去噪结果SN=19.189 2。再对处理后的图片进行中值滤波，去除图片中的闪点，SN值有所上升。整体而言，全变差模型的SM值最高能达到0.943 5，其次为各项异性扩散模型和四阶偏微分方程模型，去噪效果最差为选择平滑扩散模型。综上所述，使用图像质量评价指标客观评价结果与主观视觉效果评价结果一致。

表1 不同去噪模型去噪效果客观评价结果

此外，为了综合评价不同去噪模型的时效性，对四种模型的平均运行时间进行统计分析，结果如表2所示。全变差模型的运行时间最长，但在可接受范围之内；其次为四阶偏微分方程模型和各向异性扩散模型；选择平滑扩散模型运行时间最短，但去除高斯噪声效果较差。所以，综合四种去噪模型的去噪图像质量与时效性，全变差模型具有比较明显的优势。

表2 不同去噪模型运行时间对比

3 结语

降低图像在采集、传输和存储过程所造成的污染度从而得到清晰图像是图像处理技术的重要部分。图像去噪就是对受污染的图像进行优化处理，改善图像质量而满足实际应用需求。本文通过MATLAB软件仿真对选择平滑扩散模型、各向异性扩散模型、全变差模型和四阶偏微分方程模型进行去噪效果评价。按去噪处理后图像SN值从大到小进行排序为全变差模型、各向异性扩散模型、四阶偏微方程模型、选择平滑扩散模型。