利用均值不等式求函数最值的六种方法

曹 昕 洪家凤

安徽省涡阳县第二中学 安徽省涡阳县第四中学

均值不等式是高中数学的一个重要公式，常出现在填空、选择题中，结合不等式的性质进行考查，部分大题解答过程中也常用到.下面结合实例给出求函数最值的6种方法.

1 整体代换法

在利用均值不等式求最值时常会遇到一些较复杂的运算，直接运算可能比较复杂甚至无法得出结果，而采用整体代换的方法.有时可以简化运算.

2 取平方法

解:由2x-1和5-2x的和为定值，得

≤4+(2x-1)(5-2x)=8.

3 变量变换法

当t=0时，y=0.

4 凑系数法

凑系数是使用配凑法解题的一个重要思路，常用在形如y=x(a-bx)(a,b为常数)的函数求最值，只需要将x(a-bx)配凑成和为定值的式子，即在x前面配上一个系数b使bx+(a-bx)=a,从而使等式满足求最值的条件进而解决问题.

例4当0

分析:在利用均值不等式求最值时，目标等式中需要满足和或者积为一个定值.本题由已知条件00，所以可以考虑给目标等式凑上一个系数构造成y=2x(8-2x)=8的形式使和为定值，从而求出目标等式的最大值.

解:y=x(8-2x)

当且仅当2x=8-2x时，上式等号成立.

即当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8.

5 凑项法

解:因为x0.

=-2+3=1，

所以当x=1时，函数f(x)的最大值为1.

6 分离法

所以，所求函数值域为(-∞，1]∪[9，+∞).

总而言之，利用均值不等式求解最值问题时，要熟练掌握变形技巧，积极地为利用均值不等式求解创造条件；要善于总结归纳解题方法，多加练习提高解题能力，提升利用均值不等式求最值问题的解题技巧.