基于自适应字典压缩感知的欠定工作模态参数识别

王继争，王 成,2+，陈建伟，李海波，赖雄鸣，王 鑫，何 霆

(1.华侨大学 计算机科学与技术学院，福建 厦门 361021；2.西安交通大学 机械结构强度与振动国家重点实验室，陕西 西安 710049；3.圣地亚哥州立大学 数学与统计学院，美国 加利福尼亚州 圣地亚哥 92182；4.华侨大学 机电及自动化学院，福建 厦门 361021)

0 引言

结构动力学分析的主要问题之一就是工作模态分析，识别如模态振型、阻尼比、固有频率等模态参数，多年来，模态分析被广泛地应用于线性动力系统的特征分析。盲源分离(Blind Source Separation, BSS)目的是在不了解混合过程和源信号的情况下，将源信号从混合信号中分离出来，BSS技术由于其直观、计算效率高、非参数化等优点被越来越多的结构动力学研究人员关注，并将其引入到仅通过系统响应信号识别模态参数问题当中。

基于独立分量分析[1-2]、二阶盲识别[3]等传统的BSS工作模态参数识别方法，建立了分离成分和模态参数之间的映射关系，但这些方法基本假设在正定或超定(即观测传感器数等于或大于模态坐标响应个数)情况下，其在实际工程应用中存在较大的局限性，例如成本和安装传感器困难等问题，基于传统的BSS工作模态参数识别方法无法应用于欠定工作模态参数识别中。因此，对于开发用于结构动态分析的欠定盲源分离(Underdetermined Blind Source Separation, UBSS)技术，在有限传感器的情况下处理识别高阶模态具有十分重要的研究意义。

稀疏成分分析(Sparse Component Analysis, SCA)为解决欠定盲源问题提供了有效的方法[4-5]，并且近年来SCA在欠定工作模态参数识别中也得到了广泛的应用[6-7]。SCA的主要假设是源信号在时域或转换域稀疏，由于大多数信号在时域非稀疏，SCA通常通过变换域的稀疏实现，基于短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform, STFT)[8]、离散余弦变换(Discrete Cosine Transform, DCT)[9]、小波变换(Wavelet Transform, WT)[10]等正交基稀疏变换方法已经成功应用于模态参数识别。SCA方法主要由两步法组成：混合矩阵估计和源信号恢复。第一步在源信号的混合方式和数目未知的情况下，利用正交基将时域响应信号转换到频域或时频域，并使用单源点检测和聚类算法对混合矩阵进行估计得到模态振型[11-12];第二步在第一步的基础上，由已知的混合矩阵利用L1范数最小化[13-14]以及光滑L0范数[8]等方法重构源信号得到模态坐标响应，最后利用单自由度技术从模态坐标响应中提取固有频率和阻尼比。基于SCA的欠定工作模态参数识别方法主要依赖信号在稀疏变换域的稀疏性进行实现，对稀疏性要求较高，但正交基变换方法往往不能使信号在变化域足够稀疏[14]，使得模态坐标响应的重构精度降低，并且基于L1范数最小化等模态坐标响应重构方法对噪声敏感。

近年来，压缩感知(Compressed Sensing, CS)[16]理论已经成为研究的热点，在健康监测[17]和源信号重构[18-19]等方面都得到了广泛的应用。CS技术将信号采集和数据压缩相结合，可以利用部分采样信号高概率的重构源信号。在UBSS模型中，欠定混合过程类似于压缩采样，根据UBSS与CS的等效模型，可以利用CS技术来实现欠定盲源分离问题，并且CS为信号的稀疏表示提供了强大的框架[20]，促进了UBSS的快速发展。BLUMENSATH等[21]建立了BSS和CS之间的联系，并指出搜索信号的稀疏字典是有效分离的关键。基于压缩感知的源信号恢复方法，利用稀疏字典对源信号进行稀疏表示，然后结合CS的稀疏系数重构算法可以较好地重构源信号。

压缩感知的稀疏表示方法主要分为两种：

(1)通过STFT、DCT、WT等来获得稀疏表示字典，为一种固定正交基字典策略。XU等[20]首先利用固定正交基字典开发了基于CS的框架，利用CS和固定正交基字典进行盲源分离，但由于固定正交基字典稀疏表示能力的限制，其源分离的效果较差。GUAN等[22]提出了基于压缩感知的欠定工作模态参数识别方法，通过正交基变换对模态坐标响应进行稀疏表示，当信号在正交基稀疏变换较差时，其识别的模态参数效果也较差。

(2)自适应稀疏字典学习方法[23-24]，通过字典学习得到的字典原子具有不同信号的特征，对信号具有更强的稀疏表示能力。余丰等[18]将CS和字典学习方法相结合用于欠定盲源分离，但该方法需要源信号的先验信息作为字典学习的训练样本，限制了字典学习方法在BSS上的应用。在文献[25-26]中，通过使用混合信号构造训练样本(Mixture-Trained Dictionary, MTD)以及利用DCT字典进行预分离构造训练样本(Estimated Source-Trained Dictionary, ESTD)等方法来实现无监督的字典学习，但这些方法从每个源捕获的特征不那么准确，从而导致源信号重构精度较低。

本文将自适应字典引入基于压缩感知的欠定工作模态参数识别中，并利用滤波分离方法构造字典学习的训练样本，提出了一种基于自适应字典压缩感知(Adaptive Dictionary Compressed Sensing, ADCS)的欠定工作模态参数识别方法。

1 基于压缩感知的欠定工作模态参数识别

1.1 工作模态参数识别理论

在振动学理论中，对于ndof自由度(Degree of Freedom, DOF)的线性时不变系统，运动控制方程可以写为：

(1)

振动位移响应X(t)=[x1(t),…,xndof(t)]T可以在模态坐标中分解为

(2)

式中：Φ∈Rndof×ndof为模态振型矩阵，每一列向量代表结构的某一阶振型，即Φ=[φ1,…,φndof]T；Q(t)=[q1(t),…,qndof(t)]T为各阶模态坐标响应。结构自由振动时各阶模态坐标响应可以表示为:

qi(t)=uie-ξiωitcos(ωit+θi),i=1,…,ndof。

(3)

式中：ωi和ξi分别是第i阶振型的频率和阻尼比；ui和θi是初始条件下的常数，工作模态参数识别的目的即从已知的结构响应信号X(t)中分解得到未知的模态振型Φ和模态坐标响应矩阵Q(t)，然后利用单自由度技术从Q(t)中提取得到固有频率ω和阻尼比ξ。

工程中，观测信号X(t)由n个位移传感器测得。此时，需要从理论模态振型矩阵Φ中抽取n个振动响应传感器位置对应的行组成工程模态振型矩阵Φ∈Rn×ndof。

传感器个数n与系统自由度ndof之间的关系可以分为3种情况：①当n>ndof，表示超定情况；②当n=ndof，表示正定情况；③当n

1.2 欠定盲源分离

欠定盲源分离的任务是利用观测信号对信源进行恢复，在不考虑噪声的情况下，欠定盲源分离问题的线性瞬时混合模型如式(4)和图1所示。

(4)

式中：A=Rn×m表示混合矩阵并且未知，X(t)∈Rn×T表示离散时间n个观测信号在T个时刻带来的采样样本，S(t)∈Rm×T代表m个源信号在T个时刻点上的采用样本组成的矩阵。在欠定情况下，观测信号个数n小于源信号数m，即n

式(3)和式(4)在数学表达式上存在相似性，其中模态振型矩阵Φ对应混合矩阵A，模态坐标响应矩阵Q(t)对应源信号S(t)。因此，UBSS技术可以较好地应用于欠定工作模态参数识别，对应关系如图2所示。

1.3 基于压缩感知的欠定工作模态参数识别模型

首先利用短时傅里叶变换将响应信号从时域变换到时频域，并结合单源点检测(Single-Source Points, SSPs)技术[27]和模糊C均值聚类(Fuzzy C-Means, FCM)[8]算法可以估计混合矩阵得到模态振型。在已知混合矩阵的基础上，UBSS模型和CS模型都是求解欠定线性方程组问题，将UBSS模型式(4)展开如下：

(5)

得到混合矩阵A后，可以将UBSS模型重构为CS模型，将式(5)改写为

(6)

式中Λij是以aij对角的T×T的对角矩阵，即

(7)

式(6)可以表示为

y=Λθ。

(8)

式(8)正是经典的压缩感知模型，Λ为测量矩阵，Λ∈RnT×mT；y为源信号θ的测量向量，y为nT×1的列向量；θ为mT×1的列向量，假设θ在字典D上可以稀疏表示，即

θ=Dg。

(9)

其中：D为一个稀疏表示字典，g为θ在D域的稀疏变换系数。结合式(8)和式(9)可以得到

y=ΛDg。

(10)

根据CS理论，若Λ和D约束等距性条件(Restricted Isometry Property, RIP)，且g在D域中是稀疏的，通过正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法求解式(10)得到稀疏系数g。

min||g||0。

(11)

将求得的稀疏系数g代入式(9)得到源信号，即可重构得到模态坐标响应，然后利用单自由度技术可以得到固有频率和阻尼比。

2 基于自适应字典压缩感知的欠定工作模态参数识别方法

2.1 自适应字典学习

传统的稀疏表示方法是利用信号在正交基字典的稀疏性对信号进行稀疏表示，往往不能使信号在变换域足够稀疏，因此寻找信号的更稀疏表示域成为分离源信号的关键，本文使用K均值奇异值分解(K-means Singular Value Decomposition,K-SVD)算法和层次耦合字典训练策略训练得到自适应字典。

2.1.1 基于K-SVD的字典学习

K-SVD对于给定的一组训练信号，通过求解最优化问题实现源信号的稀疏表示，在稀疏约束条件下训练得到自适应字典，相比正交基固定字典能够自适应地根据训练信号提取其特征，具有较强的稀疏表示能力。

字典学习基本思想是基于估计源信号的训练字典和基于当前字典之间更新交替的过程，随着字典自学习过程的不断深入，经过训练的字典对源信号的拟合性越来越好，从而提高源信号的分离精度。

K-SVD的算法模型描述为：

s.t.

∀k,||γk||0≤q。

(12)

式中：T为由训练信号组成的训练样本矩阵；D为训练字典；Γ为稀疏系数矩阵；γk为Γ的第k列;q为稀疏度，也是OMP算法的迭代次数。该算法旨在对字典进行迭代改进，实现信号的稀疏表示。

具体步骤如下：

步骤1字典初始化，从样本T中随机挑选L列作为初始化字典D。

步骤2稀疏编码，使用OMP算法计算稀疏系数。

步骤3字典更新，字典进行逐列更新，用Ek表示字典第k列的误差，则

(13)

式中：dj为字典的第j个原子，Γj为Γ的第j个行向量。奇异值分解Ek，有Ek=U∑VT，用U的第一列更新dj，重复步骤2，对D进行逐列更新。

2.1.2 层次耦合字典训练策略

分别对m组训练矩阵进行自适应字典学习，训练策略如图3所示。

K-SVD算法训练得到一个规模为L×L的字典，字典以L/2样本重叠的对角形式排列得到规模为T×T的自适应字典矩阵D1，其他字典D2,…,Dm以同样的方式生成，最后的字典矩阵将这m个字典以对角线排列的形式组成字典D。由于信号分割成小向量，通常会出现边界问题，即两个不相邻块的连接区域不连续性导致出现尾影，为了避免这种情况，将向量乘以一个汉明窗，在边界处光滑信号。

因此，式(11)中θ在字典D上的稀疏表示可以表示为：

(14)

式中：gj表示稀疏系数向量，Dj是sj的稀疏表示自适应字典。

2.2 滤波分离构造训练样本

使用字典学习方法对信号进行稀疏表示很重要的一步就是构造字典学习的训练样本，但在工作模态参数识别中，只有传感器测得的响应信号，没有任何模态坐标响应的先验知识，即无法已知源信号构造训练样本。RUAN等[25]和XU等[26]使用混合信号以及DCT字典预分离等方法构造训练样本，但这些方法从每个源捕获的特征不那么准确，导致信号重构精度较低。本文利用滤波分离构造训练样本，实现无监督的字典学习。其步骤为：

步骤1将时域响应信号xi(t)进行傅里叶变换得到频域响应信号xi(ξ)。

2.3 方法的流程步骤

将测得的时域响应信号利用短时傅里叶(STFT)转换到稀疏域(频域)，然后利用FCM算法在稀疏域估计混合矩阵从而得到模态振型；其次，使用字典学习方法训练得到具有更强稀疏表示能力的自适应字典，并使用压缩感知模型恢复源信号得到模态坐标响应；最后利用单自由度技术从模态坐标响应中提取固有频率和阻尼比。

本文提出的基于自适应字典压缩感知的欠定工作模态参数识别的整体步骤如图5所示。

2.4 方法的理论分析与比较

传统的二阶盲识(Second-Order Blind Identification, SOBI)[3]等基于BSS的工作模态参数识别方法只能识别出小于或等于传感器个数的模态参数，但在实际工程应用中存在较大的局限性。基于SCA[6-7]的欠定工作模态参数识别方法利用信号在正交基稀疏变换域的稀疏性识别出高于传感器个数的高阶模态，但信号的稀疏变换效果受到正交基稀疏变换方法的限制，当信号在正交基字典不是足够稀疏时，SCA方法识别精度降低[28]。本文提出的基于自适应字典压缩感知(ADCS)的欠定工作模态参数识别方法，利用CS的压缩重构特性[16]识别出高于传感器个数的高阶模态。在CS框架下通过K-SVD字典学习[23]方法自适应提取信号特征训练得到自适应字典，利用层次耦合字典训练策略来降低字典学习的时间复杂度，该方法使用自适应字典对信号进行稀疏表示，相比传统的DCT等正交基变换方法能够自适应根据训练信号提取特征，因此具有更高的稀疏变换效果，相比基于正交基压缩感知[22]的欠定工作模态参数识别方法具有更高的识别精度。ADCS采用滤波分离的方法构造自适应字典实现无监督的字典学习，并且能够过滤掉低幅值分量频率的高斯白噪声，相比混合信号构造训练样本(MTD)和DCT字典预分离构造训练样本(ESTD)的训练样本构造方法[25-26]能够更好地捕获每个源的特征，具有更好的鲁棒性。综上所述，表1对不同方法进行了比较。

表1 基于ADCS的欠定工作模态参数方法与其他工作模态参数识别方法的比较

续表1

3 仿真验证

3.1 仿真对象和数据集介绍

为了验证基于自适应字典压缩感知的欠定工作模态参数识别方法的正确性和精度，在MATLAB/Simulink中建立一个五自由度质量—弹簧—阻尼模型[29]，如图6所示。

如图6所示的五自由度质量—弹簧—阻尼系统的力学控制方程表示为：

k12x1(t)+(k12+k23)x2(t)-k23x3(t)=f2(t);

k23x2(t)+(k23+k34)x3(t)-k34x4(t)=f3(t);

k34x3(t)+(k34+k45)x4(t)-k45x5(t)=f4(t);

k45x4(t)+(k45+k5)x5(t)=f5(t)。

(15)

这里质量矩阵设置为M=diag([1 2 2 2 3])，刚度系数分别设置为k1=0，k12=800，k23=1 600，k34=2 400，k45=3 200，k5=4 000，即刚度矩阵设置为：

K=

(16)

3.2 参数设置

稀疏字典学习的样本构造帧长设置为L=250，重叠P=249，分层耦合的分块序列数K=4。K-SVD字典学习的初始字典用训练样本表示，迭代次数为10次;系统：64位操作系统;处理器：Intel(R)Core(TM)i5-8250 CPU @ 1.60 Hz 1.80 GHz;已安装内存(RAM)：16 GB;编程语言和环境：MATLAB 2016a。

3.3 评价方法与指标

通过有限元仿真和理论推导的方式得到理论的模态振型、模态坐标响应、固有频率和阻尼比。

(1)使用模态置信准则(Modal Assurance Criterion，MAC)方法评估模态振型的识别精度。

(17)

式中：φi表示理论第i阶模态振型，φi表示识别的第i阶模态振型，MAC值越接近1,则模态振型识别精度越高。

(2)定义相关系数评估重构的模态坐标响应的精度。

(18)

(3)固有频率和阻尼比与理论值进行比较评估其识别精度。

3.4 识别结果

在正定情况下，将通道1～通道5的响应信号作为输入，对比正交基压缩感知(DCTCS)、DCT字典预分离构造训练样本(ESTD)、混合信号构造训练样本(MTD)、SCA、SOBI等5种方法识别的模态参数，结果如表3所示。

表3 n=5情况下，不同方法识别的模态参数对比

在欠定情况下，将通道4和通道5的响应信号作为输入，ADCS识别的模态坐标响应的相关系数(取五阶的平均值)随稀疏度变化如图8所示。

在欠定情况下，将通道4和通道5的响应信号作为输入，ADCS的稀疏度设置为30，与DCTCS、ESTD、MTD、SCA、SOBI等5种方法进行对比，模态参数的识别结果如表4所示，时间开销如表5所示。ADCS重构的模态坐标响应时域、频域如图9所示。

表4 n=2情况下，不同方法识别的模态参数对比

续表4

表5 不同方法的时间开销 s

在欠定情况下，给响应信号添加不同信噪比的高斯白噪声，将通道4和通道5的响应信号作为输入，对比SCA方法识别的模态参数，结果如表6所示。

表6 不同噪声情况下，SCA和ADCS识别的模态参数对比

3.5 识别结果分析

(1)由表3的识别结果可知，在正定情况下，基于ADCS的欠定工作模态参数识别方法具有很好的识别效果，对比DCTCS方法识别精度更高。

(2)由图8可知，ADCS的识别精度随稀疏度的增强，识别精度升高，并在稀疏度小于200时，识别精度趋向稳定，说明在稀疏度较高时ADCS的识别精度较好。

(3)由表4和图9的识别结果可知，在欠定情况下，SOBI方法只能识别出等于传感器个数的模态模态参数，DCTCS、ESTD、MTD方法的模态参数识别效果较差，ADCS可以识别出高于传感器个数的高阶模态，且比SCA方法具有更高的识别精度。

(4)由表6的识别结果可知，在噪声情况下，随着噪声的增加SCA和ADCS重构的模态响应精度降低，但ADCS具有更好的鲁棒性。

4 结束语

本文提出一种基于自适应字典压缩感知的欠定工作模态参数识别方法。该方法在工作模态参数识别的框架下建立UBSS与CS的统一模型，利用CS特性，识别出高于传感器个数的高阶模态。在无任何先验知识的情况下，滤波分离构建得到训练样本，并使用K-SVD字典学习方法训练得到自适应字典，实现无监督的字典学习。与传统正交基字典不同，该算法在压缩感知框架下利用K-SVD方法学习得到自适应字典，求出信号的稀疏表示，对于信号的分解有更强的稀疏表示能力，能够有效地提高模态参数的识别精度。仿真验证结果表明，对比传统SCA、DCTCS、SOBI等方法，本文所提出的方法不但能够识别出高于传感器个数的高阶模态，并且模态参数识别精度更高，鲁棒性更好。

在未来工作中将对比采用更好的滤波分离算法和字典学习方法训练得到自适应字典，并通过具体的工程实例来验证所提方法的有效性。