含类分数阶Hukuhara导数集值积分微分方程的稳定性

王培光,毕佳慧,鲍俊艳

(河北大学 数学与信息科学学院, 河北 保定 071002)

众所周知,分数微积分学在物理科学、工程、生物科学和经济学等各个领域有着广泛的应用.分数阶微分方程的基本理论参见文献[1-2].关于分数阶微分方程的稳定性问题, Lakshmikantham等[3]利用类Lyapunov函数证明了分数阶微分方程的比较定理以及两度量稳定性.Hristova等[4]研究了具有Riemann-Liouville分数阶导数的微分方程的Lipschitz稳定性,并且利用分数阶方程中的Lyapunov函数的2类导数得到方程的稳定性条件.Agarwal等[5]在Caputo分数阶Dini导数的基础上,引入了Lyapunov函数导数的一个新定义,给出该定义与标量分数阶微分方程的比较结果,最后证明了解的严格稳定性.分数阶方程的研究结果还可参见文献[6-9].

近年来,集值微分方程理论受到学者们的普遍关注：文献[10-11]介绍了Hukuhara导数意义下的集值微分方程的性质以及应用.集值积分微分方程作为集值分析理论的重要组成部分,目前的研究结果并不多见，Ahmad等[12-13]利用Lyapunov函数给出了集值积分微分方程解的稳定性准则；Martynyuk等[14]在集值微分方程中引入类分数阶Hukuhara导数,并且讨论了它在集值微分方程中的应用.本文在此基础上,利用比较原理及类Lyapunov函数方法,讨论含类分数阶Hukuhara导数的集值积分微分方程解的稳定性问题,给出方程解的等度稳定性、一致稳定性、等度渐近稳定性和严格稳定性的判别准则.

1 预备知识

令Kc(Rn)表示Rn中所有非空紧凸子集的集合.对于A,B∈Kc(Rn),定义Hausdorff 度量如下

其中d(a,B)=inf[d(a,b):b∈B].特别地,D[A,θ]=supa∈Ad(a,θ),其中θ是Kc(Rn)中的零元素.

令A,B,C∈Kc(Rn),λ∈R+,则D[·，·]满足下列性质:D[A+C,B+C]=D[A,B],D[A,B]=D[B,A],D[λA,λB]=λD[A,B],D[A,B]≤D[A,C]+D[C,B].

令A,B∈Kc(Rn),若存在一个子集C∈Kc(Rn),使得A=B+C,则称C是A、B的Hukuhara差集,记为C=A⊖B.在一般条件下A⊖B≠A+(-1)B.

令Cq(I,Kc(Rn))为所有连续集值映射X:I→Kc(Rn)的集合,当 0

类分数阶Hukuhara导数与Hukuhara导数之间有如下关系.

定义2[14]集值映射X(t)的类分数阶Hukuhara型积分

引理2[14]若集值映射X(t):I→Kc(Rn)在I上Hukuhara意义下q-可微,则

为方便本文讨论,定义以下函数类：

本文考虑如下含类分数阶Hukuhara导数的集值积分微分方程

(1)

如果映射X∈Cq[I,Kc(Rn)]是方程(1)的解,当且仅当X满足

为研究方程(1)解的稳定性问题,首先引入下列函数类Λ.

定义3[15]若V(t,X)∈C[I×S(ρ),R+], 关于变量X满足局部Lipschitz条件,即|V(t,X)-V(t,Y)|≤LD[X,Y],则称函数V(t,X)属于函数类Λ.

定义类分数阶Lyapunov函数的广义Dini导数

通过引入两Lyapunov函数和比较原理, 给出方程(1)解的稳定性的判别准则.为此, 首先引入含类分数阶Hukuhara导数的纯量形式的积分微分方程

(2)

下面给出稳定性的定义.

1)等度稳定, 对于任意ε>0,t0∈R+,存在δ=δ(t0,ε)>0,使得D[X0,θ]<δ时,D[X(t),θ]<ε;

2)一致稳定, 若1)中的δ和t0无关;

3)等度吸引,对于任意ε>0,t0∈R+,存在δ=δ(t0)>0,T=T(t0,ε),使得当D[X0,θ]<δ时,有D[X(t),θ]<ε,t≥T+t0;

4)一致吸引, 若 3)中的δ,T和t0无关;

5)等度渐近稳定, 若 1)和 3)同时成立;

6)一致渐近稳定, 若 2)和 4)同时成立;

7)严格稳定, 对于任意的ε1>0,t0∈R+,存在δ1=δ1(t0,ε1)>0,使得当D[X0,θ]<δ1时,有D[X(t),θ]<ε1,并且对于任意的δ2=δ2(t0,ε1),δ2∈(0,δ1],存在ε2=ε2(t0,δ2),ε2∈(0,δ2],使得当D[X0,θ]>δ2时,有D[X(t),θ]>ε2;

8)一致严格稳定,若 7)中的δ和t0无关.

定义5[5]设(u(t,t0,u0),v(t,t0,v0))为系统(2)的解, 定义系统(2)平凡解的稳定性.

1)严格稳定,对于任意的ε1>0,t0∈R+,存在δ1=δ1(t0,ε1)>0,使得当|u0|<δ1时,有|u(t,t0,u0)|<ε1,并且对于任意的δ2=δ2(t0,ε1),δ2∈(0,δ1],存在ε2=ε2(t0,δ2),ε2∈(0,δ2],使得当|v0|>δ2时,有|v(t,t0,v0)|>ε2;

2)一致严格稳定,若1)中的δ和t0无关.

2 主要结果

引理3假设下列条件成立.

1)函数V∈Λ;

(3)

r(t,t0,u0)为当t≥t0时式(3)的最大解,其中u∈R+.则当V(t0,X0)≤(≥)u0时,有V(t,X(t))≤(≥)r(t,t0,u0)成立.

证明:情况1，当V(t0,X0)≤u0时,V(t,X(t))≤r(t,t0,u0).令m(t)=V(t,X(t)),h=ω(t-t0)1-q,0

m(t+h)-m(t)=V(t+h,X(t+h))-V(t,X(t))≤V(t+h,X(t)+hq(F(t,X(t))+

令X(t+h)=X(t)+Z(t,h),其中Z(t,h)是X(t+h)与X(t)的Hukuhara差集.可得

当h→0+时,两边同时取极限,可得

情况2，当V(t0,X0)≥u0时,V(t,X(t))≥r(t,t0,u0).其证明类似情况1,只需将情况1的证明中m(t)=V(t,X(t))改成m(t)=-V(t,X(t))即可.在此略去.引理3证毕.

推论1若引理3中的g(t,u)≡0,则V(t,X(t))≤(≥)V(t0,X0),t≥t0.

定理1假设下列条件成立.

2)对于η>0,V2∈C[R+×S(ρ)∩Sc(η),R+],V2(t,X)关于X满足局部Lipschitz条件,并且

b(D[X(t),θ])≤V2(t,X(t))≤a(D[X(t),θ]),a,b∈K,

3)比较方程

(4)

(5)

式(4)的平凡解是稳定的,式(5)的平凡解是一致稳定的,则方程(1)的解是等度稳定的.

证明: 令0<ε<ρ,t0∈R+.由于方程(5)的平凡解是一致稳定的,则对于给定的b(ε)>0,存在δ0=δ0(ε)>0,当v0<δ0时,有v(t,t0,v0)0,使得a(δ2)<δ0/2.由方程(4)的平凡解是稳定的,则对于上述δ0>0,存在δ*=δ*(t0,ε),当u0<δ*时,有u(t,t0,u0)<δ0/2,t≥t0,其中,u(t,t0,u0)是方程(4)的任意解.

选择u0=V1(t0,X0),V1(t,X)连续,V1(t,θ)=0,则存在δ1>0,使得D[X0,θ]<δ1,V1(t0,X0)<δ*.

同理可得,V1(t1,X(t1))≤r1(t1,t0,V1(t0,X0)),其中r1(t,t0,u0)是方程(4)的最大解.

可得V1(t1,X(t1))<δ0/2.有V2(t1,X(t1))≤a(δ2)<δ0/2.进一步可得b(ε)≤b(D[X(t2),θ])≤V2(t2,X(t2))≤m(t2)≤r2(t2,t1,m(t1))

定理2假设下列条件成立.

1)函数V1∈Λ,并且

3)存在充分小ρ0,使得V1(t,X)≤a0(D[X,θ]),(t,X)∈I×S(ρ0),a0∈K;

4)比较方程

(6)

的平凡解是一致稳定的.

方程(1)的解是等度渐近稳定的.

证明: 根据定理1,令ε=ρ,当D[X0,θ]<δ(t0,ρ),有D[X(t),θ]<ρ,t≥t0.

(7)

接下来证明,当t≥t0+T时,D[X(t),θ]<ε.假设不然,证明过程同定理1,可以得到, 当D[X0,θ]<δ(t0,ρ)时,D[X(t),θ]<ε,t≥t0+T成立.定理2证毕.

下面利用比较定理, 给出方程(1)解的稳定性判别准则.

定理3假设下列条件成立.

1)函数V∈Λ,并且有b(t,D[X(t),θ])≤V(t,X)≤a(t,D[X,θ]),a,b∈K;

(8)

r(t,t0,u0)是式(8)的最大解,那么比较方程(8)解的稳定性(渐近稳定性)蕴含方程(1)解的等度稳定性(等度渐近稳定性).

证明: 情况1,首先证明方程(1)解的等度稳定性.令0<ε<ρ,t0∈R+.假设方程(8)的解是稳定的,则对于给定的b(ε),t0∈R+,存在δ1=δ1(t0,ε)>0,使得当u0<δ1时,有

u(t,t0,u0)

(9)

其中,u(t,t0,u0)是方程(8)的任意解.

令u0=V(t0,X0),δ=δ(t0,ε)>0,满足

a(δ)<δ1,

(10)

那么当D[X0,θ]<δ时,有D[X(t),θ]<ε,t≥t0.事实上,假设不然,则存在t1>t0,使得当D[X0,θ]<δ时,有

D[X(t1),θ]=ε,D[X(t),θ]≤ε<ρ,t0≤t≤t1.

(11)

根据引理3,则有

V(t,X(t))≤u(t,t0,u0),t0≤t≤t1.

(12)

进一步,可得V(t0,X0)≤a(D[X0,θ])

得到矛盾.所以方程(1)的解是等度稳定的.

情况2,其次证方程(1)解的等度渐近稳定性.假设方程(8)的解是渐近稳定的,那么它的解是吸引的.因此,对于ε=ρ,存在δ=δ(t0,ρ)>0,令0<η<ρ,对于给定的b(η),存在δ2=δ2(t0)>0,T=T(t0,η),使得当u0<δ2时,有

u(t)

(13)

令u0=V(t0,X0),δ3=δ3(t0)>0且

a(δ3)<δ2.

(14)

令δ=min{δ2,δ3},结合式(14),有b(D[X(t),θ])≤V(t,X(t))≤u(t,t0,u0)

即方程(1)的解是等度吸引的, 从而可得方程(1)的解是等度渐近稳定的.定理3证毕.

定理4假设下列条件成立.

1)函数gi∈C[R+×R+,R+],gi(t,0)=0,i=1,2;

2)存在函数V1∈Λ,当t∈I,V1(t,θ)=0,使得

②

a(D[X(t),θ])≤V1(t,X)≤b(D[X(t),θ]),t∈I,a,b∈K.

3)存在函数V2∈Λ,使得

③

④

c(D[X(t),θ])≤V2(t,X)≤d(D[X(t),θ]),t∈I,c,d∈K.

4)

(15)

(u(t,t0,u0),v(t,t0,v0))为比较方程的解,那么方程(15)解的严格稳定性(一致严格稳定性)蕴含方程(1)解的严格稳定性(一致严格稳定性).

证明:情况1,证明方程(1)解的严格稳定性.假设系统(15)的解是严格稳定的, 则对于任意的ε1>0,存在δ1=δ1(t0,ε)≥0,并且对于任意的δ2∈(0,δ1],存在ε2∈(0,δ2],使得u0<δ1,v0>δ2,有

u(t,t0,u0)

(16)

v(t,t0,v0)>ε2,t≥t0.

(17)

由V1(t0,θ)=0,则存在δ3=δ3(t0,ε),δ3∈(0,δ1),使得当D[X,θ]<δ3时,有V1(t0,X)<δ1.令δ4∈(0,δ3],则存在δ5∈(0,δ1],使得c(δ4)>δ5.存在ε2∈(0,δ5],使得v0>δ5.进一步,选择ε3∈(0,δ4],使得b(ε3)<ε2,并且有δ4

令u0=V1(t0,X0),v0=V2(t0,X0).(u(t,t0,u0),v(t,t0,v0))是系统(15)的解,使得u(t,t0,u0)是第1个方程的最大解,v(t,t0,v0)是第2个方程的最小解,并且u0<δ1.因此u(t,t0,u0)满足式(16).根据X0和条件3)④,有v0=V2(t0,X0)≥c(D[X0,θ])>c(δ4)>δ5.因此v(t,t0,v0)满足式(17).

根据引理3和条件2)②, 得到a(D[X(t),θ])≤V(t,X(t))≤u(t,t0,u0)

根据引理3和条件3)④, 得到d(D[X(t),θ])≥V(t,X(t))≥v(t,t0,v0)>ε2>d(ε3),t≥t0.因此,D[X(t),θ]>ε3.定理得证.

情况2,其次证方程(1)解的一致严格稳定性假设系统(15)的解是一致严格稳定的, 则对于任意常数ε1∈(0,A],存在δ1=δ1(ε1)>0,对于任意δ2∈(0,δ1],存在ε2∈(0,δ2], 使得当u0<δ1,v0>δ2时,有

u(t,t0,u0)

(18)

v(t,t0,v0)>ε2,t≥t0.

(19)

选择δ3∈(0,A),使得b(δ3)<δ1,并且令D[X0,θ]<δ3.

令u0=V1(t0,X0).u(t,t0,u0)是系统(15)第1个方程的最大解.根据条件2)②,可以得到u0=V1(t0,X0)≤b(D[X0,θ])

假设不等式

D[X(t),θ]

(20)

不成立,则存在t*>t0,使得D[X(t),θ]

V1(t,X(t))≤u(t,t0,u0),t∈[t0,t*].

(21)

根据式(18)和式(21)和条件2)①,可以得到

a(A)=a(D[X(t*),θ])≤V1(t*,X(t*))≤u(t*,t0,u0)

(22)

矛盾,即不等式(20)成立.根据条件2)②和式(18),可以得到a(D[X(t),θ])≤V1(t,X(t))≤u(t*,t0,u0)

根据引理3, 有

V(t,X(t))≥v(t,t0,v0),t≥t0.

(23)

根据式(23)、(19)和条件3)④,可以得到

(24)

因此,不等式D[X(t),θ]>ε3,t≥t0成立.定理4得证.