随机变量及其分布解答题的解题策略及技巧

江苏省张家港市外国语学校 卢红卫 何 威 魏丹

随机变量及其分布一直是高考的重点、热点内容,主要考查用概率的方法解决问题的能力。随机变量及其分布是将不同背景的概率问题转化为统一的数学问题,再通过构建二项分布、超几何分布、正态分布概率模型解决事件问题,其中随机变量的分布、数字特征,以及二项分布、超几何分布、正态分布是主要考查内容。本文归纳了随机变量及其分布解答题的几类常见题型,并总结了一些答题策略及技巧,希望对同学们的复习能有所帮助。

题型一、正态分布、期望、方差

高考对统计数据的分析和处理要求明显提高,解答这类问题需要理解正态分布、平均数、标准差、方差的基本概念;掌握求正态分布、平均数、标准差、方差的计算公式和基本求法。求平均数、标准差、方差时,需要根据统计数据,理解正态分布中参考数据的含义,结合相关公式通过运算就可求出相应的统计指标。

例1教育部门最近出台了“双减”政策,即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担,持续规范校外培训(包括线上培训和线下培训)。“双减”政策的出台对校外培训机构的经济效益产生了严重影响。某大型校外培训机构为了规避风险,寻求发展制定科学方案,工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理,其中数据如表1所示。

表1

以频率估计概率,假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布N（μ,σ2）,μ,σ2分别为报名前200名学员消费的平均数及方差s2(同一区间的花费用区间的中点值替代)。

(2)试估计该机构学员2021年消费金额为［5.2,13.6）的概率(保留一位小数);

(3)若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人,记消费金额为［5.2,13.6）的人数为η,求η的期望和方差。

解析：(1)由题意得×0.25+8×0.3+10×0.1+12×0.15+14×0.05=8,σ2=（4-8）2×0.15+（6-8）2×0.25+（10-8）2×0.1+（12-8）2×0.15+（1 4-8）2×0.05=8。

点评:第(1)问根据表中数据,利用平均数和方差公式求解;第(2)问根据(1)的结论,利用3σ原则求解;第(3)问根据题意得η～,利用二项分布公式求解。二项分布的期望和方差的公式应牢记,是常考知识点。

题型二、超几何分布和二项分布

在求解随机变量的概率问题时,应该根据问题条件确定概率类型属于哪一种类型,结合超几何分布和二项分布的特征实施问题的解答;求随机变量的概率分布列的基本方法是:①根据题意得出随机变量的可能取值;②分别求出各随机变量值的概率;③得到随机变量的概率分布列。

例22022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京,北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会、冬季奥林匹克运动会及亚洲运动会三项国际赛事的城市! 为迎接冬奥会的到来,某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动,为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况,在该地随机选取了10所学校进行研究,得到图1中的数据。

图1

(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过30人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”,现在从这10所学校中随机选出3 所,记X为选出的“参与冬奥运动积极学校”的个数,求X的分布列和数学期望。

(2)现在有一个“单板滑雪”集训营,对“滑行、转弯、跳跃、停止”这4 个动作技巧进行集训,且在集训中进行了多轮测试。规定:在一轮测试中,这4个动作中至少有3 个动作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”。在集训测试中,小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为

所以X的分布列如表2所示:

表2

因为n∈N*,所以n的最小值为27,故至少要进行27轮测试。

点评:第(1)问中,由分析可知“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过30人的学校共5所,X的所有可能取值为0,1,2,3,计算出随机变量X在不同取值下的概率,可得出随机变量X的分布列,进一步可求得E(X)的值;第(2)问中,记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件A,计算出P(A)的值,利用二项分布的期望公式可得出关于n的不等式,求解即可。

题型三、与其他知识交汇

在高考中多次出现概率统计与函数、导数、数列等知识的交汇,考查学科知识综合应用的能力。

例32022 年2 月6 日,中国女足在两球落后的情况下,以3比2逆转击败韩国女足,成功夺得亚洲杯冠军,在之前的半决赛中,中国女足通过点球大战6∶5惊险战胜日本女足,其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球,表现神勇。

(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球。不考虑其他因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望。

(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外3人中的1人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住。记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn,易知p1=1,p2=0。

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn,试比较p10与q10的大小。

门将在前三次扑出点球的个数X的所有可能取值为0,1,2,3,则

所以X的分布列为表3:

表3

点评:本题与数列等知识的交汇,考查学科知识综合应用能力,需要构建数列递推关系式进行求解。

例4我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产,设试产该款芯片的次品率为p(0＜p＜1),且各个芯片的生产互不影响。视p为概率,记从试产的芯片中随机抽取n个恰好含有m(n＞m)个次品的概率为f(p),求证:f(p)在p=时取得最大值。

对概率统计的备考建议:重视核心概念,提升理解、辨析数学概念的能力;重视阅读理解,提升在实际问题中抽象数学关系的建模能力;重视决策表达,提升运用所学知识解决问题的能力;重视结论公式,提升分析和应用数字特征的能力。