概率统计中决策性问题的解题策略及技巧

浙江省湖州市行知中学 孙平

概率统计作为高考考查的重要知识点,是高考命题的热点与重点。解答题主要涉及三个方面:一是统计图表与分布列的综合性解答题;二是统计数据的数字特征与回归分析、独立性检验等的综合性解答题;三是统计图表与函数内容的结合,包括函数解析式的求解与应用等。以上三类问题的重心均在决策上,不同背景仅仅是为给出决策所进行的数据收集、数据分析和必要的数据处理。本文从两个类型的决策问题来分析如何在概率统计问题中给出合理的决策结果,并总结了一些答题策略及技巧,希望对同学们的复习有所帮助。

题型一、用回归分析来决策

统计图表与回归分析是高考常考的一类问题,常对具有现实情境的统计图表与回归分析问题进行创新性命题。解决这类问题的方法离不开灵活运用相关系数公式、经验回归方程等分析与计算,最后对实际问题作出合理的决策性选择。

例12020 年1 月15 日教育部制定出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》,也称“强基计划”。《意见》宣布:2020 年起不再组织开展高校自主招生工作,改为实行强基计划,强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生,据悉强基计划的校考由试点高校自主命题,校考过程中通过笔试后才能进入面试环节。

(1)为了更好地服务于高三学生,某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力x和判断力y进行统计,得到表1中的数据。

表1

请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y关于x的线性回归方程

(2)现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立,若某考生报考甲大学,每门笔试科目通过的概率均为,该考生报考乙大学,每门笔试科目通过的概率依次为,其中0＜m＜1,根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校,若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策,求该考生更希望通过乙大学笔试时m的取值范围。

参考公式:①线性相关系数r=一般地,相关系数r的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强;否则,线性相关性较弱。

点评:回归分析问题经常用大量文字和数据来说明实际现象和解读生活规律。解题时需要注意以下几个方面:①把握相关概念的本质,掌握基本模型;②在解题中重点关注数据的感悟、统计思维、统计语言;③多了解一些新兴科技技术,如“大数据”“人工智能”“云计算”等,将会越来越多地用到概率统计方面的知识,今后很可能在这方面出题;④与其他知识的组合(数列、导数、函数)。

题型二、用独立性检验来决策

独立性检验的问题是高考重点考查的一类问题,一般是中档题。解决独立性检验问题的基本方法是代入相关公式求解,查表比较与临界值的大小,从而判断两个变量是否有关系。

例2为落实十三五规划节能减排的国家政策,某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计,随机抽取A型和B型设备各100 台,得到如图1 和图2 所示的频率分布直方图。

(1)估算A型设备的使用寿命的第80百分位数。

图1

(2)将使用寿命超过2 500 小时和不超过2 500 小时的台数填入表2所示的列联表:

图2

表2

根据上面的列联表,能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2 500小时与型号有关?

(3)已知用频率估计概率,现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2 500 小时才能完成,工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计),A型和B型设备每台的价格分别为1 万元和0.6 万元,A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度,电价为0.75元/度。只考虑设备的成本和电费,你认为应选择哪种型号的设备? 请说明理由。

表3

解析：(1)前三组的频率之和为(0.000 2+0.000 4+0.000 6)×500=0.6,前四组频率之和为(0.000 2+0.000 4+0.000 6+0.000 5)×500=0.85,所以第80 百分位数一定位于[3 000,3 500)内,故第80百分位数为(小时)。

(2)由频率分布直方图可知,A型设备超过2 500小时的有100×(0.000 6+0.000 5+0.000 3)×500=70(台),则A型设备不超过2 500小时的有100-70=30(台),B型设备超过2 500小时的有100×(0.000 6+0.000 3+0.000 1)×500=50(台),则B型设备不超过2 500小时的有100-50=50(台),故可得到完整的2×2列联表,如表4所示:8.333＞6.635,所以有99%的把握认为使用寿命是否超过2 500小时与型号有关。

表4

(3)A型设备每台变换的频率为0.3,所以10台A型设备估计要更换3台,B设备每台变换的频率为,所以10台B型设备估计要更换5台,选择A型设备的总费用y1=(10+3)×1+10×2×0.75×2 500×10-4=16.75(万元),选择B型设备的总费用y2=(10+5)×0.6+10×6×0.75×2 500×10-4=20.25(万元),故选择A型设备。

点评:求解独立性检验问题的基本步骤:①依据样本数据整理出列联表;②将列联表中的数据代入相关公式求出随机变量的观测值;③查临界值表,根据概率的大小给出相应的决策。

总之,处理概率统计中决策性问题的求解策略和步骤简称为“定、算、判”,即先定统计量:根据题设所问,如利润最大,合理性判断或估值等,确定需要计算的统计量,如平均数,方差或期望,概率等;再算统计量:根据第一步确定的方向,利用定义及公式准确计算出所需统计量的数值;最后判断作出决策:根据第二步计算出的数值的大小,将其进行比较,得出所需的结论,作出合理的决策。