线性转化在物理实验数据处理中的应用

■湖北省松滋市第一中学 刘万强 魏朝阳

数据处理是物理实验中的重要组成部分,利用线性图像处理实验数据是重要的、常见的手段之一,它能够形象准确直观地反映出实验过程的变化趋势和特征等动态特性,具有尺规作图方便直观、信息提取便捷准确、内涵丰富外延深刻等优势。下面就线性函数的意义、线性函数的转化和实验案例进行分析讨论,供大家参考。

一、线性函数的物理意义

线性指因变量与自变量之间成一次函数的关系,即y=kx+b,其图像为一条倾斜的直线。研究线性图像的斜率、截距、面积等,具有特殊的意义。如图1所示,图像的斜率表示纵轴因变量y随横轴自变量x的变化快慢,主要用来讨论物理量的变化率。截距b对应特殊的工作状态,需要借助函数关系的表达式分析其物理意义,常用于寻找线性元件的工作点。面积表示纵轴物理量对横轴物理量的累积。

图1

二、复杂函数的线性转化

若按物理量的关系作出的图像是曲线,导致利用图像获取有关参数比较困难,则需要将该图像线性化,即将复杂的函数关系用直线表示出来。常见的线性转化有:

1.若y=a·xb,其中a、b为常数,则lgy=blgx+lga,lgy为lgx的线性函数,斜率为b,截距为lga。

2.若xy=c,其中c为常数,则为的线性函数,斜率为c,截距为0。

3.若y=ax2+bx+c,其中a、b、c为常数,则为x的线性函数,斜率为a,截距为b。

在高中物理实验中,若进行数据处理时两个物理变量的函数关系不是一次函数,则需要进行线性转化。教材中常见的线性转化如表1所示。

三、线性转化的案例分析

1.直接建立线性关系。通过实验原理的分析,转换实验中的物理量,将实验数据之间的函数关系直接呈现为线性关系的情况比较常见。比如“探究弹簧弹力与伸长量的关系”中的m-x图像,可以联立f=kx和f=mg,变形得

例1某实验小组要测定一节蓄电池的电动势及内阻,要求测量结果尽量准确,实验器材如下:电流表A1(量程为0～200 μA,内阻为800 Ω),电流表A2(量程为0～300 mA,内阻约为0.3 Ω),定值电阻R1(阻值为4 Ω),定值电阻R2(阻值为9 200 Ω),滑动变阻器R(最大阻值为50 Ω),待测蓄电池(电动势约为2 V),开关S,导线若干。

(1)实验小组连接的实物电路如图2所示,图中虚线框内的电表应选_____(选填“A1”或“A2”),图中虚线框内的定值电阻应选_____(选填“R1”或“R2”)。

图2

(2)电流表A1的示数用I1表示,电流表A2的示数用I2表示,该小组多次改变滑动变阻器滑片位置,得到了多组I1、I2数据,并作出I1-(I1+I2)图像,如图3所示。根据图像可知,待测蓄电池的电动势为____V,内阻为____Ω。(结果均保留2位有效数字)

图3

(3)从实验设计原理来看,该蓄电池电动势的测量值_____(选填“大于”“小于”或“等于”)真实值,内阻的测量值____(选填“大于”“小于”或“等于”)真实值。

解析：(1)图中虚线框内的电表应选A2,因为该电表用来测量通过滑动变阻器的电流,需要选择量程较大的电流表。蓄电池的电动势约为2 V,电流表A1串联一定值电阻改装为电压表使用的量程应为0～2 V,因此串联电阻,即虚线框内的定值电阻应选R2。

(2)根据实验电路知I1(R2+RA1)=E-(I1+I2)(r+R1),整理得,结合I1-(I1+I2)图像得解得E=1.9 V,r=1.0 Ω。

(3)因为实验设计中已考虑到电表内阻,所以电动势和内阻的测量没有误差。

答案：(1)A2R2(2)1.9 1.0(3)等于 等于

点评:本题根据闭合电路欧姆定律I1(R2+RA1)=E-(I1+I2)(r+R1),推导出直接呈现出I1为(I1+I2)的线性关系,利用截距和斜率,顺利解得电动势E和内阻r。

2.间接建立线性关系。若物理实验数据之间的函数关系呈现的是非线性关系,则往往需要通过倒数、平方、对数等转换,建立线性关系。比如“测电源电动势和内阻”的实验中要想得到线性的图像,则需将闭合电路欧姆定律进行“倒数转化”,变形为;再如“利用单摆测定重力加速度”实验中要想得到线性的T2-l图像,则需将单摆周期公式进行“平方转化”,变形为

例2某同学利用一根压缩的弹簧弹开带有遮光片的滑块测量滑块与木板间的动摩擦因数。实验装置如图4所示,将木板水平固定在桌面上,将弹簧的左端固定在挡板上,弹簧的右端与滑块刚好接触(但不拴接),将光电门固定在木板上靠近滑块处。实验步骤如下:

图4

(1)用游标卡尺测量遮光片的宽度d,其示数如图5所示,则d=____cm。

图5

(2)将光电门连接计时器,让滑块压缩弹簧至P点(图4中未画出),释放后滑块被弹开并沿木板向右滑动,计时器记录遮光片通过光电门的时间Δt,并测量滑块停止时的位置与光电门之间的距离x,则可用____表示滑块经过光电门时速度的大小。

(3)改变P点的位置,多次重复步骤(2)。

图6

解析：(1)游标卡尺的示数d=1 cm+2×0.1 mm=1.02 cm。

(4)滑块从光电门运动到停止,根据牛顿第二定律得μmg=ma,根据匀变速直线运动速度和位移的关系得v2=2ax,整理得,结合图像得斜率解得

答案：(1)1.02 (2)(4)