指向学生“数学观念”形成和发展的教学实践

【摘要】基于波利亚的“怎样解题表”，按照厘清题设条件，明确问题本质；探寻思维方向，找准思维路径；运用代数转化，表征几何特征；回顾解题过程，建构数学观念四个步骤设计剖析一道解析几何试题的教学流程，探索促进学生数学观念形成和发展的教学实践策略.

【关键词】观念建构;解析几何;试题剖析

1问题提出

米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一书中提到：学生经历过学校数学教育后，数学的精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等将被深深铭刻在学生的头脑中，随时随地发生作用，使他们受益终生.这些植根于学生头脑中的思想、方法、观点就是数学观念［１］.数学观念的形成既不可能是空中楼阁，也不可能通过大量数学知识的堆积自发形成，而是在学生对数学知识的深刻理解和实际应用过程中不断反思概括生成的．因此，数学教师应当通过具体的教学活动实践夯实学生的知识基础，渗透数学思想，提升学生数学思维能力，促进学生数学观念的形成和发展.本文将按照波利亚的“怎样解题表”中研究问题的步骤设计剖析一道解析几何试题的教学流程，探索促进学生数学观念形成和发展的教学实践策略.

2指向学生“数学观念”形成和发展的实践活动

按照波利亚的“怎样解题表”将研究问题的过程分为以下几个步骤：第一步，准确理解题意，明确问题的本质；第二步，找准解决问题的思维方向，寻找思维路径；第三步，进行数学运算转化，建立题设条件与结论之间的关联；第四步，回顾反思.其中确定解决问题的思维方向决定着解题效率的高低，是能否成功解决问题的关键步骤.学生头脑中有什么样的数学观念就会产生相应的思维方向.

2.1厘清题设条件，明确问题本质

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过动点P的两条直线l1，l2均与C相切，且l1，l2的斜率之积为－1，点A（－3，0），问：是否存在定点B，使得PA·PB=0？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.

本题考查的是解析几何中的定点定值问题，条件简洁，结论明确.本题中涵盖的条件有：两直线的交点，直线与椭圆相切，两直线垂直.结论是探究存在定点使得数量积恒为零.解析几何中的定点定值问题直观反映了曲线“动中有静”的特性，其本质是数学中的恒成立问题.探究解析几何中恒成立问题的两种常用方法是先猜后证和多项式恒等.先猜后证方法中蕴含了数学探究、直观想象、逻辑推理等核心素养；多项式恒等方法蕴含函数与方程、等价转化等数学思想方法.两种方法都需要学生拥有完备的基础知识、基本技能、基本方法和基本数学活动经验，掌握宏观的、概括的上位知识，建立起研究问题的高阶观念.因此，本问题能够较好地考察学生的数学基础知识、数学思维水平和数学关键能力.

2.2探寻思维方向，找准思维路径

解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题，逻辑推理和运算求解是处理解析几何的关键能力.解析几何的试题一般入口较宽，很容易“上手”，但是不同解法间运算量的差异很大，有的是“可望而不可及”.为此，在解析几何的教学中要特别注重对不同方法的运算思路和运算量进行分析、比较，找出差异，以便明晰算理，引入恰当的参数，探寻运算的最佳路径，提升处理解析几何问题的关键能力.

怎样才能迅速、准确地确定解决问题的思维方向，找准思维路径？最为重要的是学生要能从不同视角审视问题，看清问题的本质.为此，教师可以通过指导学生画出研究问题的思维导图，厘清研究问题的思维过程，明晰解决问题的算理，选择简洁合理的运算路径.

这是一道探究定点是否存在的问题，问题中的点A是定点，点P是动点，并且满足PA·PB=0，根据平面几何可知，如果定点B存在，则动点P的轨迹是圆，圆的直径是线段AB，因此可以探究动点P的轨迹方程，确定动点P轨迹，进而确定定点B的位置.

研究本问题的思维导图如下：

畫出思维导图，找到解决问题的思维方向后，需要学生洞悉问题的数学本质，明晰解决问题的算理，引入恰当的参数参与代数运算，表征转化几何特征.

2.3运用代数转化，表征几何特征

在进行代数运算转化时，要根据学情，从学生最容易想到的通性通法入手，在此基础上，调整思维方向，变更研究问题视角，提升思维层次，优化解题方法.基于此，确定此问题的思维进阶层次为：

按照思维进阶的层次确定本题的评讲顺序为：设出两条直线方程解出交点P，利用两直线垂直关系和直线与椭圆相切知识，求出点P的轨迹方程；利用方程同构思想，构造出以两切线斜率为根的一元二次方程，根据韦达定理化简得出点P的轨迹方程；利用曲线与方程思想，得到切点弦方程，根据直线与椭圆相交的位置关系，联立方程组，转化得出点P的轨迹方程.

2.4回顾解题过程，建构数学观念

平面解析几何中探究动点轨迹方程方法的本质是建立动点横纵坐标之间的等量关系［２］.基于对问题中动点P的生成过程、地位、作用等不同的认知角度，得到了三种不同的解题方法，三种解法对应着三种不同的思维方向和思考路径.解法一是从生成动点P的过程思考问题的，将动点P看成是两条动直线l1，l2的交点，支撑这一想法的观念是“交轨观念”；解法二是从动点P的地位思考问题的，将动点P看成是生成两条动直线l1，l2的一个几何元素，设出两直线l1，l2方程的统一形式，支撑这一想法的观念是“同构观念”；解法三是从动点P的作用思考问题的，将动点P的坐标看成是两条动直线l1，l2方程中的参数，得到切点弦方程，支撑这一想法的观念是“曲线与方程观念”.

3教学思考

3.1试题剖析指向知识建构

数学知识是数学思想、数学思维、数学核心素养的根基，学生在建构结构完善的知识体系的过程中，可以生成更好的数学观念.试题剖析时首先要厘清试题中包含的数学知识，帮助学生回顾、重构相关的知识体系.本案例中涉及的知识有两条直线的交点、直线与椭圆相切、直线与圆相切、韦达定理等.在回顾、重构相关知识的同时，教师还应帮助学生进一步完善知识体系，将两直线交点拓展到直线与曲线、曲线与曲线的交点，将直线与椭圆相切的关系拓展到直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等.经此拓展，学生的知识大树便会养分充足，枝繁叶茂，根基牢固，为更多数学观念的形成奠定坚实的基础.

3.2试题剖析指向思想建构

数学思想方法是数学的精髓和本质.在试题剖析时以某一思想方法为主线，对问题进行探究，揭示问题的本质，让学生感受同类问题的通性通法.本案例教学中，三种讲评方法中分别蕴含方程（组）思想、转化与化归思想、同构思想、曲线与方程等数学思想，在不同数学思想的指引下，分别产生不同的知识应用和方法应用，体现一题多解，多解归一，拓宽学了生的解题思路.三种讲评方法的指向又是统一的，都是建立动点P的轨迹方程，确定动点P的轨迹，体现了解析几何中用方程研究曲线的基本思想，促进学生更加深刻体会解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题.

3.3试题剖析指向思维提升

普通高中课程标准指出，数学教育要引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，促进学生思维能力的发展［３］.数学思维能力是能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力，数学思维品质的优化能够帮助学生更有条理地分析问题的题设和结论，有利于拓宽学生的解题视野，寻找更优的解题路径，深刻认识数学问题的本质，促进数学观念的建构.提升数学思维能力既是促进学生观念建构的重要途径，也是观念建构的价值取向.

通过试题剖析活动要能真正与学生的现有思维水平、观念认知相契合.教学中教师要基于学生已有的思维水平和观念认知水平，确定剖析问题的先后逻辑顺序，这就要求教师讲清楚解决问题的思维路径，找出学生思维进阶的障碍点，突破障碍点，贴近学生的思维水平进行试题剖析活动，促进思维水平的提升.本案例中贴近学生最近发展区的思路是设出两条直线的方程解交点，再利用两直线垂直的斜率关系、直线与椭圆相切的相关知识转化得出动点P的轨迹方程.在此基础上，利用几何上同构的属性进行代数上的同构，进而转化出动点P的轨迹方程.按此思维路径分析转化问题，让学生经历从开始分析问题时的“雾里看花”到突破问题时的“拨云见日”，让学生体会思维上的辗转进阶，帮助学生建立起研究问题的高阶观念.

参考文献

［1］米山国藏.数学的精神思想和方法-[M-].毛正中，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019.

［2］单墫，李善良.普通高中教科书.选择性必修第一册-[M-].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

［3］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）-[M-].北京：人民教育出版社，2018.

作者简介徐红兵（1982—），男，教育硕士，中学高级教师，全国优秀教师；江苏省高中数學教师基本功大赛一等奖；研究方向为高中数学教学.