使用“强相关”探究一类圆锥曲线定点定值的本质

江苏省兴化中学 (225700) 张海泉

圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,是高考的重点考查内容.这部分内容综合性较强,计算能力要求很高.学生在高考及各类模拟考试中经常遇到圆锥曲线中的定点与定值及定轨迹问题,不免会产生疑惑,为什么会有如此之多的定点定值及定轨迹问题？是否有规律可循？是否有通式通法？

我们知道，数学对象的本质特征可以有多种等价的表现形式,圆锥曲线中有着丰富多彩的几何性质,而这些几何性质可以通过坐标系将所研究的点、线等问题用变量x,y有序数组化,将几何问题归结为代数问题.通过代数推理与运算融合,转化为变量之间的“强相关”,将这些具有“强相关”的数与式翻译成几何结论,使得代数特征几何视觉化,从而呈现为圆锥曲线中定点、定值、定轨迹等问题.

图1

图2

猜想这个定值是否是因为直线经过了焦点F的缘故？

图3

探究1 将几何问题代数化.

若PQ垂直于x轴，可验证同样成立(验证略).

探究2是否任意椭圆中都有这种强相关？

说明y1y2与x1+x2间也有着线性“强相关”.

于是利用这种强相关可推广到一般解法.

图4

若PQ垂直于x轴，可验证同样成立(验证略).

探究4 如图5,直线PQ过定点M,说明P、Q两点必然有线性“强相关”,且AB两点关于原点对称,所以AP,BQ两直线应该也有“强相关”,猜想这种“强相关”表现为AP,BQ的交点必具有某种特定属性.

图5

下面来探究这个交点G.

利用变量之间“强相关”相消的方法；试着将定点拓展为定值问题.

图6

经过初步对称性分析,不难知道定点一定在x轴上,所以只要求出直线BM的横截距即可,而横截距表达式中含有x1y2,x2y1.于是很自然的想到y1±y2与x1y2±x2y1之间的“强相关”,进而用y1,y2线性表示出x1y2,x2y1,从而达到消元减元成定值的目的.