函数与方程思想在解题中的运用

黄康芳

摘   要：函数与方程思想是中学数学应用最为广泛的基本思想之一，是解题过程的一个通性方法，可在处理实际应用、数列、不等式、解析几何与立体几何问题过程发挥引导性的关键作用.在应用过程中，需要强化学生的相关知识应用意识，以及对问题进行化简化归的意识，以不断增强学生在相关问题的思维能力，从而促进数学深度学习.

关键词：函数；方程；思想方法

函数与方程的思想是中学数学最具奠基性和总结性，应用最为广泛的基本思想之一.它是人们在概括了大量的数学思维活动之后产生的一种能反映数学问题本质的认识.[ 1 ]函数与方程思想渗透到中学数学各个领域，是历届高考考查的重点内容.

在问题解决中应用函数思想，一般是指构造函数以将问题中的数量关系化歸为函数关系并利用所构造函数的性质（定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性等）解决原型问题的过程．在问题解决中应用方程思想，一般是指将问题中待求的量设为未知数，将隐含的等量关系化归为方程（组）的等式关系并通过解方程（组）达到解决原型问题的过程．

函数与方程思想可将待解决的问题转化为有固定解决模式的函数与方程问题，二者关系密切：函数式y=f（x）可视为二元方程式y-f（x）=0；函数y=f（x）的零点即方程y=f（x）=0的解；函数y=f（x）和y=g（x）的图象交点的横坐标就是方程f（x）=g（x）的解.方程问题和函数问题大都可以相互转化．

构造函数解析式、列方程（组）是应用函数方程思想的关键，中学阶段，应用函数思想时构造的函数主要是低于四次的整式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等．应用方程思想时列出的方程也大都是上述函数所对应的方程式．

高考通常使用选择题和填空题考查简单应用函数与方程思想的能力，使用解答题在知识网络交汇处深层次考查综合应用函数与方程思想的能力．运用函数与方程思想可以处理与函数建模有关的实际应用问题，也可以处理许多不等式、数列、解几和立几问题．

1  运用函数与方程思想处理实际应用问题

例1．某地区有三个工厂，其位置分别可表示为矩形ABCD 的顶点A，B 和CD的中点P 处（如图1），现已知AB=20 km，CB =10 km，为处理三个工厂排出的污水，须在矩形ABCD 所在区域上（含边界），且与两点A，B等距的点O处建一污水处理工厂，然后再铺设排污管道AO，BO和OP .假设排污的管道总长为y km．

评析：运用函数与方程思想处理实际应用问题时都有一个建立函数模型的过程[ 2 ]，建模时首先要审清题意确定一个自变量，并用它来表示其它各个变量，写出函数关系式后，要依题设确定出自变量的范围．问题（Ⅱ）选用函数关系式时，通过对比，选出的是一个使问题变得比较简单的关系式．

2  运用函数与方程思想处理数列问题

例2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是         ．

分析：奇数项与偶数项都构成公差为2d的等差数列，列出以等差数列的基本量为未知数的方程组，求公差可归结为解方程组问题．

解：设等差数列的首项为a1，公差为d，据题意得：5a1+20d=155a1+25d=30解得d=3，填3．

评析：有关等差、等比数列基本量的计算问题大都可使用方程思想进行处理．

评析：解决几何图形的动态变化问题，可分析各个量在变化中的相互关系，以从中找出一个自变量，通过构造新的函数以将问题化为函数的求值问题．

总之，在几何解题过程中，大都是将问题转化为解三角形问题，而在代数与解析几何解题过程中，大都是将问题转化为与函数、解方程或解不等式的问题.因而，函数与方程思想在解题中的运用，代表着数学解题的一个重要转化与化归方向，是日常数学解题的通性方法，需要解题者备加关注，通过强化相关知识的应用意识，以及对问题进行化简化归的意识，不断增强学生在处理相关问题方面的思维能力，从而促进学生的数学深度学习[ 3 ]．

参考文献：

［1］ 王钦敏，余明芳．数学思维素养深度涵育：教学的进路与方略[J]．数学教育学报，2020（6）：56-60．

［2］ 白雪松.以“函数与方程思想”为例谈数学思想的教学[J]．中学数学，2020（7）：30-31．

［3］ 余明芳.数学教学中促进深度学习的若干路径与策略[J]．福建中学数学，2022（10）：25-27．