从点阵看算式

□ 贾陆宇 郜舒竹

点阵是表征数字符号的直观模型，常作为数形结合的载体，出现于教科书中数的认识、表内乘法、倍数与因数等内容中，用以帮助学生建立具体与抽象间的联系。长期以来，小学数学学科关于“数与运算”主题的课程设计与课堂教学，更重视计算的速度与准确性，相对忽视运用数形结合的方式“发现”算式间关系的过程。

学生对点阵的观察及其动态变换的操作，能够帮助他们进一步理解算理、明晰算法，提升对算式间等价关系的认知。在实际教学中，教师应重视对此类直观模型的运用，通过呈现直观图式辅助教学，将抽象的“关系”形象化。

一、历史溯源

点阵是人们认识并理解“数与运算”的重要工具。它的历史源远流长，可追溯至古希腊时期。当时，毕达哥拉斯（Pythagoras）将对世界的科学观察与数联系起来，发现数与已经存在或即将形成的事物间存在“结构上的相似性”。按照毕达哥拉斯、亚里士多德（毕达哥拉斯学派的追随者）的观点，结构上的相似性体现为“数”几乎是所有事物的组成元素，世间万物都可以用“数”来表达，如固定的琴弦长度比能产生和谐的音调、天体与地球的距离适宜使得宇宙间球体转动的声音变得和谐等。［1］

基于数与世间万物在结构上的相似性，毕达哥拉斯相信纷繁杂乱的世界蕴含着亘古不变的“数学规律”，即“数（Number）”，并认为数是永恒的，独立于感性世界而存在，人们理解世间万物的关键在于数，即万物皆数［2］；相信一切形体均由数衍生而来，因而常常通过摆放沙滩上的卵石来表示数［3］，适当摆放一定数量的卵石能够形成规则几何图形。由此，毕达哥拉斯学派按照几何图形的形状对“数”进行了分类，衍生出“形数（Figurate Numbers）”的概念，如三角形数、正方形数、五边形数等。［4］比如从视觉上来看，因为3 块卵石能够以正三角形的形式进行排列，所以“3”就被认为是一个三角形数（如图1）。

图1 3块卵石的排列示意图

“形数”的出现使得形与数之间的内在联系得以凸显。通过数与形的相互转化，抽象的事物能够直观化，复杂的事物能够简单化。因此，后人继承并发扬了毕氏学派“以形表数、以数解形、数形结合”的思想，用具有均匀间隔的“点（Dots）”代替卵石，通过构造点的规则几何排列来表示数，进而形成“点阵（Arrays）”的概念。

从“形数”到“点阵”的演进过程，充分体现出直观图式对理解抽象概念的重要性，也揭示了同一集合对象间或不同集合对象间的关联性。［5］同一集合内，对象间“存在联系”是因为它们具有“相似之处”。比如，若将“形数”视为集合，三角形数、正方形数、五边形数等对象均因“能够形成规则几何图形”而具有了共性。正是这样的共性为抽象算式之间的联系的形象化提供了可能。

二、算式的形象化

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中指出，学生要在具体情境中了解四则运算的意义，感悟运算之间的关系。［6］若想感悟运算间的关系，就要找到算式与算式间的异同，其中最直观的方式就是“看到”变与不变，为此就需要“以形表数”，将算式中蕴含的思维过程可视化［7］。

点阵可以提供有关加减法、乘除法等运算的具体模型，具有将抽象算式、算法可视化的功能。［8］在点阵中，当一组对象可以按照某种标准模式排列而没有剩余对象时，便能够将某个数字或运算与一组对象关联起来。［9］比如，当以“点”为单位时，图2 所示的点阵便与数“4”存在关系。

图2 点阵与数“4”存在关系的示意图

在此基础上，同一个点阵通过不同的划分方式，还能够与算式相联系，并使得算式间的等价关系可视化。如图3 所示，对于同一点阵，两种不同的划分方式从左到右分别联系着算式“1+3=4”与“1+2+1=4”。

图3 同一点阵的两种划分方式示意图

在点阵中，除了以点为单位，还能以点集为单位，将点阵与乘除法相联系。从以点为单位发展到排列和构造相等的数组，并以此作为集合计数的顺序，也更符合学生先学习加减法、后接触乘除法的思维过渡顺序。［10］

综上所述，点阵与运算紧密关联，运算赋予点阵以“数”的意义，点阵又将运算以“形”的形式进行展现。同时，点阵在直观与抽象之间搭建起一座桥梁，将数与算式变为“具体”的事物，使抽象的数学对象变得可视化，因“形”的关系变得直观。

三、算式间的关系

美国华盛顿州立大学的David Slavit 认为，“运算”在数学课程体系中具有十分重要的意义，运算与运算间的关系应成为学生学习的重点内容，并据此提出“运算感（Operation Sense）”这一概念，用于描述学生在学习运算时能够获得的一些能力。同时，不同类别的两个运算间还可以用其他方式进行联系，如乘法为重复的加法，除法为重复的减法。［11］上述认知便属于“运算感”中“算式与其他算式之间关系的认识”这一能力层级。这里的“关系”实质是指算式间的等价关系，体现为不同的算式可以得到相同的结果、不同的算式可用于描述同样的数量关系两个方面。［12］

运算关系的感悟，需要通过探寻运算间的“共性”来实现。而“运算”较为抽象，不易发现共同之处，所以需要先对同种运算中算式间的关系进行归纳总结，再由运算内部关系推及运算间的共性。

(一)同种运算间的算式关系

在加（减）法运算中，存在诸多“和”（“被减数”）相同的算式。从图3可知，和相同的算式可以用相同点数的点阵来表示，算式间存在着“关系”。但这样的结论并未触及问题的本质，为此需进一步思考：对于同种运算中具有相同结果的不同算式，是什么将“它们”关联起来的？

这里基于点阵的视角，通过“1+2+3=6”和“3+3=6”两个加法算式进行探究。若将点阵中每一行所代表的数看作加法算式中的一个“加数”，这两个算式就可以分别用图4、图5所示的点阵来表示。

图4 算式“1+2+3=6”的点阵示意图

图5 算式“3+3=6”的点阵示意图

图4与图5所示点阵中均包含“6”个点，这便是“共性”。此时，若按照图6 所示变换方法对图4 中的点阵进行动态变换，便可以得到一个每行均由三个点排列而成的点阵（如图5）。

图6 点阵动态变换示意图

可见，在加法算式中，“和”为同一个数的算式均可以用总点数相同的点阵来表示，而加数的个数及每个加数的大小取决于点的排列方式。此外，从点阵的“表象”来看，进行位置变换的点始终是“一个一个”进行运动的。

同理，减法算式与减法算式之间的关系也可以用点阵的动态变换来说明。为避免歧义，将点阵中最下面一行所具有的点数视为“差”，而其余一行或多行中，每行所具有的点数均视为“减数”，点阵总点数则视为“被减数”。

因此在减法运算中，“被减数”为同一个数的减法算式，可以通过对点阵的点“一个一个”地进行位置变换，改变算式中“差”的大小，或对减数的大小及个数进行调整，使得它们变为同一种形式。

观察点阵中的加法运算与减法运算可知，点“一个一个”地进行位置变换，既是加法运算中所有算式的共性，也是减法运算中所有算式的共性。位置变换方式（“一个”）则是运算算法中“单位”的几何体现。因此可以说，在加法运算与减法运算中，是“相同的单位”将算式与算式联系起来的。

在整数乘法运算（因数×因数=积）中，因数常表达着不同的内涵：第一个因数表达的是具体“对象（Object）”的属性，也就是多少个“1”；第二个因数则不同，表达的是包含这种具体对象的“集合（Set）”。如乘法算式“4×5=20”，它的第一个因数“4”表示 4 个 1；第二个因数将“4 个1”视为单位“1”，表示包含5个单位“1”的集合。［13］

基于上述认知，这里将点阵中一行所具有的点数视为“具体对象”，点阵的总行数视为“集合中包含具体对象的个数”，点阵所具有的总点数视为“积”。那么，乘法算式“4×5=20”就可以用图7所示点阵来表示。

图7 算式“4×5=20”的点阵示意图

若以“具体对象”为单位对点阵进行划分，可以得到多种拆分方式。图8 可理解为“4×2”和“4×3”这两个小部分构成了“4×5”这一整体，即“4×5=4×2+4×3”。

图8 算式“4×5=4×2+4×3”的点阵示意图

以同样方式进行思考，图9 可理解为“4×1”和“4×4”这两个小部分构成了“4×5”这一整体，即“4×5=4×1+4×4”。

图9 算式“4×5=4×1+4×4”的点阵示意图

从上述两种划分方式可以看出，算式与算式之间具有“关系”（4×1、4×2、4×3、4×4与4×5可以共存于一个算式之中）的原因是存在共性，即它们的具体对象均为4个1，且均将“4个1”视为新的单位。

在乘法运算中，一般是通过“具体对象×集合中具体对象的个数”得到“积”。作为乘法的逆运算，除法则是计算“积”（除法运算中的被除数）中包含了多少个具体对象（除法运算中的除数），即“集合中具体对象的个数”（除法运算中的商）是多少。若从点阵视角进行解读，点阵中每一行具有的点数应视为“除数”，点阵所具有的总行数为“商”，点阵所具有的总点数为“被除数”。由此可知，除法运算是基于单位对总点数相同的点阵进行分解的过程，除法算式间也因有相同的“单位”而存在“关系”。

要注意的是，在除法运算中，不能通过改变单位的大小来牵强地认定两个算式是相同的。举个例子，虽然算式“6÷3=2”和“12÷6=2”的计算结果相同，但两者并不能视为同一算式的不同形式。究其原因，“6÷3=2”中的单位为“3”（如图10），而“12÷6=2”中的单位为“6”（如图11）。

图10 算式“6÷3=2”的点阵示意图

图11 算式“12÷6=2”的点阵示意图

所谓计算结果“2”相同，实际上指的是“集合中包含具体对象的个数”相同，因此两个算式间的联系也只能定义为商相同的两个除法算式。

从点阵中可以看到，在乘法运算与除法运算中，算式间的联系在于它们均是基于“单位”所进行的组合与分解。

(二)运算间的关系

通过对“不同的算式可以得到相同的结果”原因的分析，以及对算式间关系的探索，可知加减乘除四种运算都是基于“单位”展开的，这便是四种运算之间的共性。［14］提炼出运算间的“共性”后，便可以开始在点阵的直观图中探寻运算间的关系。

对于一个包含16 个点的点阵，可以通过动态变换排列为多种形式，如图12、图13、图14。图12的点阵可以用来表示4+4+4+4=16、16-4-4-4=4、4×4=16、16÷4=4四个算式。

图12 点阵排列方式（一）示意图

图13 点阵排列方式（二）示意图

图14 点阵排列方式（三）示意图

若将点阵动态变换为图13 的排列方式，则可以表示 8+8=16、16-8=8、8×2=16、16÷8=2 四个算式。

再看图14，该点阵可以表示2+3+4+7=16、16-2-3-4=7 这两个算式。如果将点阵再次进行动态变换，这个包含“16”个点的点阵还能用来表示更多的算式。

在上述三种排列方式中，通过对点阵进行不同解读，可以表达出十个不同的算式，涵盖加、减、乘、除四种运算。虽然运算方法不同，但它们都是基于“单位”进行的运算，也正由于这一共性的存在，才建立起了以单位为统领的四则运算的整体结构。［15］用点阵直观感知算式间的关系，看似孤立的四种运算在点阵的动态变换下，从表象中剥离出了其所具有的共同内在本质，并融合成了一个密不可分的整体。

综上所述，点阵是实现数形互化的有力工具，蕴含着丰富的课程价值：首先，点阵为抽象知识提供视觉图形，帮助学生在头脑中形成实体表象，实现由具体到抽象的思维过渡；第二，点阵提供可操作的活动空间，使得学生伴随多样的动态变换、圈画等具身活动，实现思维与操作的相互作用、协调，逐步内化并建构整体性认知结构；第三，点阵具有美育价值，充分展现出数与形的和谐美及不同知识间的统一美，进一步激发学生对数学知识的探索欲望。因此在数学教学中，教师应当对点阵的课程价值予以高度重视，使其成为学习活动设计的课程资源，充分发挥其课程价值。