应用特殊值法 提升数学解题能力

摘 要：特殊值法可理解为对题目中未知量取具体的数值，代入有关代数式进行计算，从而实现简便高效的解题.对此，本文着重探讨特殊值法在高中数学解题过程中的具体应用，帮助学生掌握这种数学解题技巧，探寻数学解题新思路，能够举一反三、灵活变通地应对不同类型的数学题目.

关键词：高中数学；特殊值法；分类討论

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）06-0044-03

在解答某些数学题目的过程中，可以通过设题中某个未知量为特殊值的方式帮助我们简化解题过程，得到最终答案，这种解题策略的应用能够帮助学生节省解题时间，提升解题效率.因此，从这个思路出发，本文主要探讨特殊值法在数学解题中的具体应用，并主要围绕转换角度、构造函数、代入检验、定位变量以及合理赋值这几个方向展开具体探讨，以帮助学生学会应用特殊值法高效简便解题，切实提升数学解题能力.

1 转换角度，减少计算压力

特殊值法体现的是从一般到特殊，再从特殊到一般的解题思想.如果数学题目中的已知条件十分抽象、数量关系非常复杂、用常规思路解题难度很大时，我们可以通过选择合适的特殊数、特殊点、特殊数列、特殊图形等，转换问题思考的角度，从特殊中探索解答问题的规律，正确求得答案.

例1 如果x、y、z是全不相等的实数，且a=x2-yz，b＝y2-zx，c＝z2-xy，则下列结论正确的是（  ）.

A.a，b，c都不小于0

B.a，b，c都大小于0

C.a，b，c至少有一个小于0

D.a，b，c至少有一个大于0

解析 这道题中的未知数是比较多的，如果我们用常规思路去解题的话，所构造出的代数式较为复杂，解题难度较大.这时我们就可以应用特殊值法的思路，根据题设条件由于x，y，z是不全相等的实数，可取值的范围是比较大的，我们可以选择容易计算的实数如令x＝1，y＝-1，z＝1，分别代入a=x2-yz，b＝y2-zx，c＝z2-xy计算可得a＝2，b＝0，c＝2，可排除B和C选项；继续取特殊值令x＝1，y＝-1，z＝2，代入可得a＝3，b＝-1，c＝5，可排除A选项，故正确答案为D，快速解答了该题目.

评析 在面对一些计算难度较大的数学题目的时候，我们可以根据题设条件将其中的某个未知量设为特殊值，但要注意这个量的取值要和最终要求的结果有所联系，并且无论取值多少都不会影响最后要求的量的值，这样才可以在一定程度上帮助我们简化计算过程，减少计算压力，实现灵活高效解题，从而提升数学解题的效率.

2 构造函数，避免分类讨论

构造函数的方法一般应用于函数、导数综合题目的解答中.这类题目的难点就在于分类讨论和最值转化，需要学生通过构造函数的方式来将复杂的函数形式进行转化，这样才能往下推导计算，在实现快捷解题的同时，更培养了学生融会贯通的能力.

例2 设a∈［-1，1］，且函数g（x）=log22x+（a-4）log2x+4-2a恒为正值，求x的取值范围.

解析 本道题目中给出的g（x）函数解析式是关于log2x的二次函数，常规的解题思路是设t＝log2x，则原函数转化为u（t）＝t2+（a-4）t+4-2a，需进行较为复杂的分类讨论，学生们感到解题难度非常的大，很多同学都选择了放弃.但我们再去观察一下这道题目，参量a的范围题目中已经给出了，那我们不妨利用主元变更法的思路来构造新的函数模型，回避分类讨论.具体来讲，学生可以把关于log2x的二次函数转化为以a为自变量的一次函数，设f（a）=（log2x-2）a+log22x-4

log2x+4，那么要使f（a）在设a∈［-1，1］时恒大于零，我们只需要取特殊点，当且仅当f（1）＞0，f（-1）＞0时即可成立，代入可得log2x<1或log2x>3，接着解这两个不等式就可以得出x的取值范围为（0，2）∪（8，+∞），这样解题就高效简便得多了，学生们也更容易接受.

评析 在实际解题中，教师要善于根据题目中的条件，对题设条件中的不同情况加以分类，逐类求解，这种分类讨论的方法是学生必须掌握的解答函数类题目的基本思路，教师在教学中，要善于引导学生捕捉题目中的关键信息，从而生成最佳的解题思路，为高效解题奠定坚实的基础.

3 代入检验，获得信息矛盾

检验答案是教师应引导学生培养的一种良好学习习惯.一方面，可以使学生通过检验判断答案是否正确，当出现信息矛盾时及时纠错、改错，避免出现粗心大意、考虑不全面等情况；另一方面，有利于培养学生思维的严谨性与深刻性，使学生形成良好的学习品质与思维品质，提升学生的综合素养.

例3 若数列｛an｝与｛bn｝中，a1＝b1＝1，an+1-an＝2，bn/bn+1＝1/2（n≥1），则｛anbn｝的前n项和为（  ）.

A.3-（2n+3）（1/2）2 B.6-（2n+3）（1/2）2-1

C.（3-2n）22-3D.（2n-3）22+3

解析 首先我们可以取特殊值n＝1，2，3，则a1、a2、a3依次为1，3，5，同理b1，b2，b3依次为1，2，4，那么a1b1＝1，a2b2＝6，a3b3＝20.接下来代入选项进行检验，当n＝1时代入A选项，S1＝3-（2+3）/（1/2）2＝-17≠1＝a1b1，可排除A选项.同理代入C选项可得S1＝（3-2）×2-3＝-1≠1＝a1b1，可排除C选项.最后将n＝2代入B选项，S2＝6-（2×2+3）（1/2）＝6-7/2＝5/2≠1+6＝a1b1+a2b2，可排除B选项，综合可得正确答案为D.这样，通过利用特殊值法和代入检验法，使该问题的顺利解答.

评析 一般来说，代入检验的基本思路是把最终得到的答案带回原条件中进行检验，或者把答案当作条件来解题目中的其他条件，以此来验证结果是否正确.但有时因代入检验的计算量过大，会浪费时间，学生也可以利用代入符合答案范围的特殊值进行检验，通过特殊值、特例来快速检验答案，提升檢验效率，这都是对学生灵活处理数学问题能力的检验，也是学生深度理解和运用数学知识的体现.

4 定位变量，加强数形结合

我们在对变量进行赋值或取特殊值的时候，如果我们忽视题设的条件，没有充分考虑到变量的取值范围，出现无效赋值或解题错误的情况，则无疑会导致问题解决过程中出现南辕北辙，使得问题解决功亏一篑.因此，对于某些数学题目来讲，学生要善于运用数形结合的思想方法，借数的精确性与形的直观性来使某些抽象的数学问题直观化、生动化，进而可以有效定位变量的范围并进行赋值，找到解题的切入点.

例4 函数f（x）=x+1/|x|的图象可能是（  ）.

解析 在解答这类型题目的时候，我们可以结合函数的单调性以及取特殊值的方法来进行判定.以单调性来看，当x∈（0，1）时，函数f（x）=x+1/x，为单调递减函数；当x∈（1，++∞）时，函数f（x）=x+1/x，其图象为单调递增函数，当x∈（-∞，0）时，同理函数f（x）=x-1/x，为单调递增函数，可确定正确答案为A.除了这个方法之外，学生也可以取一些特殊点，比如x＝-2，-1/2，1/2，1，2等，代入解析式结合图象来进行排除，这样能进一步缩短解题时间.

评析 在利用特殊值法在解答这类型题目的时候，我们对于变量的取值要符合题设条件与不同函数定义域、值域等隐形条件，同时要善于抓好拐点、极值点、最值点这些特殊点，充分理解这些特殊点的含义，这样既能帮助我们利用赋值巧解复杂数学问题，达到事半功倍的效果，更可培养学生面对数学问题，能全面深刻的认知数学问题.

5 合理赋值，巧解不等式

特殊值法在解答不等式相关的问题中的妙用有很多，甚至可以说是解答不等式类选择题目的首选方法.我们可以通过对不等式中的变量赋予恰当的数值或代数式，再加上恰当的运算和推理，就可以将复杂的推导问题转化为简单的计算问题，进而通过简化计算与推导过程帮助学生节省解题时间，达到快速高效做题的目的.

例5 设函数f（x）在R上的导函数为f ′（x），且2f（x）+xf ′（x）＞x2，则在R上恒成立的是（  ）.

A.f（x）＞0   B.f（x）＜0

C.f（x）＞xD.f（x）＜x

解析 如果用常规思路去解题的话，根据2f（x）+xf ′（x）＞x2，我们可以构造函数记g（x）=x2f（x），令g′（x）=x［2f（x）+xf ′（x））］＝0得唯一驻点x=0，那么当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，也就是g（0）为该函数的最小值，g（0）＝0，因此恒有g（x）=x2f（x）＞g（0）＝0，可得f（x）＞0，当x＝0时同样满足，因此可得到正确答案为A.但在解答这道题目的时候，特殊值法是一个很好用的解题技巧，学生也可以用这个方法来解题.不过这一次我们赋值的不是特殊的数值，而是特殊的函数.我们可以根据已知条件取容易计算的特殊函数f（x）＝x2，则f ′（x）＝2x，那么题目中的2f（x）+xf ′（x）就变为了2x2+x（2x）＝4x2，原不等式也就转化为4x2＞x2，自然而然是成立的.那么f（x）＝x2＞0对应A选项，可得A选项是正确的，这样对于解选择题来说就快的多了.

评析 在数学解题中，教师根据题目条件，通过结合具体的数学题目，使学生从中思考如何分析与应用赋特殊值法，可以帮助学生有效掌握这种解题策略，提升数学解题能力，让学生在灵活的数学解题中树立对数学学习的信心.

总之，在解答数学题目的过程中，需要学生掌握有关的数学知识、一定的解题技巧及解题思想.因此，作为高中数学教师，我们要善于引导学生做好题型的归纳与总结，学会从中提炼解题规律，掌握解题技巧，进而能在遇到同类型题目时，从脑中的知识体系和解题技巧体系中逐一搜索，找到适合的解题思路与方法，这样才能真正提升数学解题能力，培养良好的数学素养.

参考文献：

［1］ 刘海杰.构造法在高中数学解题中的运用措施分析［J］.

数理化解题研究，2022（12）：14-16.

［2］ 许佳，陈振锋.例析特值法在数学解题教学中的应用［J］.中学数学研究，2021（3）：54-55.

［3］ 褚梦琪.运用特殊值法，提升高中数学的解题效率［J］.语数外学习，2017（1）：35-35.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2022-11-25

作者简介：姚顺禹（1992.11-），男，江苏省淮安人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.