基于“过程教育”的教学分析与具体措施的研究

毛秋琴

［摘  要］ 《义务教育数学课程标准（2022年版）》再次强调了数学教育应注重育人功能，要关注学生的全面发展. 实践证明，“过程教育”是践行这一理念的重要举措. 文章以“一元二次方程”的教学为例，从多维度进行教学分析，并从如下几方面谈具体措施：明确研究对象，形成核心概念，生成表示方法，总结提炼提升.

［关键词］ 过程教育；概念；教学

“过程教育”是指关注结论形成、应用过程与解决问题后反思的教育方式，它能满足学生全面发展的需要. 但当前仍有部分教师对数学“过程教育”的理解不够透彻，只关注学生所掌握的知识结论，忽视结论的形成与反思过程，导致失去了促进学生成长的契机. 为此，本文以“一元二次方程”的教学为例，从“过程教育”的教学分析与具体措施两个方面展开阐述，与同行共勉.

教学分析

1. 剖析核心概念

概念是数学的基石，剖析单元核心概念是实施数学教学的第一步. 将核心概念分解、整合成完整的知识网络可便于学生更好地理解与记忆. 以一元二次方程的研究为出发点，进行教学前的问答（为什么要研究？怎样研究？有什么特征？怎么表示？怎么求解？有什么用处）分析，可提升教学成效.

2. 分析教学结果

教学结果是数学活动的思维或经验结果，如数学概念、定理、法则、公式、规律等是教学内容的重要组成部分. 将一节课可能涉及的所有结果清晰地罗列出来，能增强教师的教学底气，能让教师更好地应对课堂中的突发事件. 一元二次方程涉及的数学结果的逻辑关系较为复杂（如图1所示）.

3. 论证结果形成过程

数学结果的形成与数学思想方法之间有着密不可分的联系，论证结果形成过程是指对教学任务进行精致分析，对数学结果形成的必备条件与支持性条件逐个分析与验证的过程，也可以理解为对学生的认知策略、活动经验、态度与所应用的数学思想方法进行论证的过程［1］.

关于“一元二次方程”的结果形成过程的论证，可从如下几方面着手：结合奥苏贝尔的概念获得过程理论，将一元二次方程视为从生活实际问题中抽象而来或与一元一次方程类比而来，那么“会分析数量关系”就是必备条件，而“生活经验、数学抽象思想、模型思想”则为支持条件；一元二次方程的定义形成遵循“观察—特征归纳—抽象—获得本质—符号表达—提炼数学思想方法—反思”的过程，那么“会观察相关的数或式子”就是必要条件，而“经验、数学思想方法、反思”则为支持条件；概念求解思维的演绎，求一次项系数、二次项系数、常数都是将一元二次方程转化成一般形式进行分析，那么“一次项系数、二次项系数、常数”则为必备条件，而“演绎思想与化归思想”则为支持条件.

4. 概述学习成果

结合新课标的标准，所有学习成果分成“结果性成果”与“过程性成果”两大类. 一元二次方程的结果性成果，主要有事实性知识、概念性知识、元认知性知识等，并在知识技能、概念理解、运用规则、解决问题上达到相应的要求；过程性成果，主要有发现一元二次方程的特征、与之有关的想法、解决问题中的表现、反思体验与感触等.

5. 预估认知障碍

充分了解学生的身心特征、知识储备情况以及学习方式等，可对学生的认知基础有明确的了解，还可以从学生的不足之处预测到学生获得数学结果的过程会遇到怎样的障碍.

结合学情与一元二次方程的特点，可预计学生会出现如下思维障碍：因生活阅历与经验不足，导致生活体验不够，出现根据生活情境列一元二次方程的障碍，无法将现实生活中的数量关系与模型联系起来；缺乏多角度观察生活事物的习惯，无法实现从具体到抽象的思维变化，难以抽象出一元二次方程的概念；难以理解复杂的方程变形过程.

6. 明晰课标要求

课标是实施教学的依托. 教学分析时，教师应查阅新课标对本章节教学的具体要求，尤其关注行为动词与性能动词的含义，据此明确教学方向. 新课标对本章节的教学要求是［2］：能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.

从课标要求来看，本節课应注重“过程教育”，让学生理解数学知识的本质，充分感知一元二次方程是刻画数量关系的重要模型，且会多维度发现数学事物的特征.

“过程教育”的实施

1. 明确研究对象

问题1  又到了红薯丰收的季节，据调查，2020年红薯的售价为2元/斤.

（1）2021年红薯的售价是2.5元/斤，将2020年到2021年红薯的售价增长率设为x，可列出怎样的方程？

（2）2022年红薯的售价是3元/斤，假设2020年到2022年红薯售价的年平均增长率是x，可列出怎样的方程？

问题2  红薯的价格近年来持续上涨，薯农李大伯准备增扩一块面积为800 m2的地种红薯，假设这块地的宽比长少12 m，求这块地的长与宽. 假设这块地的宽为x m，可列出怎样的方程？

问题3  假设在这块地的四周围一圈栅栏，留下一个长方形的门，已知门的对角线长为1丈（1丈=10尺），宽比高矮6尺，分别求门的宽与高. 设门宽为x尺，可列出怎样的方程？

设计意图  这几个问题覆盖了增长率、面积、勾股定理等内容，为揭示一元二次方程奠定了基础. 该设计从学生的生活实际出发，让学生在问题的驱动下进行思考与分析，形成良好的建模能力，培养学生主动发现、提出、分析与解决问题的能力（四能），充分体现“过程教育”促进学生全面发展的作用.

2. 形成核心概念

学生在问题驱动下，自主列出如下几个方程：2（x+1）=2.5；2（x+1）2=3；x（x+12）=800；x2+（x+6）2=102.

在教师的引导下，学生分析这几个方程的异同点. 经思考，学生自主获得如下结论：这几个方程都只含有一个未知数，且等号两边都是整式；第一个方程为一元一次方程，未知数的最高次数为1，另外两个方程的未知数的最高次数是2.

基于以上探索，通过类比思想的应用，师生、生生互动与交流后获得了一元二次方程的概念：方程仅有一个未知数，等号的两边均为整式，未知数的最高次数为2. 在交流过程中，学生还得出了一元二次方程的根的概念：让一元二次方程等号两边相等的未知数的值.

一元二次方程的定义与方程的根是本节课的重点，为了进一步深化学生对定义与方程根的认识，教师可继续用问题驱动学生的思维：得出一元二次方程的概念主要经历了哪些步骤？研究过程涉及哪些数学思想方法？类比研究一元一次方程的过程，想要进一步深入理解一元二次方程，我们还需要研究哪些问题？

学生再次合作交流，针对以上问题获得如下结论：定义形成的过程是从生活情境中抽象出相应的方程→观察方程特征→文字表达方程特点；研究过程涉及函数思想、建模思想、归纳思想与类比思想等；类比研究一元一次方程的过程，还要研究一元二次方程的解法与应用.

设计意图  新旧知识的沟通让学生自主通过类比法获得本节课的核心知识，教师适当的引导让学生通过与一元一次方程的类比，深化了对一元二次方程的认识. 反思的目的在于进一步深化学生对一元二次方程定义的理解，让学生的认知经历知识的形成过程，体验数学思想方法的应用. 最后一个问题的提出，让学生自主探寻出了接下来课堂研究的方向.

3. 生成表示方法

有些方程呈现的形式比较繁杂，需要经过化简才能识别出类别，这也是数学简洁美的体现. 仍以学生自主生成的方程为例：教师要求学生将方程2（x+1）2=3与x2+（x+6）2=102转化成等号右侧为0的形式. 学生转化的结论为：2x2+4x－1=0与x2+6x－32=0.

教师充分肯定了学生的转化方法，并表示此为一元二次方程的一般形式，即等号左侧为含有未知数的二次三项式，右侧为零. 我们可用a表示二次项的系数，用b表示一次项的系数，c表示常数项，那么用含有字母系数的方式来表达一元二次方程，该怎么表示呢？

有学生说出“ax2+bx+c=0（a，b，c均为常数）”的答案，又有学生表示这种说法不完整，还要添加“a≠0”这个条件，原因是当a=0时，该方程没有二次项，与一元二次方程的定义不相符，不属于一元二次方程.

教师高度赞扬了学生的这一补充，并提出问题“b，c是否可以为零呢”，学生继续从一元二次方程的定义出发，认为可以.

师生、生生经过有效的沟通与交流，最终归纳出了一元二次方程的表达式：ax2+bx+c=0（a≠0），且存在如下几种形式：ax2=0（a≠0，b=0，c=0）；ax2+c=0（a≠0，b=0，c≠0）；ax2+bx=0（a≠0，b≠0，c=0）. 也就是说，要判别一个式子是否为一元二次方程，关键在于二次项系数是否为零.

设计意图  学贵有疑. 教师以疑激活学生的思维，让学生全身心地投入一元二次方程一般形式的探索中，有效地提升了学生的逻辑思维. 通过一元二次方程一般形式几种类型的归纳，学生对一元二次方程的本质属性有了更进一步的理解，也感知了从一般到特殊的数学思想.

辨析、判别等过程意在深化学生对一元二次方程定义与根的理解，学生一旦从本质上掌握了一元二次方程的内涵与外延，那么在后续实际应用时就能灵活应对各种场景下的一元二次方程相关问题［3］. 若想进一步拓宽学生的视野，教师可带领学生将新建构的表示方法应用在一些常见问题中，以培养学生用数学的思维思考世界的能力，并促进学生“四基与四能”的发展，这也是“过程教育”理念的价值所在.

4. 总结提炼提升

课堂结束之前，教师可针对性地提出几个问题供学生思考：一元二次方程是什么？列方程的步骤有哪些？它的一般形式是什么？將其他方程转化成一元二次方程应遵循怎样的基本步骤？

如图2所示，学生梳理完以上几个问题后，将本节课的研究过程、思路等绘制成简洁明了的知识结构图，以完善认知体系.

设计意图  课堂尾声的几个问题起到回顾、梳理、总结与提升的作用，知识结构图的绘制不仅能增强学生的学习能力，让学生掌握最基本的学习技巧与方法，还能为后续学习更多的知识夯实基础.

弗赖登塔尔认为：反思是最重要的教学活动，是促进学生思维发展的核心动力. “过程教育”注重课堂的总结与反思，这是促使学生学会多角度观察与分析问题的关键，也是强化学生形成独立思考习惯与良好探究精神的关键.

总之，“过程教育”是新课改的需要，它能满足学生全面可持续发展的需求. 值得注意的是，关注“过程教育”同样不能忽略结果，作为教师，应不断更新教学理念，提升自身的业务水平，进一步做好教育教学工作.

参考文献：

［1］邵志芳. 思维心理学［M］. 上海：华东师范大学出版社，2007.

［2］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］任丹丹. 基于“过程教育”的“一元二次方程”教学实录及说明［J］. 上海中学数学，2015（05）：29-30+38.