弹道可调的落角约束分数阶滑模制导律设计

盛永智，甘佳豪，张成新

北京理工大学 自动化学院，北京 100081

末制导作为精确制导的核心技术，其作用是生成合适的制导指令，使导弹以期望的姿态对目标实施精确打击。随着现代战争需求的变化，末制导技术除了满足低脱靶量之外，还要求导弹以特定的碰撞角度击中目标，以增加碰撞的毁伤效果［1-2］。随着反导武器的出现，对导弹突防能力要求越来越高。常规制导律生成的弹道易被敌方拦截，在保证精确打击的同时，弹道的多样化可大大提高导弹的突防能力［3-6］。

Kim和Grider在1973年提出了冲击角制导的概念［7］。此后，碰撞角约束问题得到了广泛研究。比例导引制导（Proportional Navigation Guidance，PNG）形式简单，对信息的需求量少，是解决此类问题最常用的方法之一。文献［8］通过在传统的PNG附加一个时变偏置项，实现了导弹以期望的撞击角击中目标。针对碰撞角约束问题，文献［9］提出的偏置比例导航制导方法可以解析式形式确定所需碰撞角的偏差，比文献［8］更加简单实用。文献［10］根据PNG的特点，提出了一种新的制导策略，通过调整PNG增益实现了冲击角度约束。但该方法在制导律切换时会出现控制力不连续的现象，增加了姿态控制系统的跟踪难度。当存在外部干扰时，由于PNG方法控制的内在机理，制导末端控制力会产生较大变化，导致控制系统难以实现，从而降低了制导精度。

滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）方法具有动态响应快、对参数摄动不敏感和对外部干扰具有较好的鲁棒性等特点，常被用来解决带碰撞角约束的末制导问题［11-13］。文献［14］提出了一种可以对脱靶量和攻击角度约束的非奇异快速终端滑模制导律，快速终端滑模与固定时间观测器相结合，实现了更高精度的攻击角度约束及更小的脱靶量。文献［15］提出了一种用于多枚导弹在期望攻角下同时攻击机动目标的滑模制导律，可加快视线角收敛速度，提高了制导律的控制精度。文献［16］提出了一种带冲击角约束的小波神经网络滑模制导律，在提高系统鲁棒性的同时还减弱了抖振。

尽管撞击角制导可提高导弹的杀伤率，但现代作战通常配备了大量反导系统，如地对空导弹、电子对抗和近程武器，这些系统严重威胁了制导导弹的打击效率。反导系统通常是通过预测导弹的飞行轨迹拦截，因此制导弹道的复杂性和多样性有助于提高导弹的突防能力。文献［17］提出了一种新的广义模型预测静态规划方法，并用于三维角度约束制导，比传统的制导方法具有更大的制导区域。文献［18］结合全局时变滑模提出了一种新的寻的制导律，该制导律通过求解一阶线性微分方程，可以得到飞行轨迹、航向角和加速度指令的解析解，用于制导弹道的离线规划。文献［19］提出了一种新的偏置PNG，通过参数的设定可以实现对弹道轨迹的塑形。然而，对于复杂多变的战场环境，基于弹道规划跟踪制导律的鲁棒性有待提高。现有基于PNG和滑模制导的弹道可调制导律通常弹道变化单一，且可调范围相对较小，难以满足复杂的战场需求。

近年来，将分数阶微积分理论引入滑模控制而产生的分数阶滑模控制（Fractional Order Sliding Mode Control，FOSMC）在多个领域得到了广泛地研究［20-21］。与传统整数阶SMC相比，FOSMC中微分和积分增加了阶次可变性，给控制系统设计带来了新的灵活度。文献［22］提出了一种基于分数阶滑模控制的制导律，能够实现对目标的精确拦截且无抖振，能量的消耗也更少，在迎头拦截高速机动目标时具有良好的拦截性能。文献［23］提出的分数阶滑模制导律对随机噪声干扰具有较强的鲁棒性，在冲击角误差和脱靶距离方面具有较高的精度。文献［24］提出了一种分数阶终端滑模制导律。与有限时间比例制导律相比，在该制导律增加了拦截弹的稳定区域，并具有更短的拦截时间。文献［25］针对一类具有碰撞角约束的侧滑转弯（Skid To Turn，STT）导弹拦截机动目标的问题，提出了一种基于分数阶积分的终端滑模制导律，该制导律保证了跟踪误差的有限时间收敛性，实现了导弹以期望的撞击角拦截机动目标。文献［26］提出的三维落角约束自适应分数阶滑模制导律可使导弹的加速度指令更为平稳，降低了对导弹过载的要求，同时可有效削弱滑模抖振。文献［27］通过在滑模面上引入分数阶算子，提出了一种分数阶快速功率趋近制导律。该制导律可以提高制导指令的收敛速度，而且有效地降低拦截过程中的能量消耗。现有分数阶制导律的研究主要体现在分数阶算子的引入提高了制导律的鲁棒性和收敛性能，利用分数阶微分和积分的阶次可变性对制导轨迹塑形的研究较少。

本文针对制导弹道的可塑性问题，提出了一种弹道可调、带末角约束的分数阶滑模制导律。本文的贡献如下：① 通过将分数阶微积分引入滑模制导，制导律对弹道轨迹的塑形能力得到提高，增加了弹道的多变性，并通过理论证明了制导律的稳定性和收敛性；② 分析了制导律中每一个可调参数对制导弹道的影响，制导轨迹可以通过调整相应参数提前规划；③ 通过蒙特卡洛仿真，证明了本文提出的制导律具有较强的鲁棒性。

1 预备知识

分数阶微积分作为对传统整数阶微积分的扩展，其统一的分数阶微积分算子kDλt定义为

式中：λ是分数阶的阶次；λ∈R；t是自变量；k是λ变量的下界。

经过300多年的发展，分数阶微积分的定义有很多种，其中应用最广泛的有3种，分别是适合描述零初值的Grünwald-Letnikov （GL）和Riemann-Liouville （RL）以及适合描述非零初值问题的Caputo （C）［20］。本文所讨论的系统状态初值非零，所以采用描述非零初值问题且在工程领域具有广泛应用的Caputo定义更适合。

定义1Caputo型分数阶微积分的定义

Caputo型分数阶微分定义为

式中：m为正整数，且0≤m-1＜λ≤m。

Caputo型分数阶积分定义为

式中：λ＞0；Γ(λ)是Gamma函数，其表达式为

性质1如果n为整数，则分数阶微分式（5）成立［20］。

引理1设λ＞0，若函数f(t)在区间[k，∞)上连续，则对于∀t∈[k，∞)，至少存在一点ξ∈(k，t)，有［28］

为了简单起见，后文均使用Dλ表示分数阶算子

2 制导律的设计与分析

2.1 飞行器的二维末制导模型描述

飞行器在二维场景中的末制导过程如图1所示。图1中:（x0,y0)、v0和γ0分别为导弹初始位置、初始速度和初始弹道倾角。（x,y)、v和γ分别为导弹在轨迹上某一点的位置、速度和弹道倾角。（xf,yf)、vf和γf分别为目标位置、导弹着陆时的速度和期望的弹道倾角。本文设计的制导律的目标是当飞行器高度y到达目标高度yf时，飞行器的攻击距离x到达目标的距离xf，飞行器的撞击γ角到达期望撞击角γf，且飞行轨迹可提前规划以提高突防能力。末制导阶段的运动学方程和动力学方程为

图1 二维空间中的制导过程Fig.1 Guidance process in two-dimensional space

式中：v、γ、m分别为导弹的速度、弹道倾角和质量；x和y是位置坐标；g为地球的重力加速度；L是气动升力；D是气动阻力。

式中：ρ为空气密度；s为导弹的参考面积；CL为升力系数；CD为阻力系数，气动系数拟合公式见文献［23］。

为更好地完成制导任务，本文采用伪高度变量τ来代替时间变量t。其中τ=y0-y，y0为飞行器的初始高度，y为飞行器在当前时刻的高度。由式（7）可知，如果弹道倾角满足sinγ≤0，则dτ/dt≥0，从而可保证伪高度变量τ的单调性。所以，式（7）所示的末制导阶段的运动方程可以转换为如下的运动方程，即

2.2 飞行器的二维末制导模

针对地面固定目标实现空对地打击，制导律初始弹道倾角满足-180°≤γ0≤0° ，目标的位置(xf，yf)不变。期望弹道倾角γf为常数，可以在-180°～0°任意设定。

设伪高度变量τ的终值为τf=y0-yf。当伪高度到达终值τf时，制导律需同时满足水平距离x和落角γ到达期望值。由式（11）可知，水平距离x的导数等于负的落角γ的余切值。由此可以构造中间误差变量e1和e2。

由式（15）和式（16）可知，当τ=τf时，若中间误差变量e1和e2均等于0，则此时飞行器的水平距离x等于目标的水平距离xf，飞行器的落角γ等于期望的落角γf。

由式（14）和式（16）可得e2关于τ的导数为

针对式（16）和式（17）的二阶状态空间模型，结合文献［18］中滑模制导的思想，设计了一种新型的分数阶时变滑模面为

式中：τ0为初始伪高度；n为误差常增益系数；C2为分数阶项常增益系数；λ为分数阶的阶次，-1＜λ＜1且λ≠0 ；p和q为指数增益系数；C3为由初始误差确定的时变项增益系数。

在初始伪高度τ0处有

当0＜λ＜1时，由Caputo型分数阶微分定义可得

当-1＜λ＜0时，由Caputo型分数阶积分定义可得

当-1＜λ＜1且λ≠0时，由式（21）和式（22）可得

结合式（20）有S(τ0)=0。该滑模函数在初始时刻就位于零滑模面上，消除了由初始误差引起的滑模到达段，增加了该滑模控制系统的鲁棒性。

对滑模函数S求关于τ的一阶导数可得

结合式（14）、式（17）和式（24），分数阶时变滑模制导律可设计为

系统沿着零滑移面滑动时，由于时间和空间的滞后性，滑模面会产生抖振现象。抖振不仅会造成高能耗，而且会降低执行器的寿命。为抑制抖振，本文引入边界层理论，采用以下饱和函数法：

式中：ε为边界层的厚度。

饱和函数在消除抖振现象的同时，边界层厚度会影响控制器的稳定性和控制精度，但这不是本文讨论的重点，为不失一般性，本文统一取ε=0.01。

2.3 稳定性和收敛性证明

利用李雅普诺夫第二方法证明滑模制导系统的稳定性。选取正定李雅普诺夫函数为

对李雅普诺夫函数求τ的一阶导数可得

结合式（25）和式（28）可得V′负定，控制系统稳定。因为γ0和γf均小于0，由式（16）和系统渐近稳定的性质可知，导弹飞行过程中的弹道倾角始终满足-180°≤γ≤0°，从而保证了伪高度变量τ的单调性。

下面利用分数阶中值定理和夹逼定理证明控制器的收敛性。由式（3）可知，在初始阶段，f(τ)/(t-τ)1-λ的分母会是一个很小的值，导致Caputo型分数阶积分在初始时刻会产生较大的变化率，使开关项难以克服这种变化，从而使滑模面离开零滑模面。这种现象是由Caputo型分数阶自身的性质造成，仅在初始时刻发生。之后由于滑模自身的收敛性质，即S′=-Ksat(S)，这使得滑模函数又回到零滑模面。假设滑模函数在τb时回到零滑模面，且由式（28）可知在此以后滑模函数一直处于零滑模面。

当-1＜λ＜0时，由分数阶中值定理即引理1得，∃τa∈(τb，τf) ，有

当S=0时，式（18）可简化为

在区间[τb，τ]， 求解式（30）所示的一阶线性微分方程，可得e1为

式中：τ∈[τb，τf] ；C0是由τb时的状态确定的常数。

对e1求导得到e2为

式（31）和式（33）存在积分项：

当n＞p时，式（34）可能无穷大。所以下面利用夹逼准则证明e1和e2在τ=τf时同时收敛到0。

当τ∈[τb，τf]时，有0≤(τ-τb)-λ≤(τfτb)-λ和(τf-τ)p-n≥0，所以可得不等式为

化简式（35）和式（36）得

结合式（31）～式（38）可得，如果满足n＞1，p＞0，q＞0，p-n+1≠0，q-n+1≠0，中间误差变量e1和e2在τ=τf时均收敛到0。

当0＜λ＜1时，由性质1和引理1可得，∃τc∈(τb，τf)，有：

当S=0 时，式（18）可简化为

在区间[τb，τ]，求解式（40）所示的一阶线性微分方程，可得e1为

对e1求导得到e2为

同理，通过夹逼定理可得中间误差变量e1和e2在τ=τf时均收敛到0。

综上所述，本文所设计的控制器可以使中间误差变量在τ=τf时同时收敛到0。即当飞行器的高度y与目标的高度yf相同时，飞行器的水平距离x到达目标的水平距离xf处，飞行器的落角γ等于期望的落角γf。

3 算例分析

本文以重量907.2 kg、参考面积0.871 1 m2的高超声速飞行器为研究对象，其末制导阶段攻击相对地面静止的目标。考虑飞行器的实际物理能力有限，导弹的最大法向加速度被限制在300 m2/s以内，参考1976年的美国标准大气特性［29］。

分别给出了6组不同的算例，首先分析了制导律中不同的参数对轨迹的影响，并与整数阶滑模制导律和基于比例导引的二维冲击角制导律对比，验证本文设计的制导律的优越性。然后对制导律的落角约束能力验证。最后通过蒙特卡洛仿真验证了制导律的鲁棒性。本文使用MATLAB里面的Simulink模块仿真，仿真步长为0.01 s定步长。利用多项式拟合得出τ=τf处落角和x方向位置与期望落角和期望位置求差值得到落角误差和脱靶量。分数阶算子拟合采用薛定宇教授［30］开发的FOTF工具箱。仿真的初始条件如表1所示，除特殊说明以外，在作不同参数的对比实验时，其他参数与表1保持一致。

表1 二维空间仿真的初始参数Table 1 Initial parameters of simulation in twodimensional space

算例1不同分数阶微分的仿真分析

为不失一般性，本算例对不同分数阶微分（λ=0.2，0.3，0.4，0.5）对轨迹的影响进行讨论，仿真结果如图2所示。由图2可知，随着分数阶微分阶次的增加，分数阶项的微分作用更强，这使状态误差收敛速度更快，即水平距离x和弹道倾角γ更快的趋近期望值，从而导致导弹轨迹愈加向上凸起，命中目标所需时间更短（图2（b）），气动力消耗的能量更少，击中目标的速度更快（图2（d））。图2（c）中，法向加速度在初始时刻出现饱和，为验证制导律的控制性能，初始弹道倾角较小，目标水平位置较远，导弹需要抬头以击中更远的目标。由于采用了边界层理论，制导律在边界层内外切换时，会导致控制量出现小幅阶跃（图2（c））。

图2 不同分数阶微分的仿真结果Fig.2 Results of simulation with different fractional order differentiation

算例2不同分数阶积分的仿真分析

本算例对不同的分数阶积分（λ=-0.2，-0.3，-0.4，-0.5）对轨迹的影响进行讨论。分数阶积分对不同参数的值更加敏感，本算例不同于表1的初始参数有：p=2，C2=0.002，K=0.01。仿真结果如图3所示。

图3 不同分数阶积分的仿真结果Fig.3 Results of simulation with different fractional integrals

观察图3（a），在导弹飞行的0～15 km，不同分数阶积分的弹道相互重合，这是由于导弹抬头向前飞行，控制力超过了其允许的最大法向加速度300 m2/s（图3（c））。在之后的飞行过程中，随着分数阶积分阶次的增加，分数阶项的积分作用越强，微分作用越弱，水平距离x和弹道倾角γ更慢的趋近期望值，导弹的弹道向下凹陷，导弹命中目标所需时间更长（图3（b）），气动力消耗的能量更多，击中目标的速度更慢（图3（d））。

算例3增益系数p、q和n的仿真分析

本算例对不同的p、q和n进行仿真，说明其对导弹制导轨迹的影响。仿真结果如图4所示。由e1和e2的解析式可知，p、q和n均为其指数系数，随着p、q和n的增加，e1和e2在前期变化更加快速，但这种变化会随着分母的不断增大而减小。如图4（a）、图4（c）和图4（e）中，导弹的弹道随着p、q和n的增加而向上凸起，且这种影响随着p、q和n的增加而减弱。因为每一个指数项对应的比例增益系数大小不同，所以p、q和n这3个系数对轨迹的影响也不一样。不同q和n对应的每一条弹道不重合，n的影响较大，q的影响很小。p中含积分项，随着p的增加，制导弹道向上凸起的同时，不同弹道末端逐渐重合。观察图4（b）、图4（d）和图4（f），弹道愈向上突起，导弹命中目标所需时间愈短。

图4 不同p，q和C1的仿真结果Fig.4 Results of simulation with different p，q and C1

算例4性能对比分析

针对本文提出的分数阶时变滑模制导律（Fractional Order Time-varying Sliding Mode Guidance Law，FOTSMGL），文献［18］提出的整数阶时变滑模制导律（Time-varying SlidingMode Guidance，TVSMG）和文献［19］提出的基于比例导引的二维冲击角制导律（2D Impactangle Guidance Law，2DIAGL）进行对比仿真。仿真结果如图5所示。

图5 不同制导律的仿真结果Fig.5 Results of simulation with different guidance laws

观察图5（a）可知，在水平距离和弹道倾角到达期望值之前，分数阶项中有e1＜0和e2＞0。当C2＞0时，分数阶项中e2所对应的弹道倾角起正向微分作用，角度更快的趋近期望落角，使制导弹道向左凹陷；当C2＜0时，分数阶项中e1所对应的水平距离起正向微分作用，随着C2的减小，制导弹道向右凸起。距离尺度更大，所以此时系数C2的值对弹道的影响更为敏感。当C2小于一定的值之后，水平位移x超过目标的水平坐标xf，出现类似超调的情况发生，增加了弹道的可变范围。图5（c）所示TVSMG制导律仿真弹道中，随着B的增加，制导弹道向上凸起。图5（e）所示为2DIAGL制导律仿真弹道，随着N的增加，轨迹向上突起。TVSMG和2DIAGL两种制导律对轨迹的影响主要体现在纵向竖直方向的变化，通过参数B或N可调轨迹，TVSMG轨迹可调范围相对较小，2DIAGL的后半段轨迹比较平滑。

图5（a）所示轨迹变化更加多样，本文采用了高度作用自变量，需保证高度变化的单调性，所以轨迹变化范围体现在横向水平的扩展。若采用水平距离作为自变量并保证其单调性，利用同样的方法设计制导律，则可得到纵向竖直方向扩展的轨迹。综述所示，本文设计制导律的能够大范围改变弹道形式，使制导弹道可调多变，难以预测。

算例5不同期望落角仿真分析

本算例对不同的期望落角（γf=-30°，-60°，-90°，-120°，-140°）仿真，以说明本文设计的制导律期望落角可任意设定。本算例的初始弹道倾角为-10°，仿真结果如图6所示，蒙特卡洛仿真误差如表2所示。

表2 蒙特卡洛仿真误差Table 2 Error of Monte Carlo simulation

图6 不同期望落角的仿真结果Fig.6 Results of simulation with different expected impact angles

由图6 （a）和图6 （b）可知，导弹均在指定的位置和落角击中目标。由于本文为模拟真实物理环境，给出的导弹最大加速度不能超过300 m/s2以及升力系数和攻角等物理条件限制，导弹很难实现在-180°～0°的任意角度约束。

观察图6（c）可知，随着期望落角的减小，导弹前期的法向加速度到达了导弹允许的最大法向加速度300 m/s2。当期望落角为-140°时，导弹在60 s附近也出现加速度满值的情况。为了使全文仿真参数统一，在该条件下，导弹在前期因为优先满足角度约束使高度下降较快，在后期角度调节的时间较短（图6（a）），所以对过载的要求较高。由算例1～算例4可知，可以通过调节制导律参数使导弹优先满足x方向的位置约束，使导弹有足够的时间去满足角度约束，降低对导弹过载的需求。综上可知，通过调节制导律参数，可使导弹在一定的物理能力条件下，具有更大的攻击距离和攻击角度范围。若不考虑物理能力，制导律理论上可实现落角在-180°～0°的任意约束。

算例6蒙特卡洛仿真

本算例利用表1所示初始条件，做了200次仿真试验，并在每一次仿真的全过程，对升力施加一个-10%～10%的随机拉偏，对阻力施加-5%～5%的随机拉偏，对质量施加2%～2%的随机拉偏，对大气密度施加-10%～10%的随机拉偏。通过蒙特卡罗仿真证明了本文所提出的分数阶制导律的鲁棒性。仿真结果如表2和图7所示。

图7 蒙特卡洛仿真结果Fig.7 Results of Monte Carlo simulation

由仿真结果可知，脱靶量和角度误差的均值与方差较小，脱靶量的最大值不超过0.01 m，角度误差均小于0.25°。本文仿真采用质点弹道，且没有超出导弹的物理能力，所以理论上的脱靶量可以保证很小，如果加入自动驾驶仪，脱靶量和落角误差的精度会有所下降。由此可得制导律具有较强的鲁棒性。

4 结论

1）本文设计了一种带落角约束的分数阶时变滑模制导律。在传统整数阶滑模的基础上引入分数阶项，增加的制导弹道的可变性和多样性。并利用李雅普诺夫定理证明了制导律的稳定性，利用分数阶中值定理和夹逼定理证明了制导律的收敛性。

2）针对导弹的无动力末制导段，探究了制导律中每一个参数对制导弹道的影响。通过调整参数，弹道形式能够大范围改变，弹道轨迹可复杂多变，难以预测。

3）通过蒙特卡洛仿真试验对飞行器的升力、阻力和初始质量以及大气密度进行拉偏测试，证明了本文所提出的分数阶制导律具有较强的鲁棒性。