谨防误解“分数单位”

郜舒竹 魏卫霞 程晓红

【摘   要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》新增了“分数单位”的说法。通过分析发现，“分数单位”具有所指界限不清的“模糊性”及语义相离的“歧义性”，极易引起一线教师的误解，将不确定的单位强制为确定，给实际教学带来是非难辨的困难。为了消除歧义，可以将“分数单位”的不同意义分离，并分别命名，从而区分“分数单位”与“单位分数”，使得“分数单位”的意义具有相对的确定性，避免产生误解。

【关键词】分数单位；单位分数；模糊；歧义

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）新增了“分数单位”的说法，在“数与代数”领域第二学段（3～4年级）的“内容要求”中表述为“感悟分数单位”。“分数单位”一词具有明显的语义模糊与歧义特征，极易让人产生误解，因此会给实际教学、教科书编修及试题编制造成误导。

一、所指界限不清的“模糊性”

《課程标准》附录1中的“例9 感悟分数单位”以“比较[12]和[13]的大小”的实例来说明“分数单位”的意义。具体“说明”摘录如下。

【说明】把两个同样大小的圆分别平均分成2份和3份，通过比较各自1份面积大小的方法，引导学生直观理解分数的大小。然后，进一步把这两个圆都平均分成6份，通过“[12]=[36]，[13]=[26]，[36]>[26]，所以[12]>[13]”，帮助学生理解分数单位之间的关系，知道只有在相同单位下才能比较分数的大小。

这段“说明”并未说明诸多分数中，哪个或哪些是“分数单位”。作为“比较[12]和[13]的大小”的例题，“帮助学生理解分数单位之间的关系”应当是“感悟分数单位”的重要内容。由此看来，“分数单位之间的关系”应当是指“[12]和[13]的关系”，也就是将[12]和[13]这样分子为1的分数视为分数单位。按照这样的理解，可以猜测，“感悟分数单位”的意义是认识两个不同的分数单位，其大小或顺序可能是不同的，而且分母中数的大小与分数单位的大小关系是反向的，即分母越大（小），分数单位越小（大）。

再看“说明”中的另一句话：“只有在相同单位下才能比较分数的大小。”[12]和[13]通分后分别成为等值的[36]（[36]=[16]×3）和[26]（[26]=[16]×2），[36]是[16]的3倍，[26]是[16]的2倍。这一过程是将[16]视为比较的标准，因此“说明”中的“相同单位”应当是把[16]视为分数单位。这时的“感悟分数单位”或许应当是通过通分，构造共同的分数单位，将分数大小的比较转化为整数大小的比较，体现所谓分数与整数的一致性。

通过以上分析可以发现，《课程标准》中所说的“分数单位”应当是指“分子为1的分数”，这一点可以在巩子坤等发表的《义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性》一文中得到证实。该文将整数中的“1、10、100……”，小数中的“0.1、0.01、0.001……”，以及分子为1的分数，统称为“计数单位”，而且特别说明分数中的计数单位也叫“分数单位”。［1］

按照这样的逻辑，《课程标准》例9的语境中出现的[12]和[13]是分数单位，人为构造出来的[16]也是分数单位。进一步设想，一个分数的等值分数是无限多的，比如：

l[12]=[36]=[612]=[918]=……

l[13]=[26]=[412]=[618]=……

其中，[112]、[118]等无限多分子为1的分数，都可以成为这一语境中的分数单位。因此，“分数单位”一词在同一语境中明显具有所指界限不清的“模糊性（Vagueness）”［2］，教学过程中自然会出现因人而异的差异性与多样性。

二、语义相离的“歧义性”

“分数单位”不仅具有所指界限不清的模糊性，还可能出现其他另类的意义。数作为表征量的语言，是人思维中生成的对象，其说法与写法的表征形式取决于如何看待单位，也就是如何看待“一”。只有确定了“一”，才能确定“几（或几分之几）”。［3］分数[12]（或[13]）的一般意义是：将一个“整体（Whole）”平均分成2份（或3份），表示其中1份的数。如果按照《课程标准》附录1中的例9所说，将“一个圆的面积”视为“整体”，那么将圆平均分成2份（或3份），表达其中的1份的数就是[12]（或[13]）。（如图1）

此时，“一个圆的面积”就是诸如[12]或[13]这些分数出现与存在所依赖的单位。如果把平分后的较小部分视为单位，那么表达这种局部与整体关系的数就会随之改变（如图2）。

由此看来，同样的量可以用不同的数表达，其原因在于单位的不同，就像同样的6根筷子，也可以称为3双筷子，120分钟也可以叫作2小时。因此，每一个数的出现与存在，都对应并依赖着一个单位，这个单位与对应的数具有“一对一”的关系，单位的确定使得数随之确定，单位的改变导致数的改变。像这样和数的出现与存在息息相关的单位，在分数的语境中通常叫作“单位一”，其意义是“分数所依赖的单位”。从字面意思来看，这样的“单位一”也应当命名为“分数单位”。由此得到“分数单位”一词可能出现的两个截然不同的意义：

[l][分数单位=  ][分子为1的分数作为单位

分数出现与存在所依赖的单位

]

因此，“分数单位”的说法就具有了语义相离的“歧义性（Ambiguity）”。［4］在同一语境中的“分数单位”，同时具有所指界限不清的模糊性和语义相离的歧义性，使得这一词语失去了确定的意义，极易引起误解。

三、教学误解

“分数单位”一词并非《课程标准》的原创，有关其意义以及对它的误解的讨论由来已久，早在20世纪80年代就常见如下的试题［5］：

l[123]的单位是（ ），有（ ）个这样的单位。（标准答案：[13]，5）

标准答案是将分子为1的分数[13]视为带分数[123]的单位，与《课程标准》中所说的分数单位的意义相同。按照这样的理解，问题的答案并不是唯一确定的。因为[123]=[146]=[169]=……所以[123]的单位还可以是[16]、[19]……答案是无限多的。这是因为命题者误解了分数单位的意义，将这一语境中不确定的单位强制为确定。

另外，从分数单位是分数[123]所依赖的“单位一”这个意义看，如果把“单位一”看作“一个圆的面积”，那么其中的[23]就表示同一个圆平均分成3份中的2份（如图3）。也就是说，[123]的单位是“1”，包含有[123]个单位。

如果按照题目中所说，把[13]看作单位，意味着把一个圆平均分成3份，将其中的1份视为单位。随着单位的改变，[123]也会随之改变，其中的1变成“3”，[23]变成“2”，[123]自然就改变为“5”了（如图4）。

凡此似是而非的试题及其标准答案，必然会给一线教师的教学带来困惑，造成是非难辨的混乱现象。为了防止这样的混乱产生，就需要将“分数单位”的不同意义分离开，并针对不同意义分别命名，进而实现消除歧义的目的。

四、區分“单位分数”与“分数单位”

如前所述，“分数单位”的歧义性表现为：既有分数出现与存在所依赖的单位的意义，也有分子是1的分数的意义。通过历史考察可以发现，对分子为1的分数的研究在古代埃及的纸草书中就早有记载，但通用的名称是“单位分数（Unit Fraction）”，而不是“分数单位”。［6］

数学中对单位分数的研究，意在将任何一个分数分解为互不相同的单位分数之和，比如[56]可以分解为两个互异单位分数[12]与[13]的和，即[56]=[12]+[13]。将此类内容应用于教学中，通常是为了帮助学生建立分数运算与分数意义的联系，避免单纯的程序化计算。［7］

比如，对于分数[78]，其意义是将“单位一”平均分成8份，表示其中的7份。这样的意义可以通过分数运算，转化为三个单位分数之和的形式，即：

[78]=[12]+（[78] - [12]）

=[12]+[38]

=[12]+[14]+（[38] - [14]）

=[12]+[14]+[18]

像这样将分数拆分为单位分数的过程，并非依据分数所谓的算法和算理，而是依据分数的意义，将分数自身所依赖的“单位一”与分子为1的单位分数联系在一起，利用示意图建立了不同分数之间的联系，这样的联系使得分数自身的意义与其运算意义形成了一致性（如图5）。

如果把分子为1的分数叫作单位分数，同时把分数单位视为分数出现与存在所依赖的“单位一”，就可以消除“分数单位”的歧义性。单位分数与分数单位二者的关系可以概括为：单位分数是分数单位“分（Splitting）”得的产物，是单位的单位。按照杜威（John Dewey，1859—1952）与人合著的《数的心理学》一书中关于单位的论述，如果把分数单位视为分数出现与存在的“原始单位（Primary Unit）”，那么单位分数就是原始单位衍生出来的“衍生单位（Derived Unit）”。［8］

数的认识与运算的教学应当特别重视数与单位的一致性，任何实数（包括分数）所依赖的单位都是“一”，这样的单位具有抽象性，是思维的产物，不同的视角会生成不同的单位。任何实数都是与单位的“比（Ratio）”。1000这个数表示的是1000个一，如果把“100”视为“一”，那么“1000”就随之改变为“10个一”，这样的单位转换实质依赖的是比例关系“1000∶100=10∶1”。

同样，作为圆周率的无理数[π]，表达的是将圆的直径视为单位时圆的周长，依赖的是比例关系：圆周长∶圆直径=[π]∶1。类似于此，如果把正方形边长视为单位，这个正方形对角线的长度就是[2]，依赖的比例关系为：正方形对角线∶正方形边长=[2]∶1。从这些比例关系中，便能够看出“原始单位”与“衍生单位”的因果关系。

把分子为1的分数从“分数单位”的所指中分离出来，命名为“单位分数”，就可以实现任何分数有且仅有一个分数单位。这样的分数单位可以沿袭“单位一”的称谓，这与美国教师联合会2000年发布的《学校数学原理与标准》中所说的“单位整体（Unit Whole）”意义一致［9］，其实质就是分数出现与存在所依赖的单位，避免了“分数单位”的歧义性。

五、结束语

最后还需指出，《课程标准》附录1的例9中提到，把两个同样大小的圆分别平均分成2份和3份，表示[12]=[36]与[13]=[26]的大小关系，其中“两个”的说法似乎也有不妥之处。

如图6所示，如果利用“两个同样大小的圆”直观感知算式[12]+[13]的意义，很容易将两个圆的面积视为分数单位，将[36]与[26]的和视为“将两个圆平均分成12份中的5份”，进而得到如下的算法（如图7）。

将两个圆一共平均分成12份，其中的5份是[512]，这样的算法从图中看是合情合理的。问题在于，虽然两个圆的大小相同，但分数加、减运算的前提是“同一个分数单位”，即便是两个相同的单位，也会使得分数的运算法则失效。因此，将“两个同样大小的圆”表述为“同一个圆”更为准确。

总之，课程标准代表的是国家意志，是教科书编修的依据，是教师教学实践的指南。课程标准中的字字句句对学校教育与教学的影响不言而喻。一线教师对课程标准的践行，需要以理解为前提，任何形式的误解都会对实际教学产生负面的影响。因此，“谨防误解”应当成为时下教师培训与教学研究的重要话题。

参考文献：

［1］巩子坤，史宁中，张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性［J］.课程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.

［2］ KEMPSON R M，孙秋秋.“歧义”与“模糊”［J］.国外语言学，1983（3）：18-25.

［3］郜舒竹.看“一”的眼光［J］.教学月刊·小学版（数学），2020（11）：4-8.

［4］FOSTER C. Productive ambiguity in the learning of mathematics［J］.For the learning of mathematics，2011，31（2）：3-7.

［5］蒲跃庆.对“分数单位”与“分数的单位”的讨论［J］.小学教学研究，1981（4）：43-44.

［6］EDWARDS T G. Using ancient Egyptian fractions to review fraction concepts［J］. Mathematics teaching in the middle school，2005，10（5）： 226-229.

［7］HURD S P. Egyptian fractions： Ahmes to Fibonacci to today［J］. The mathematics teacher，1991，84（7）：561-568.

［8］GLASERSFELD E V. An attentional model for the conceptual construction of units and number［J］. Journal for research in mathematics education，1981，12（2）：83-94.

［9］NCTM. Principles and standards for school mathematics［M］. Reston： National council of teachers of mathematics，2000.

（1.首都师范大学初等教育学院

2.首都师范大学教育学院

3. 广东省珠海市首都师范大学横琴伯牙小学）