基于利润函数框架的行业要素产出弹性与技术效率测度

冯贞柏

（五邑大学 经管学院，广东 江门 529020）

0 引言

当前，我国经济在经历长期高速增长之后，要素红利逐渐消失，一些结构性问题日益显现，加上受到国际金融风波的连续影响，外部需求疲软，宏观经济面临较大的下行压力。因此，加强宏观生产率领域的研究，对行业的要素产出弹性和技术效率进行测度，对于推进供给侧结构性改革，调整宏观经济政策，进一步释放生产力，实现经济高质量可持续发展，有着重要的意义。

要素产出弹性和技术效率测度是用参数前沿面法进行宏观投入产出研究的基础。由于省际投入产出数据相对容易获取，加上随机前沿分析方法的便利性，传统的思路和一般做法是：从区域（省际）视角出发，以总量生产函数为框架建立基本模型，借助随机前沿分析方法估计要素的产出弹性，测度各个单元的技术效率，并在此基础上进行全要素生产率的分解和测度。虽然这一研究框架被国内学术界广泛运用，但是它有两个方面的重要问题一直未引起足够的重视。一方面，国内研究普遍使用区域（省际）数据，即区域视角从微观到宏观生产的加总逻辑是有问题的。新古典生产理论中，生产函数用于反映经济体在生产过程中的技术结构，包括要素间的替代弹性、投入的产出弹性、规模报酬、技术进步率等。它在描绘单个企业的投入产出关系时无疑是正确的，甚至定义在一个“足够小”的行业范围内，也可以假设每个企业的生产函数相同。但是，在区域（省际）范围内，总量生产由不同行业的企业构成，不同行业间的技术性质不同，甚至差别巨大，对其生产行为直接加总是“简单粗暴”的[1,2]。另一方面，人们普遍简单套用微观生产函数形式研究宏观生产率，这也会影响测度的准确性与全面性[3,4]。总的来说，大量研究已经揭示了总量生产函数中变量的逻辑问题，明确了生产函数在微观加总过程中的条件过于苛刻，认为宏观生产过程并不具备新古典经济学特征。

基于上述原因，本文从传统的区域视角转向行业视角，在已有研究[5—7]的基础上，利用有约束的利润函数推导出总量生产价值等式，重新构建投入产出分析模型，然后借助随机前沿方法，估计行业生产的各因子弹性和技术效率，比较他们的差异并分析其根源。

1 宏观利润函数的起源与内涵

由于传统的总量生产函数存在明显的缺陷，因此理论经济学家们对宏观生产问题进行了重新思考。学者们在国民账户体系（SNA）框架下，定义了一个基于利润函数的宏观投入产出分析模型[5—7]。他们把消费、投资、政府购买、出口和进口当作产出，即经济活动的内生变量，把劳动和资本作为投入，即外生约束条件，在规模报酬不变和边际替代率递减的规律下，生产的技术组合可以用简化的可变利润函数来表示：

其中，p′=(pC,pI,pG,pX,pM)表示产出价格向量，y 表示产出数量向量，w′=[wLwK]表示投入价格，x′=[ xLxK]表示投入数量，T 表示生产可能性集合，是一个封闭的凸锥。在所有正的产出价格和非负的投入数量前提下，π(·)对于价格是线性齐次性的，是凸的；对于产出价格是非减的，对于投入价格是非增的；对于投入和产出的数量是线性齐次性的，是凹的[8]。

根据霍特林引理，利润最大化的产出净供给函数为：

其中，∇pπ(·)≡[∂ π ∂pi]，i=C，I，G，X，M 是利润函数对价格的一阶偏导数。π(·)的齐次性意味着产出和投入函数对于固定投入数量v 是线性齐次性的，对于p 是零次齐次的；π(·)凸性暗示着所有的产出和投入函数对于自身的价格是非减的。相应地，可以得到投入数量的反需求函数：

由于π(·)齐次性特征，根据欧拉定理，有：

式（4）表明，可变利润等于固定投入要素的总支付，从利润函数的内涵上看，宏观利润产出等于投入要素的总支出。根据国民收入核算原理，可以将式（4）表示成：

在国民收入核算账户（SNA）中，核算等式给本文研究带来了不小的便利，因为根据国民收入核算方程，可以把产出的价格和数量直接简化成国民收入或者产出增加值，为生产前沿函数的形式奠定基础，为了便于宏观生产前沿估计和技术效率测定，本文不考虑不同产出间的配置效率问题，将式（5）用更简洁的等式来表示：

其中，V=pCyC+pIyI+pGyG+pXyX-pMyM表示行业的产出增加值；w 是行业的真实平均工资水平；r 是行业资本回报率，即根据数据估计的资本投入的真实使用价格；L 和K 分别表示行业劳动和资本投入的数额；wL 构成了真实的劳动报酬总额；rK 构成了真实的利润所得。这便是会计核算层面上的总量生产价值等式的具体形式，Felipe和McCombie（2013）[2]、Kersting和Schefold（2021）[7]发现，这一结构形式不仅与传统的总量生产函数对宏观生产的拟合效果基本一致，而且可以避免微观生产向宏观加总的逻辑问题。

在既定时间求式（6）的全微分方程，得到行业产出增长方程：

对式（7）积分得到行业生产价值等式的指数形式：

必须明确的是，由于国民账户体系（SNA）在区域间会计核算上的恒等关系，区域视角的估计系数必然是固定不变的，从而各变量之间将会出现严重的自相关，而行业视角投入产出弹性基本相同，统计学上将更加显著。

因此，Zambelli（2016）[1]放松了固定替代弹性和规模经济假设来研究要素替代、技术进步等规律，将式（8）以超越对数函数的指数形式表示一般化的行业价值总量生产关系，即：

其中，i=1，…，I ；Yi代表第i 个行业不变价格统计的产出数量与价格的乘积，即按行业划分的消费、投资、政府购买和净进口的总和，理论上讲，按行业划分的Yi并不等于行业增加值而只是反映行业的最终使用；wi和ri分别代表第i 个行业的不变价格统计的劳动价格和资本投资价格；Li和Ki分别代表第i 个行业劳动投入数量和不变价格统计的资本存量或投入量。

由Christensen、Jorgenson、Lau 等学者在生产经济学研究领域使用的超越对数生产函数，能在不改变函数性质的前提下对其进行线性化处理，但值得注意的是，根据Young 定理，其估计的参数具有对称性质，βij=βji即在交互项中，估计系数前需要乘以1/2，其系数变为(βij+βji)/2=βij，其平方项系数为βii/2，平方项系数描绘了各因子之间的交叉关系。

2 研究设计

2.1 随机价值总量生产边界和效率模型

技术效率是指经济单元经济行为表现与最优表现（Frontier）之间的差距，或者是同一类经济单元中个体实际观测值与相应的整体前沿值之比。根据Debreu和Farrell 的定义，技术有效性可以分为投入导向和产出导向两种度量方法，由于产出导向方法和等产量曲线相联系，可以很方便地找到测量的标准，因此被广泛地采用[8]，本文参照Debreu-Farrell 径向测量法，采用产出导向型距离函数测度技术效率。

利用随机前沿分析方法，在考虑统计误差和某些制度因素导致的随机因素的情况下，参照式（9）和Felipe 和McCombie（2013）[2]的宏观生产价值等式，行业随机价值总量生产边界可表示为：

其中，f(·)是确定性生产前沿函数，β 是待估计的技术参数向量，vi是随机因子，ui是技术无效性。同时把第i 个行业的技术有效性表示为：

随机前沿分析中，建模和参数估计的方式有两种：第一种是“两步法”，此估计法一个很大的缺陷是第一步估计中的两个误差项假设为独立同分布，但在第二步效率估计中却假设解释变量和非效率项之间存在函数关系，也忽视了估计值的标准误差和有偏性；第二种是“一步法”，将无效率项表示为包含经济行为主体的一系列相关变量和随机误差项的函数，直接将解释变量合并到非效率误差项中，Kumbhakar（2000）[8]认为，它的优点是使得随机误差分析建模更为合理和便利。

根据“一步法”的假定，把行业的随机前沿生产及效率模型表述如下：

其中，Vit和f(·)分别是第i个行业在第t期的利润产出和函数形式；t=1，…，T表示面板数据中的时间，β是待估参数；vit是随机误差，表示统计测量等因素造成的模型偏差；uit是由于制度、管理等因素导致的技术非效率，是一个非负的随机变量；待估参数η表示技术非效率随时间的变化。假设uit和vit无关，根据参数化方法，σ2=σ2v+且γ∈[0，1]，代表最大似然估计中非效率因素占随机因素的比率，或者说非效率项对模型估计结果的解释能力，其值越接近1，说明非效率项在随机因素中所占的比率越高；其值越接近0，说明统计误差占比越高。

根据式（9）至式（14），将随机前沿生产和效率方程表述如下：

2.2 行业界定与数据说明

根据《国民经济行业分类（GB/T 4754-2011）》的划分标准，将国民经济分成20 个行业，其中，最后两个行业即“公共管理和社会组织”和“国际组织”不属于生产性质的行业，完全不符合生产经济理论中的投入和产出分析，因此，将这两个行业剔除，剩下18个行业，本文结合这18个行业的投入和产出的数据进行效率测度。表1 是18 个行业2011—2020年几个变量的描述性统计。

表1 指标描述性统计

关于劳动价格，本文采用“行业年平均工资”指标，即按行业分城镇就业人员工资总额除以就业人员来计算；资本价格则根据式（5）和式（8）中的定义，将行业年度利润总额除以估计的行业资本存量来计算，即事后统计的资本投入的回报率；劳动投入采用行业城镇就业人员年底数来衡量，为了更加客观地反映劳动投入变动水平，将上一年年底数和次年年底数取平均值获得年度从业人员数量。

资本存量采用永续盘存法（PMI）来进行测算，资本存量的模型简化为Kt=It/Pt+(1-δt)Kt-1。其中，Kt为t年的资本存量，It为t年的新增投资，Pt为t年的投资价格指数，δt为t年的资本折旧率。新增投资借鉴翁宏标和王斌会（2012）[9]的做法，选取全社会固定资产投资指标，以避免模型变量共线性问题；参照已有研究的做法[10,11]，利用投入产出表的固定资产折旧额数据，然后根据PIM迭代公式计算出固定或时变的折旧率。数据来源于历年《中国统计年鉴》《中国劳动统计年鉴》、国泰安经济金融数据库、统计局农村调查总队资料及各部门统计年鉴。所有数据均按1978年的不变价格进行平减。

3 估计结果分析

3.1 前沿面与效率方程检验

首先需要比较超越对数函数在拟合性能上是否优于C-D函数。从表2的检验结果不难看出，无论采用何种形式的生产函数，所有参数和函数形式的选择都显著，并且都适合随机前沿模型，因为σ2和γ都至少在5%的水平上通过检验，对于生产函数形式的选择，LR值为198.228，大于1%水平上的混合卡方分布临界值，因此，广义似然比检验结果表明超越对数函数优于C-D函数形式。

表2 广义似然比检验结果

经过检验，筛选出最终适合的模型，并估计得到一系列相关参数。可以看出，除低技能劳动对产出的影响并不显著之外，其他因子对产出的影响都显著，σ2的值是0.047，γ的值是0.928，表明模型复合误差项92.8%的变异是由无效率项引起的，模型适合随机前沿分析的要求。

3.2 产出弹性估计及其变化趋势

根据上述模型，利用Frontier 4.1 软件，得出下页表3所示的最终估计结果。

表3 模型最终估计结果

从生产方程估计结果可以分析投入要素对产出的影响程度，超越对数函数不但可以计算投入对产出的总弹性，还可以把影响程度分解为不同的组成部分。

由式（15）可以计算出劳动价格、资本价格、劳动投入和资本投入的总的产出弹性为：

通过对各行业各年度的劳动产出弹性和资本产出弹性的计算，得出各行业劳动平均产出弹性和资本平均产出弹性，同时，将各个行业的平均效率按年度进行计算，描绘出变化趋势，见表4。

表4 2011—2020年各要素的产出弹性及其变化趋势

由于超越对数函数放松了规模经济和弹性不变假设，要素的弹性值并不等于产出份额，但是根据弹性的定义，即其他变量既定时单位某一自变量变化的百分比带来因变量变化的百分比，因此可以把估计结果理解为单位要素变化引起产出变化的影响程度。

从估计结果可以判断：（1）四个弹性绝对值都大于1，可见四个要素都对产出有影响，其中，工资产出弹性最大，超过了4，劳动产出弹性次之，利润产出弹性第三，资本产出弹性最小；（2）工资产出弹性、劳动产出弹性和利润产出弹性均为正，且逐年缓慢上升，但资本投入产出弹性为负，绝对值也逐年上升。这带来两个非常重要的启示，一是劳动仍然是带动经济增长的重要源泉，尤其是工资富有弹性，从GNP函数可以看出，只有固定资源之一即劳动的回报率提升了，消费才有来源，内需才能扩大；二是粗放的资本投入并不能拉动经济增长，超越对数函数能够描绘不同因子的交互作用而最终揭示某一因子的综合作用，分析结果表明，虽然资本投入自身对产出的弹性为正，但是由于宏观经济中的固定资源刚性，资本投入增加的同时必定会对其他投入产生“挤出效应”，例如国家通过宏观调控增加资本投入的同时工资收入增加乏力，资本投入会代替劳动投入，甚至压缩利润率，从而间接降低了其对产出的拉动作用。

3.3 各因子间的相关程度分析

分析因子间的相关程度，统计学上将两个实随机变量X与Y之间的协方差定义为Cov(X，Y)=E[(X-E(X) )(YE(Y))]，表示的是两个变量总体误差的期望。如果两个变量的变化趋势一致，那么两个变量之间的协方差就是正值；如果两个变量的变化趋势相反，那么两个变量之间的协方差就是负值。两个变量之间的Pearson相关系数计算公式为Cov(Y，Y)。结果见表5。

表5 各因子间的Pearson相关系数

从各因子间的相关系数可以看出，工资弹性和其他各因子之间均呈现负相关关系，尤其受资本投入量、利率水平、劳动雇佣水平的影响较大，说明在既定资源约束下，后三者对工资都有较强的“挤出效应”；利率与工资水平、资本投入量负相关，与劳动投入正相关；他们都和时间呈现负相关关系，随着时间的推移，所有的要素产出弹性都在逐渐下降，呈现一定的收敛状态。

3.4 行业技术效率的最终估计

如下页图1 所示，从经济总体效率来看，全国行业近10 年来的平均效率为72.01%，可见经济总体效率仍然较低，存在很大的提升空间。一方面，从静态上看，在本文分析的18个行业中，房地产业，批发和零售业，水利、环境和公共设施管理业，电力、热力、燃气及水的生产和供应业，金融业这些行业的效率都比较低，如房地产业的技术效率仅为50.30%。而农林牧渔业、制造业、居民服务和其他服务业等技术效率都较高，尤其是制造业的技术效率高达94.21%，这可能跟行业的公有制成分有关，公有制占比较高的行业技术效率较低，反之则较高。然而，从我国经济发展现状看来，近年来经济增长过度依赖房地产业、批发和零售业的增长，这些行业的技术效率较低；而那些技术效率较高的行业，如制造业和服务业的发展却受到抑制，这严重影响了我国经济增长效率。

图1 行业平均技术效率

4 结论

本文从行业视角出发，在宏观利润函数的基础上，重新估计了宏观利润前沿面和技术效率，得出以下结论：

第一，我国经济结构中劳动密集度偏高，经济增长仍然更多地依赖于劳动投入的增长，尤其是工资富有弹性；经济增长对劳动的敏感度不断增强，而对资本敏感度有所下降，资本投入自身对产出的弹性为正，资本投入增加对其他投入产生了“挤出效应”，间接降低了其对产出的拉动作用。在当前经济转型的改革中，产业结构及经济增长的要素密集度结构导向需要引起高度重视。

第二，我国经济总体效率仍然较低，存在很大的提升空间。房地产业，批发和零售业，水利、环境和公共设施管理业，电力、热力、燃气及水的生产和供应业，金融业的效率都较低。而农林牧渔业、制造业、居民服务和其他服务业技术效率都较高，这可能与公有制占比高低有关。近年来经济增长过度依赖房地产业、批发和零售业的增长，在今后经济改革过程中应更加重视制造业和服务业等技术效率较高的行业。

第三，当前经济形势下，扩大内需是拉动经济增长的重要举措，但其根本手段仍应是提高劳动者价格，增加其收入水平。与之相反，资本投入的增加并不能带来产出的增加，而是产出的减少，因此，政府不能过分干预经济增长的规律，大肆进行财政政策扩张，否则只会降低经济增长的可持续能力。